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1、1.1.2 导数的概念,问题2 高台跳水,在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态?,在高台跳水运动中,平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.,又如何求瞬时速度呢?,平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.,如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?,求：从2s到(2+t)s这段时间内平均速度,当t=0.01时,当t=0.01时,当t=0.001时,当t=0.00
2、1时,当t=0.0001时,当t=0.0001时,t=0.00001,t=0.00001,t=0.000001,t=0.000001,平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.,如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢?,当t趋近于0时,平均速度有什么变化趋势?,当 t 趋近于0时,即无论 t 从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都趋近与一个确定的值 13.1.,从物理的角度看,时间间隔|t|无限变小时,平均速度 就无限趋近于 t=2时的瞬时速度.因此,运动员在 t=2 时的瞬时速度是 13.1.,表示“当t=2,t趋近于0时,平均速度 趋近于确定值 13.1”.,从2
3、s到(2+t)s这段时间内平均速度,瞬时速度,我们用 表示“当t=2,t趋近于0时,平均速度趋于确定值-13.1”.,那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?,局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过,取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。,探 究:,1.运动员在某一时刻 t0 的瞬时速度怎样表示?2.函数f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率怎样表示?,定义:,函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是,称为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,记作,或,即,定义:,函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是,称为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,
4、记作,或,即,由导数的定义可知,求函数 y=f(x)的导数的一般方法:,求函数的改变量2.求平均变化率3.求值,一差、二比、三极限,练习：,例题1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果第 x h时,原油的温度(单位:)为 f(x)=x2 7x+15(0 x8).计算第2h和第6h,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.,解:在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是,和,根据导数的定义,所以,同理可得,在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为3和5.它说明在第2h附近,原油温度大约以3/h的速率下降;在第6h附近,原油温度大约以5/h的速率上升.
5、,例题1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果第 x h时,原油的温度(单位:)为 f(x)=x2 7x+15(0 x8).计算第2h和第6h,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.,练习:计算第3h和第5h时原油的瞬时变化率,并说明它们的意义.,例2 物体作自由落体运动,运动方程为：其中位 移单位是m,时间单位是s,g=10m/s2.求：(1)物体在时间区间2,2.1上的平均速度；(2)物体在时间区间2,2.01上的平均速度；(3)物体在t=2(s)时的瞬时速度.,分析:,解:,(1)将 t=0.1代入上式，得:,(2)将 t=0.01代入上式，得:,小结：,1求物体运动的瞬时速度：（1）求位移增量s=s(t+t)-s(t)(2)求平均速度（3）求极限,1由导数的定义可得求导数的一般步骤：（1）求函数的增量y=f(x0+t)-f(x0)(2)求平均变化率（3）求极限,练习：,(1)求函数y=在x=1处的导数.(2)求函数y=的导数.,作业：,P10 2 3 4,
