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1、圆学子梦想 铸金字品牌温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。单元质量评估(二)第二章(120分钟 150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若a,b是异面直线,直线ca,则c与b的位置关系是()A.相交B.异面C.平行D.异面或相交2.下列命题正确的是()A.一直线与一个平面内的无数条直线垂直,则此直线与平面垂直B.两条异面直线不能同时垂直于一个平面C.直线与平面所成的角的取值范围是:0180D.两异面直线所成的角的取值范围是:090
2、3.棱柱的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面的位置关系是()A.平行 B.相交C.平行或相交 D.不相交4.设a,b是空间两条垂直的直线,且b平面,则在“a”“a”“a”这三种情况中,能够出现的情况有()A.0个 B.1个 C.2个 D.3个5.(2013长白山高一检测)已知一平面平行于两条异面直线,一直线与两异面直线都垂直,那么这个平面与这条直线的位置关系是()A.平行B.垂直C.斜交D.不能确定6.(2013新课标全国卷)已知m,n为异面直线,m平面,n平面.直线l满足lm,ln,l,l,则()A.且lB.且lC.与相交,且交线垂直于lD.与相交,且交线平行于l7.BC是Rt
3、ABC的斜边,PA平面ABC,PDBC于D点,则图中共有直角三角形的个数是()A.8个 B.7个 C.6个 D.5个8.以下说法中,正确的个数为()已知直线a,b和平面.若ab,a,则b;已知直线a,b,c和平面.a是斜线,与平面相交,b是射影所在直线,c,且cb,则ca;三个平面两两相交,且它们的交线各不相同,则这三条交线互相平行;已知平面,若=a,ba,则b或b.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个9.已知点O为正方体ABCD -A1B1C1D1的底面ABCD的中心,则下列结论正确的是()A.直线OA1平面AB1C1B.直线OA1平面CB1D1C.直线OA1直线ADD.直线OA1直线BD
4、110.(2013广东高考)某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是()A.4 B. C. D.611.已知直二面角-l-,点A,ACl,C为垂足,B,BDl,D为垂足,若AB=2,AC=BD=1,则CD=()A.2 B. C. D.112.(2013济宁高一检测)如图所示,在正四棱锥S-ABCD(顶点S在底面ABCD上的射影是正方形ABCD的中心)中,E是BC的中点,P点在侧面SCD内及其边界上运动,并且总是保持PEAC.则动点P的轨迹与SCD组成的相关图形最有可能是图中的()二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上)13.(2013长沙高一检测)如
5、图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形,侧棱长AA1=,则异面直线A1B1与BD1所成的角大小等于.14.如图,AB是O的直径,C是圆周上不同于A,B的点,PA垂直于O所在的平面,AEPB于E,AFPC于F,因此,平面PBC.(填图中的一条直线)15.四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形,AC与BD相交于点O,且SO平面ABCD,若四棱锥S-ABCD的体积为12,底面对角线的长为2,则侧面与底面所成的二面角等于.16.(2013安徽高考)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,P为BC的中点,Q为线段CC1上的动点,过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面
6、记为S.则下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号).当0CQ时,S为四边形;当CQ=时,S为等腰梯形;当CQ=时,S与C1D1的交点R满足C1R=;当CQ1时,S为六边形;当CQ=1时,S的面积为.三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AB的中点,F为AA1的中点,求证:CE,D1F,DA三线交于一点.18.(12分)(2013周口店高一检测)如图,圆锥SO中,AB,CD为底面圆的两条直径,ABCD=O,且ABCD,SO=OB=2,P为SB的中点.(1)求证:SA平面PCD.(2)求异面直
7、线SA与PD所成角的正切值.19.(12分)(2013辽宁高考)如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆上的点.(1)求证:平面PAC平面PBC.(2)设Q为PA的中点,G为AOC的重心,求证:QG平面PBC.20.(12分)(2013无锡高一检测)如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1,DB的中点.(1)求证:EF平面ABC1D1.(2)求证:EFB1C.(3)求三棱锥B1-EFC的体积.21.(12分)(能力挑战题)在正三棱柱ABC-A1B1C1(底面三角形ABC是正三角形的直棱柱)中,点D,E分别是BC,B1C1的中点,BC1B1D=
