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1、第十一讲简单的幻方及其他数阵图有关幻方问题的研究在我国已流传了两千多年，它是具有独特形式的填数字问题.宋朝的杨辉将幻方命名为“纵横图.”并探索出一些解答幻方问题的方法.随着历史的进展，许多人对幻方做了进一步的研究，创造了许多绚丽多彩的幻方.据传说在夏禹时代，洛水中出现过一只神龟，背上有图有文，后人称它为“洛书”.洛书所表示的幻方是在3X3的方格子里（即三行三列），按一定的要求填上19这九个数，使每行、每列、及二条对角线上各自三数之和均相等，这样的3X3的数阵阵列称为三阶幻方.一般地说，在nXn（n行n歹IJ）的方格里，既不重复又不遗漏地填上n2个连续的自然数（一般从1开始，也可不从1开始）每个
2、数占一格，并使排在任一行、任一列和两条对角线上的n个自然数的和都相等，这样的数表叫做n阶幻方.这个和叫做幻和，n叫做阶.杨辉在续古摘奇算法中，总结洛书幻方构造方法时写到：“九子排列，上、下对易，左右相更，四维挺出.”现用下图对这四句话进行解释.142753869(1)九子排列942753861(2)上、下对易1（3）（4）左右相更四维挺出九子排列上、下对易左右相更四维挺出怎样构造幻方呢？一般方法是先求幻和，再求中间位置的数，最后根据奇、偶情况试填其他方格内的数.下面我们就来介绍一些简单的幻方.例1将19这九个数，填入下左图中的方格中，使每行、每列、两条对角线上三个数字的和都相等.分析为了便于叙
3、述，先用字母表示图中要填写的数字.如上右图所示.解答这个题目，可以分三步解决：先求出每行、每列三个数的和是多少？再求中间位置的数是多少？此题是求E=?最后试填其他方格里的数.VA+B+C+D+E+F+G+H+I=1+2+3+4+5+6+7+8+9二45.A+B+C=D+E+F=G+H+1=15.B+E+H=A+E+I=C+E+G=15.A+B+C+D+E+F+G+H+I+3E二(A+E+I)(B+E+H)+(C+E+G)+(D+E+F)=15X4.45+3E=603E=15E=5.这样，正中央格中的数一定是5.由于在同一条直线的三个数之和是15,因此若某格中的数是奇数，那么与这个数在同一条直线
4、上的另两个数的奇偶性相同.因此，四个角上的数A、C、G、I必为偶数.(否则，若A为奇数，则I为奇数.此时若B为奇数，则其余所有格亦为奇数；若B为偶数，则其余所有格亦为偶数.无论哪种情形，都与1至9中有5个奇数，4个偶数这一事实矛盾.)因此，B、D、F、H为奇数.我们不妨认为A=2(否则，可把3X3方格绕中心块旋转即能做到这一点).此时1=8.此时有两种选择:C=4或G=4.因而,G=6或06.其他格的数随之而定.因此，如果把经过中心块旋转而能完全重合的两种填数法视作一种的话，一共只有两种不同的填数法：A=2,C=4或A=Z,G=4(2,4被确定位置后，其他数的位置随之而定).解：按照上面的分析
5、，我们可以得到两个解(还有另外6个可以由这两个解经过绕中心块旋转而得到，请大家自己完成).例2在右图中的A、B、C、D处填上适当的数，使右图成为一个三阶幻方.E国S0分析与解答从1行和3列得:A+12+D=D+20+llA+12=2011A=19.观察对角线上的三个数的总和，实际上它即为每行、每列的三个数的和.对角线上的三个数的和：+15+ll=19+15+ll=45.(3)B=45-(16+19)=10.D=45-(20+11)=14.045-(16+11)=18./.A=I9、B=I0、018、D=14.例3将右图中的数重新排列，使得横行、竖行、对角线上的三个数的和都相等.分析已知题目中只
6、给了3个数，22、30、38,而每个数都有3个.很显然，横行、竖行、对角线上的三个数的和是：22+30+38=90.以A、B、C记这三个数.如果使得每行、每列（先不要求对角线）都各有一个A、B、C（容易知道，要满足题目要求，必须做到这一点），那么各行、各列的和都为A+B+C=90.而这只有如下图所示的两种类型的排列方式.其中第一图中由于A+A+A=90,因此必须A=30；第二图中C+C+C=90,所以C=30.其余各行、各列以及另一对角线上的三数之和都为A+B+C=90.在第一图中B,C可在22、38中任取；第二图中A、B可在22、38中任取.因此共有4种不同的重新排列法.解：由分析可知，右图
7、所示为4种不同的重新排列方法中的一种.例4将1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字，分别填入3X3阵列中的九个方格，使第二行组成的三位数是第一行组成的三位数的2倍，第三行组成的三位数是第一行组成的三位数的3倍.分析这一例题比前三个例题要复杂些，但如果我们充分利用题目的要求和1至9这九个数的特性（五奇四偶），那么也能缩小每格中所应填的数的范围，直至完全确定每格中应填的数.为了方便起见，把九个格中的数字用A至I这九个英文字母代替.这样，例如02,则F=4,1=6.因而其余六格应包含全部奇数Q、3、5、7、9）和偶数8.由于DEF=2X诙，=3XABC,所以前=有？+每因此又可把3X3方格中的
