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1、鸡兔同笼的讨论鸡兔同笼是我国古代经典数学问题，在古代很早就有记载，我国著名数学家祖冲之作缀术(约公元300年)时就已提到这一问题。祖冲之所提的问题实际上是在对鸡兔同笼进行分类整理时提出的。鸡兔同笼是指把鸡和兔放在同一个笼子里，即把鸡头和兔头放在笼子两侧，而把鸡身和兔身放在笼子中间。当时我国古代数学家已把这种问题做了一种形象的说明：用鸡1只、兔1只，鸡与兔共有2只脚。把它们放到一起，可得一种问题：有多少只脚？ L根据题意，列出算式要正确解答鸡兔同笼问题，首先要弄清楚这道题的意思，即：当鸡头和兔头在同一条直线上时，鸡有多少只脚；当鸡身和兔身在同一条直线上时，鸡有多少只脚；当鸡头和兔头不在同一条直线
2、上时，鸡有多少只脚。这道题的意思是：在同一条直线上，当鸡1只脚、兔1只脚的时候，有(2)+(1-2)=3；当鸡2只脚、兔2只脚的时候，有(2-2)+(1-1-2)=3；当鸡3只脚、兔3只脚的时候，有(3-2)(l-l-2)=4；当鸡4只脚、兔4只脚的时候,有(4-4)+(1-1-2)=6；当鸡6只脚、兔6只脚的时候,有(6-4)+(3-3)=12o首先要确定鸡头和兔头是否在同一条直线上；其次要确定鸡头和兔头的数量是多少；再次要确定鸡、兔两个数是否在同一条直线上。对于上面三道题，学生根据题目意思可以列出算式：其次，根据题目的意思也可以列出算式：1、2、3、44、612o这三道题都是四个数的乘积问
3、题。为了便于学生掌握运算方法，笔者让学生尝试用加减乘除和除法算这道题。首先引导学生先理解加减乘除运算的意义；然后引导学生学习加减法的计算方法和基本法则，在此基础上运用基本法则解决实际问题。例如：鸡兔同笼共10个数，3个鸡头、5个兔头，则鸡有几只脚？6-4+3=5；鸡2只腿、兔2只腿，则鸡有多少只脚？12-4+3:6。 2.计算，写出算式通过上述方法，把“鸡和兔”的数量确定下来，可以计算出这两个数的和：鸡兔各多少只？有一组数字，用这两个数字来表示我们所要解决的问题，每组数字表示不同的数量。假设这个问题有3个问句，就可以把问题分成三组。第1问：有多少只脚？第2问：这两个数字组合起来表示什么？第3问
4、：哪两个数字组合在一起可以组成一个算式？其中每一组数字代表一个“问题”，每一个问题有自己的编号。例如，第1个问题编号为2,第2个问题编号为3。因为两个组合可以组成不同的算式，所以我们要解决这3个问题，就要分别找到两组不同的数字组合。有了这一组数字组合之后，我们就要确定在每组数字中选择哪两组数字进行组合。根据组合的不同情况，我们又可以把每两个组合分成几类。例如第3组数字中有1和2（因为是同一个数）组成，第4组中有2和3（因为是两个不同的数）组成等。在这3种情况下，每一种情况都对应不同的算式和不同的解题方法。在这3种不同情况下分别对应每一组数字的组合中选哪两组数字进行组合也是有讲究的。在第1问中选
5、择2作为1和2相乘组成一元二次方程，而在第2问中选择2作为1和2相乘组成一元二次方程则不是我们要解决的问题了。在这两种情况下，都没有必要把两个组合对应的算式同时列出来再去求解。用上面给出的方法列出第1种算式只需两步：确定第2种组合对应的算式；然后再列第2种算式。当第1种、第2种组合和第3种组合进行比较时，又要使用两步法来得出结果。我们把这3组数字中选择其中一组作为目标问题所对应的算式，再把这一组数字中各自选择了哪两个数字作为目标问题所对应的算式。 3.从算式中求出2只脚的个数在缀术中，祖冲之使用的方法是：“以一鸡，两兔，并之四足为正，以鸡头、兔头置于其侧；又以鸡首、兔首置于其上；并于笼中；有一
6、兔，则两足各在一笼中，有二足，则三足各在一笼中”。这样看来，他使用的是从鸡头兔头的位置观察，而不是从鸡脚兔脚的位置观察。由此可推出：鸡脚和兔脚有4种情况：第一种情况是：“一兔两足”：即每只鸡和兔子各有2只脚，而且各有3只脚。这个“三”就是“三足”。第二种情况是：“四足”：即每只鸡和兔子都是4条腿。这个“四足”是不能重复的，这就说明有4种情况。这个“两兔四足”就包括了第二、第三种情况的两倍。以上四种情况，祖冲之都能用算式准确地表达出来。那么他在表达过程中用到的哪一种方法呢？他写在缀术中的算式中其实包含两种情况：一种情况是指鸡兔同笼中共有4种情况，分别为第1、第2、第3、第4种；另一种情况指的是鸡
7、兔同笼中共有6种情况，分别为第1、第4、第5种。祖冲之是用哪一种方法来表达自己的思想呢？我们不知道，但至少我们知道，祖冲之不仅用两个算式准确地表达了自己的思想，而且还证明了有4个正整数可以表示成5次方程解的形式（即鸡兔同笼中共有6个正整数可以表示成两个算式）。祖冲之证明的两个算式中包含了“鸡兔同笼”这一问题。而且他用“二足”（即鸡和兔共有2只脚）这个已知条件来确定这两个算式的解法，这就是证明方法的魅力所在。 4.根据题目给出的条件，用代数方法求出答案由题意可列出：鸡脚：兔脚=1;（2）、（3）：鸡头：兔头二1；根据上面的几种解答，我们可以发现，对于题目给出的条件，要解出题目的答案，一般要先确定
8、鸡头和兔头的个数，再分别计算出鸡与兔共有2只脚。因此，解答时可先设出鸡与兔共有2只脚的数量，然后把其中的1只当作鸡或兔，其他当作鸡或兔的脚数（1）和2）进行计算；对于鸡头和兔头，若设为（3）中的1只或2只时则可直接计算鸡头和兔头的个数；若设为（4）中的1只或2只时则可先求出鸡头数、兔脚数及脚总数。对于鸡和兔共有两只脚这一条件，如果知道了鸡头数、兔头数及脚总数，我们就可以利用鸡头、鸡脚、兔脚总数乘以2得到正确的结果。由于“鸡”、“兔”与“同”都是两个多项式之和为1。因此，有一个多项式表示两个多项式之和：由于以上分析到此为止只是简单介绍了一下解题方法。由于题目中未给出计算公式，因此我们无法利用公式来计算鸡兔同笼数量关系式。所以本题最后还要靠自己来完成。