8、F,BC1B1D.求证:(1)平面A1EC平面AB1D.(2)平面A1BC1平面AB1D.22.(12分)(能力挑战题)如图,已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC,BAC=ACD=90,EAC=60,AB=AC=AE.(1)在直线BC上是否存在一点P,使得DP平面EAB?请证明你的结论.(2)求平面EBD与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.答案解析1.【解析】选D.根据空间两条直线的位置关系和公理4可知c与b异面或相交,但不可能平行.2.【解析】选B.A.错误.一直线与一个平面内的无数条直线垂直,并不意味着和平面内的任意直线垂直,所以此直线与平面不一定垂直.B.正确.由线面垂直的性质
9、定理可知,两条异面直线不能同时垂直于一个平面.C.错误.直线与平面所成的角的取值范围是:090.D.错误.两异面直线所成的角的取值范围是:090.3.【解析】选A.因为棱柱的侧棱是互相平行的,所以由直线与平面平行的判定定理可知,侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面平行.4.【解析】选D.如图正方体中,b平面,直线a是在直线b的垂面内的任意直线(与b异面).由图可知,“a”“a”“a”三种情况都有可能.5.【解析】选B.根据线面平行的性质,在已知平面内可以作出两条相交直线与已知两条异面直线分别平行.因此,一直线与两异面直线都垂直,一定与这个平面垂直.6.【解析】选D.因为m,n为异面直线
10、,所以过空间内一点P,作mm,nn,则lm,ln,即l垂直于m与n确定的平面,又m平面,n平面,所以m平面,n平面,所以平面既垂直于平面,又垂直于平面,所以与相交,且交线垂直于平面,故交线平行于l,故选D.7.【解析】选A.因为PA平面ABC,所以PABC,因为PDBC,PAPD=P,所以BC平面PAD,所以ADBC,图中直角三角形有PAC,PAD,PAB,ABC,PDC,PDB,ADC,ADB,共8个.8.【解析】选A.错误.直线b的位置不确定,直线b可以在内,也可以平行于.正确.c同时垂直于斜线和射影.错误.例如,长方体同一顶点的三个面.错误.没有说明b是否在平面或内,则b可以在这两个平面
11、外.9.【解析】选B.可证平面A1BD平面CB1D1.10.【解析】选B.四棱台的上下底面均为正方形,两底面边长和高分别为1,2,2,V棱台=(S上+S下+)h=(1+4+)2=.11.【解析】选C.根据题意,直二面角-l-,点A,ACl,可得AC平面,则ACCB,ACB为直角三角形,且AB=2,AC=1,由勾股定理可得,BC=;在RtBCD中,BC=,BD=1,由勾股定理可得,CD=.12.【解析】选A.如图所示,连接BD与AC相交于点O,连接SO,取SC的中点F,取CD的中点G,连接EF,EG,FG,因为E,F分别是BC,SC的中点,所以EFSB,EF平面SBD,SB平面SBD,所以EF平
12、面SBD,同理可证EG平面SBD,又EFEG=E,所以平面EFG平面SBD,由题意得SO平面ABCD,ACSO,因为ACBD,又SOBD=O,所以AC平面SBD,所以AC平面EFG,所以ACGF,所以点P在直线GF上.【变式备选】如图,点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动,则下列四个结论:三棱锥A-D1PC的体积不变;A1P平面ACD1;DPBC1;平面PDB1平面ACD1.其中正确的结论的个数是()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】选C.正确.易证BC1平面ACD1,所以点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动时,点P到平面ACD1的距
13、离不变.又因为所以三棱锥A-D1PC的体积不变.正确.易证平面A1BC1平面ACD1,所以A1P平面ACD1;错误.因为DB=DC1,所以当点P是BC1的中点时,DPBC1;正确.因为B1D平面ACD1,所以平面PDB1平面ACD1.13.【解析】因为A1B1AB,所以ABD1是异面直线A1B1与BD1所成的角,在RtABD1中,BAD1=90,AB=1,AD1=,所以tanABD1=,所以ABD1=60.答案:6014.【解析】因为AB是O的直径,C是圆周上不同于A,B的点,所以BCAC,因为PA垂直于O所在的平面,所以BCPA,又PAAC=A,所以BC平面PAC,又AF平面PAC,所以AF
14、BC,又AFPC,BCPC=C,所以AF平面PBC.答案:AF15.【解析】取BC的中点E,连接OE,SE,因为OB=OC,所以OEBC,因为SO平面ABCD,所以SOBC,所以BC平面SOE,所以SEO是侧面SBC与底面ABCD所成的二面角,因为正方形ABCD的对角线长为2,所以正方形ABCD的边长为2,OE=,由题意得(2)2SO=12,所以SO=3,所以tanSEO=,所以SEO=60.答案:6016.【解析】(1)当0CQ时,截面如图1所示,截面是四边形APQM,故正确.(2)当CQ=时,截面如图2所示,易知PQAD1且PQ=AD1,S是等腰梯形,故正确.(3)当CQ=时,截面如图3所
