中学数学建模教学的认识与实践.ppt

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1、1,中学数学建模教学的认识与实践,2,主要内容,数学模型与数学建模中学数学建模的现状简介国内中学数学建模教学的特点如何培养中学生的数学建模意识如何开展数学建模教学,3,1.数学以及数学的应用现状,数学是一门研究数量关系及空间形式的科学，学习数学不仅在日常生活中有着很强的实用性，同时学习数学还有利于锻炼学生的逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力等多种能力。数学也一直被视为传统的基础学科，在小学和中学阶段都作为必修课来设置。近半个多世纪以来，随着计算机技术的迅速发展，数学的应用不仅在工程技术、自然科学等领域发挥着越来越重要的作用，而且以空前的广度和深度向经济、金融、生物、医学、环境、地质、人口、交

2、通等新的领域渗透，所谓数学技术已经成为当代高新技术的重要组成部分。,4,2.数学模型与数学建模,2.1 数学模型 数学模型（Mathematical Model）是一种模拟，是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它的建立常常既需要人们对现实问题深入细微的观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。这种应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模(Mathematical Modeling)。,

3、5,2.2 数学建模 具体地说:数学建模就是将某一领域或部门的某一实际问题，经过抽象、简化、明确变量和参数，并依据某种“规律”建立变量和参数间的一个明确的数学关系(即数学模型)，然后求解该数学问题，并对此结果进行解释和验证，若通过，则可投入使用，否则将返回去，重新对问题的假设进行改进 数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段。数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。,2.数学模型与数学建模,6,数学建模的意义和作用 培养创新意识和创造能力 训练快速获取信息和资料的能 锻炼快速了解和掌握新知识的技能 培养团队合作

4、意识和团队合作精神 增强写作技能和排版技术 更重要的是训练人的逻辑思维和开放性思考方式 荣获国家级奖励有利于保送研究生、有利于申请出国留学（对于大学生而言的）,2.数学模型与数学建模,7,2.3 数学建模的基本步骤(1)模型准备了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。用数学语言来描述问题。(2)模型假设根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。(3)模型建立在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构（尽量用简单的数学工具）。,2.数学模型与数学建模,8,2.3 数学建模的基本步骤(4)模型求解利

5、用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算(或近似计算)。(5)模型分析对所得的结果进行数学上的分析。(6)模型检验将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差，则应该修改假设，再次重复建模过程。(7)模型应用应用方式因问题的性质和建模的目的而异。,2.数学模型与数学建模,9,2.4 数学建模应当掌握的十类算法1)蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法）2)数据拟合、参数估计、插值等

6、数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具）3)线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现）4)图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备）5)动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中）,2.数学模型与数学建模,10,2.4 数学建模应当掌握的十类算法 6)最优化

7、理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用）7)网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具）8)一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的）9)数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵

8、运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用）10)图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理）,2.数学模型与数学建模,11,2.4 数学建模的起源 数学建模在20世纪60和70年代进入一些西方国家大学；我国的几所大学(清华大学、北京大学、浙江大学等）也在80年代初将数学建模引入课堂。经过20多年的发展现在绝大多数本科院校和许多专科学校都开设了各种形式的数学建模课程和讲座。为培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力开辟了一条有效的途径。,2.数学模型与数学建模,12,

9、2.5 大学生数学建模竞赛(1)国际大学生数学建模竞赛 国际大学生数学建模竞赛是美国国家科学基金会、美国数学会、美国运筹与管理学会及其应用联合会联合举办的在世界上影响范围最大的高水平大学生学术赛事。竞赛的题目都来自于生产和科研中的实际问题，对竞赛题目的圆满解决不仅需要综合运用数学知识、计算机技术以及其他相关知识，还需要队员之间密切合作，集体发挥队员的创造性思维能力和分析问题、解决问题的综合能力。,2.数学模型与数学建模,13,2.5 大学生数学建模竞赛(1)国际大学生数学建模竞赛 竞赛要求3个以下本科未毕业学生在3天时间内用数学建模及其他知识解决一个具体的社会工程问题，用英语提交论文。该竞赛能

10、从一个侧面体现大学生创新能力、实践能力和综合素质，吸引了世界各地著名学府学生的参加.2011年共有来自哈佛大学、普林斯顿大学、麻省理工学院、清华大学、北京大学等全球著名学府的3000多支代表队参赛，是赛事举办以来参加人数最多的一年。,2.数学模型与数学建模,14,2.5 大学生数学建模竞赛(2)全国大学生数学建模竞赛全国大学生数学建模竞赛是国家教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同主办的面向全国大学生的群众性科技活动。目的在于激励学生学习数学的积极性，提高学生建立数学模型和运用计算机技术解决实际问题的综合能力，鼓励广大学生踊跃参加课外科技活动，开拓知识面，培养创造精神及合作意识，推动大学数学

11、教学体系、教学内容和方法的改革。竞赛题目一般来源于工程技术和管理科学等方面经过适当简化加工的实际问题，不要求参赛者预先掌握深入的专门知识，只需要学过普通高校的数学课程。,2.数学模型与数学建模,15,2.5 大学生数学建模竞赛(2)全国大学生数学建模竞赛 题目有较大的灵活性供参赛者发挥其创造能力。参赛者应根据题目要求，完成一篇包括模型的假设、建立和求解，计算方法的设计和计算机实现，结果的分析和检验，模型的改进等方面的论文（即答卷）。竞赛评奖以假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性和文字表述的清晰程度为主要标准。全国统一竞赛题目，采取通讯竞赛方式，以相对集中的形式进行；竞赛一般在每年9月末的三

