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1、24.1.4 圆周角,复习旧知：请说说我们是如何给圆心角下定义的，试回答？,顶点在圆心的角叫圆心角。,能仿照圆心角的定义，给下图中象ACB 这样的角下个定义吗？,顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角,问题探讨：,判断下列图形中所画的P是否为圆周角？并说明理由。,P,P,P,P,不是,是,不是,不是,顶点不在圆上。,顶点在圆上，两边和圆相交。,两边不和圆相交。,有一边和圆不相交。,有没有圆周角？,有没有圆心角？,它们有什么共同的特点？,它们都对着同一条弧,当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角ABC,ADC,AEC.这三个角的大小有什么关系?.,你能发现什么规
2、律？,实践活动,画一个圆,再任意画一个圆周角,看一下圆心在什么位置?,圆心在一边上,圆心在角内,圆心在角外,如图,观察圆周角ABC与圆心角AOC,它们的大小有什么关系?,圆周角和圆心角的关系,1.首先考虑第一种情况：当圆心O在圆周角(ABC)的一边(BC)上时,圆周角ABC与圆心角AOC的大小关系.,AOC是ABO的外角，,AOC=B+A.,OA=OB，,A=B.,AOC=2B.,即 ABC=AOC.,你能写出这个命题吗?,同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.,第二种情况：如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?2.当圆心O在圆周角(ABC)的内部时,圆周角ABC与圆心角AOC的大小关系
3、会怎样?,提示:能否转化为1的情况?,过点B作直径BD.由1可得:,ABC=AOC.,能写出这个命题吗?,同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.,ABD=AOD,CBD=COD,第三种情况：如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样?3.当圆心O在圆周角(ABC)的外部时,圆周角ABC与圆心角AOC的大小关系会怎样?,提示:能否也转化为1的情况?,过点B作直径BD.由1可得:,ABC=AOC.,你能写出这个命题吗?,同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.,ABD=AOD,CBD=COD,巩固练习：,如图，点A,B,C,D在同一个圆上，四zxxk边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些
4、角中哪些是相等的角？,练习：,2.如图，圆心角AOB=100，则ACB=_。,1.求圆中角X的度数,C,C,D,B,圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系,我们把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1的角。,在同圆或等圆中，圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。Zx,xk,因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份。我们把每一份这样的弧叫做1的弧。,在同圆或等圆中，,D,在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对弧一定相等吗？为什么？,在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等,当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角A
5、BC,ADC,AEC.这三个角的大小有什么关系?.,规律：都相等，都等于圆心角AOC的一半,结论：同弧或等弧所对的圆周角相等。,问题1：如图，AB是O的直径，请问：C1、C2、C3的度数是。,推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。,问题2：若C1、C2、C3是直角，那么AOB是。,90,180,探究与思考：,A,B,C1,O,C2,C3,归纳：,练一练,1、如图，在O中，ABC=50，则AOC等于（）A、50；B、80；C、90；D、100,D,2、如图，ABC是等边三角形，动点P在圆周的劣弧AB上，且不与A、B重合，则BPC等于（）A、30；B、60；C、90；
6、D、45,B,练一练,3、如图，A=50，ABC=60 BD是O的直径，则AEB等于（）A、70；B、110；C、90；D、120,B,4、如图，ABC的顶点A、B、C都在O上，C30，AB2，则O的半径是。,解：连接OA、OB,C=30，AOB=60,又OA=OB，AOB是等边三角形,OA=OB=AB=2，即半径为2。,2,5、已知O中弦AB的长等于半径，求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数。,圆心角为60度,圆周角为 30 度,或 150 度。,6、在O中，CBD=30,BDC=20,求A,7、如图，在O中，AB为直径，CB=CF,弦CGAB，交AB于D，交BF于E 求证：BE=EC,8、如
7、图，AB是O的直径AB=10cm,弦AC=6cm,ACB的平分线交O于点D.求 BC,AD,BD 的长.,10,6,9、如图 AB是O的直径,C,D是圆上的两点,若ABD=40,则BCD=.,40,如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？与同学交流一下,D,O,O,O,方法一,方法二,方法三,方法四,A,B,探究,例1、如图，O直径AB为10cm，弦AC为6cm，ACB的平分线交O于D，求BC、AD、BD的长,又在RtABD中，AD2+BD2=AB2，,解：AB是直径，,ACB=ADB=90,在RtABC中，,CD平分ACB，,AD=BD.,例题,例2 在足球比赛场上，甲、乙两
8、名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点(如图2)此时甲是自己直接射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好？,分析 在真正的足球比赛中情况会很复杂，这里仅用数学方法从两点的静止状态加以考虑，如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门位置，关键看这两个点分别对球门MN的张角大小，当张角较小时，则球容易被对方守门员拦截.怎样比较A、B两点对MN张角的大小呢？,解 考虑过M、N以及A、B中的任一点作一圆，这里不妨作出BMN，显然，A点在BMN外，设MA交圆于C，则MANMCN，而MCN=MBN，所以MANMBN因此，甲应将球回传给乙，让乙射门.,例3.求证：如果三
9、角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形（提示：作出以这条边为直径的圆.）,A,B,C,O,求证：ABC 为直角三角形.,证明：,CO=AB,以AB为直径作O，,AO=BO，,AO=BO=CO.,点C在O上.,又AB为直径,ACB=180=90.,ABC 为直角三角形.,课本练 习,课堂练习,1.如图，OA、OB、OC都是O的半径，AOB=2BOC，ACB与BAC的大小有什么关系？为什么？,2.如图，A、B、C、D是O上的四个点，且BCD=100，求BOD和BAD的大小。,探究,3、如图，AB是O的直径，BD是O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连接AC交O于点F，点F不与
10、点A重合。（1）AB与AC的大小有什么关系？为什么？（2）按角的大小分类，请你判断ABC属于哪一类三角形，并说明理由。,ABC是锐角三角形,解：（1）AB=AC。,证明：连接AD,又DC=BD，AB=AC。,（2）ABC是锐角三角形。,由（1）知，B=C90,连接BF，则AFB=90，A90,AB是直径，ADB=90，,4.AB、AC为O的两条弦，延长CA到D，使 AD=AB，如果ADB=35，求BOC的度数。,BOC=140,A=21,7、在O中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为(2x+100)和(5x-30)，则x=_ _；,6.如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D 为半圆上的两点，COD=50，则 CAD=_；,20,50,拓展练习,1.如图,点P是O外一点,点A、B、Q是O上的点。（1）求证P AQB（2）如果点P在O内，P与AQB有怎样的关系？为什么？,2.如图所示，已知ABC的三个顶点都在O上，AD是ABC的高，AE是O的直径.求证：BAECAD,