15、示,易得C1R=,截面是五边形,故正确.(4)当CQ1时,如图4是五边形,故不正确.(5)当CQ=1时,截面是边长相等的菱形如图5所示,由勾股定理易求得AC1=,MP=,故其面积为S=AC1MP=,故正确.答案:17.【解题指南】可证D1F与CE的交点P在直线AD上.【证明】连接EF,D1C,A1B,因为E为AB的中点,F为AA1的中点,所以EFA1B,EF=A1B,又因为A1BD1C,所以EFD1C,所以E,F,D1,C四点共面,且EF=D1C,设D1F与CE相交于点P.又D1F平面A1D1DA,CE平面ABCD,所以P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点,又平面A1D1DA平面ABCD
16、=DA,根据公理3可得PDA,即CE,D1F,DA三线交于一点.18.【解析】(1)连接PO,因为P,O分别为SB,AB的中点,所以POSA,因为PO平面PCD,SA平面PCD,所以SA平面PCD.(2)因为POSA,所以DPO为异面直线SA与PD所成的角,因为ABCD,SOCD,ABSO=O,所以CD平面SOB.因为PO平面SOB,所以ODPO,在RtDOP中,OD=2,OP=SA=SB=,所以tanDPO=,所以异面直线SA与PD所成角的正切值为.19.【证明】(1)由AB是圆的直径,得ACBC;由PA垂直于圆所在的平面,得PA平面ABC.又BC平面ABC,得PABC.又PAAC=A,PA
17、平面PAC,AC平面PAC,所以BC平面PAC.又BC平面PBC,所以平面PAC平面PBC.(2)连接OG并延长交AC于M,连接QM,QO.由G为AOC的重心,知M为AC的中点, 由Q为PA的中点,得QMPC,又因为QM平面PBC,PC平面PBC,所以QM平面PBC.又由O为AB的中点,得OMBC.同理可证,OM平面PBC.因为QMOM=M,QM平面QMO,OM平面QMO,所以,据面面平行的判定定理得,平面QMO平面PBC.又QG平面QMO,故QG平面PBC.20.【解析】(1)连接BD1,在DD1B中,E,F分别为D1D,DB的中点,则EFD1B,因为EFD1B,D1B平面ABC1D1,EF
18、平面ABC1D1,所以EF平面ABC1D1.(2)因为B1CAB,B1CBC1,AB,BC1平面ABC1D1,ABBC1=B,所以B1C平面ABC1D1,又BD1平面ABC1D1,所以B1CBD1,又因为EFBD1,所以EFB1C.(3)因为CF平面BDD1B1,所以CF平面EFB1且CF=BF=,因为EF=BD1=,B1F=,B1E=3,所以EF2+B1F2=B1E2,即EFB1=90,所以=EFB1FCF=1.21.【证明】(1)因为点D,E分别是BC,B1C1的中点,所以A1EAD,ECB1D,故A1E平面AB1D,EC平面AB1D,又A1EEC=E,所以平面A1EC平面AB1D.(2)
19、因为ABC是正三角形,点D是BC的中点,所以ADBC,又因为平面ABC平面BCC1B1,所以AD平面BCC1B1,所以ADBC1,又BC1B1D,ADB1D=D,从而BC1平面AB1D.又BC1平面A1BC1,所以平面A1BC1平面AB1D.22.【解题指南】(1)通过线面平行的判定定理,利用平行四边形的性质作辅助线来证明.(2)先作出平面EBD与平面ABC的交线,然后利用面面垂直的性质定理证明CD平面ABGC,进而证明BG平面CDG,得到二面角的平面角,最后解直角三角形得到结论.【解析】(1)线段BC的中点就是满足条件的点P.证明如下:取AB的中点F,连接DP,PF,EF,则FPAC,FP=
20、AC,取AC的中点M,连接EM,EC,因为AE=AC且EAC=60,所以EAC是正三角形,所以EMAC.所以四边形EMCD为矩形,所以ED=MC=AC.又因为EDAC,所以EDFP且ED=FP,所以四边形EFPD是平行四边形.所以DPEF,而EF平面EAB,DP平面EAB,所以DP平面EAB.(2)过点C作CGAB,过点B作BGAC,CGBG=G,连接GD.因为EDAC,所以EDBG,所以B,E,D,G四点共面,所以平面EBD与平面ABC相交于BG,因为CDAC,平面ACDE平面ABGC,所以CD平面ABGC,BG平面ABGC,所以BGCD,又BGGC,CDGC=C,所以BG平面CDG,所以B
21、GDG,所以DGC是平面EBD与平面ABC所成的锐二面角,设AB=AC=AE=a,则GC=AB=a,DC=EM=a,所以GD=a.所以cos=cosDGC=.【拓展提升】剖析空间角问题(1)求空间角的基本原则求空间角时,无论哪种情况最终都归结到两条相交直线所成的角的问题上.(2)解题步骤:找(或作)出所求角;证明该角符合题意;构造出含这个角的三角形,解这个三角形,求出角.(3)空间角包括以下三类:求异面直线所成的角关键是选取合适的点引两条异面直线的平行线,这两条相交直线所成的锐角或直角即为两条异面直线所成的角.求直线与平面所成的角关键是在斜线上选取恰当的点向平面引垂线,在此基础上进一步确定垂足的位置.求二面角关键是作出二面角的平面角,而作二面角的平面角时,首先要确定二面角的棱,然后结合题设构造二面角的平面角.一般常用两种方法:定义法,垂面法.关闭Word文档返回原板块。- 20 -