8、数看作一个加式：前两行之和等于第三行.这对于我们用奇偶性去分析加式成立的可能性是有用的.由于个位上的加法没有进位，因此十位上的三个数字不能都为奇数（否则将出现奇数+奇数二奇数的矛盾等式），即8一定是其中的一个十位数字，显然BW8（否则E=6,与1=6矛盾）.又HW8（否则，B83,只有B=L而当B=I时,H至多为5）.因此E=8,这样，B=9,H=7.最后,由于AVDVG必有A=D=3,G=5.由于192X2=384,1923=576,所以所填的数满足题目要求.又如，04,则F=8,1=2.个位上的加式向十位进L因此十位上的三个数字都是奇数，因此6是一个百位数字.显然AW6.如果D=6,则必有
9、A=3,G=9.而B、E、H是1、5、7这三个数，要满足B+E+1=H,只能B=I,E=5,H=7或B=5,E=LH=7.由于314X2W658,3542618,所以此时不满足题目要求.如果G=6,显然AV3,此时只有A=I,但当A=I时，G（1+1）X3=6.因而当04时，不可能有满足题目要求的填法.其他的情形可以类似地加以讨论，分别给出肯定的或否定的结论.解：由分析，下左图是一种符合要求的填法.由于作为一个加法算式（上两行的和等于第三行），上图只是在十位上的加式向百位进了1,其他两个数位上都没有进位，因此把它的个位移到百位的位置上加式仍然成立，所以上右图也是一种符合要求的填法.还有两种符合
10、要求的填法，希望同学们利用分析中的方法把它们找出来.例5在九宫图中，第一行第三列的位置上填5,第二行第一列位置上填6,如下左图.请你在其他方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和均为27.分析为了叙述方便，我们将其余方格用字母表示，如上右图所示.根据题意可知：A+B+5=27(1)5+C+E=27(2)5+D+G=27(3)6+C+D=27(4)A+6+E=27(5)A+C+G=27(6)B+C+F=27(7)E+F+G=27(8)由(2)+(4)+(6)-(3)-(5)得知：3C=2709.将C=9代入(4),D=12代入(2),则E=13.将D=12代入(3),则G=IO.
11、将E=13代入(5),则A=8.将A=8代入(1),则B=14.将B=I4、09代入(7),则FE.解：由分析可知，中心方格必须填数字9,其他方格中也只有一种填法.见右图.例6请编出一个三阶幻方，使其幻和为24.分析根据题意，要求其三阶幻方的幻和为24,所以中心数为243=8.既然8是中心数，那么与8在一条直线的各个组的其余两数的和为16,想一想哪两个数相加为16呢？1+15=162+14=263+13=164+12=165+11=166+10=167+9=16按上述条件进行估算后填出，然后再进行调整即可得正确的答案.回M0SE00例7如右图,%、1M,I、,W九个数字分别填在右图的圆内，使每
12、一横行、每一竖行、两对角线中三个数的和都相等.分析解答这类问题，要想办法化难为易，从中找到解答的方法.由于分数求和较繁，如果找到上述九个分数分母的最小公倍，将分数扩大后转成整数，问题就易于解决.2,3,4,6,12=12,将九个分数分别扩大12倍，得到6、4、3、2、8、9、1、5、7.而3X3的幻方是熟知的.如右图所示：将上图的每个数除以12就是所求.解:例8如下图的3X3的阵列中填入了19的自然数，构成大家熟知的3阶幻方.现在另有一个3X3的阵列，请选择9个不同自然数填人9个方格中，使得其中最大者为20,最小者大于5,且要求横加、竖加、对角线方式相加的3个数之和都相等.H(2)分析观察原表
13、中的各数是从19不同的九个自然数，其中最大的数是9,最小的数是1,且横加、竖加、对角线方式相加结果相等.根据题意，要求新制的幻方最大数为20,而9+11=20,因此，如果原表中的各数都增加11,就能符合新表中的条件了.解:例9将19这九个数字分别填入下图中两分图中的空格内（其中1和5已填好，使得前两行构成的两个三位数之和等于第三行构成的三位数，并且当每格看成单独一个数时相邻（上、下或左、右）的两格内的数的奇、偶性不同.(1)2)分析由题设条件（即把3X3阵列看成三位数的加式以及奇偶性的分布）可知，上图（1）中个位上的加式必向十位上进1位（因为偶数+奇数W偶数），而十位未向百位进位.因此，第三行第三列的奇数小于5,不等于1,必为3,进而第一列第一行和第三行的数分别为7和9.接着可把其余四格中的偶数相继确定.解：从对上图（1）的分析可得解如下图（1）.对上图（2）进行类似的分析，可得解如下图（2）.