12、天内举行；大学生以队为单位参赛，每队3人，专业不限。,2.数学模型与数学建模,16,(2)全国大学生数学建模竞赛1989年在几位从事数学建模教育的教师组织下，我国几所大学的学生开始参加美国的竞赛。经过两三年的参赛，师生都认为这种竞赛有利于学生的全面发展，而且也有利于推动数学建模教学的迅速发展。1992年由中国工业与应用数学学会组织举办了我国10城市的大学生数学模型联赛，74所院校的314队参加。教育部领导及时发现、并扶植、培育了这一新生事物，决定从1994年起由教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同主办全国大学生数学建模竞赛，每年一届。十几年来这项竞赛的规模以平均年增长25%以上的速度发展。

13、,2.数学模型与数学建模,17,(2)全国大学生数学建模竞赛 2009 年全国有33个省/市/自治区(包括香港和澳门特区)1137所院校、15046个队（其中甲组12276队、乙组2770队）、4万5千多名来自各个专业的大学生参加竞赛(其中西藏和澳门是首次参赛)。目前已成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞赛。2011 年，来自全国33个省/市/自治区(包括香港和澳门特区)及新加坡、美国、伊朗的1251所院校、19490个队（其中本科组16008队、专科组3482队）、58000多名大学生报名参加本项竞赛。,2.数学模型与数学建模,18,(2)全国大学生数学建模竞

14、赛历年题目：1992年(A)施肥效果分析问题(北京理工大学：叶其孝）(B)实验数据分解问题（华东理工大学：俞文此;复旦大学：谭永基）1993年(A)非线性交调的频率设计问题（北京大学：谢衷洁）(B)足球排名次问题（清华大学：蔡大用）1994年(A)逢山开路问题（西安电子科技大学：何大可）(B)锁具装箱问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学：俞文此）1995年(A)飞行管理问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学：俞文此）(B)天车与冶炼炉的作业调度问题（浙江大学：刘祥官,李吉鸾）1996年(A)最优捕鱼策略问题（北京师范大学：刘来福）(B)节水洗衣机问题（重庆大学：付鹂）1997年(A)零件参数设计

15、问题（清华大学：姜启源）(B)截断切割问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学：俞文此）1998年(A)投资的收益和风险问题（浙江大学：陈淑平）(B)灾情巡视路线问题（上海海运学院：丁颂康）,2.数学模型与数学建模,19,(2)全国大学生数学建模竞赛历年题目：1999年(A)自动化车床管理问题(B)钻井布局问题（郑州大学：林诒勋）(C)煤矸石堆积问题(D)钻井布局问题2000年(A)DNA序列分类问题(B)钢管订购和运输问题(C)飞越北极问题(D)空洞探测问题2001年(A)血管的三维重建问题(B)公交车调度问题(C)基金使用计划问题(D)公交车调度问题2002年(A)车灯线光源的优化设计问题(B

16、)彩票中的数学问题(C)车灯线光源的优化设计问题(D)赛程安排问题2003年(A)SARS的传播问题(B)露天矿生产的车辆安排问题(C)SARS的传播问题(D)抢渡长江问题2004年(A)奥运会临时超市网点设计问题(B)电力市场的输电阻塞管理问题(C)酒后开车问题(D)招聘公务员问题2005年(A)长江水质的评价和预测问题(B)DVD在线租赁问题(C)雨量预报方法的评价问题(D)DVD在线租赁问题,2.数学模型与数学建模,20,(2)全国大学生数学建模竞赛历年题目：2006年(A)出版社的资源配置问题(B)艾滋病疗法的评价及疗效的预测问题(C)易拉罐的优化设计问题(D)煤矿瓦斯和煤尘的监测与控

17、制问题2007年(A)中国人口增长预测(B)乘公交，看奥运(C)手机“套餐”优惠几何(D)体能测试时间安排2008年（A）数码相机定位，（B）高等教育学费标准探讨，（C）地面搜索，（D）NBA赛程的分析与评价2009年（A）制动器试验台的控制方法分析（B）眼科病床的合理安排（C）卫星和飞船的跟踪测控（D）会议筹备2010年（A）储油罐的变位识别与罐容表标定（B）2010年上海世博会影响力的定量评估（C）输油管的布置（D）对学生宿舍设计方案的评价2011年（A）城市表层土壤重金属污染分析（B）交巡警服务平台的设置与调度（C）企业退休职工养老金制度的改革（D）天然肠衣搭配问题,2.数学模型与数学建

18、模,21,(2)全国大学生数学建模竞赛黄冈师范学院参加国际国内数学建模竞赛的成绩：黄冈师院2011年首次参加国际数学建模竞赛；1999年首次参加全国数学建模竞赛，取得的成绩如下：国际一等奖1项 国际二等奖1项 国家一等奖8项 国家二等奖7项 湖北省一等奖16项、湖北省二等奖17项，湖北省三等奖12项,2.数学模型与数学建模,特别地，在2000年获得乙组国家一等奖2项，并和清华大学分享“网易杯”，这是湖北赛区大学生第一次获得全国特等奖。在2001、2005年，我校两次获得甲组国家一等奖；在2002、2006、2008年，4次获得甲组国家二等奖。,22,在美国大学生数学建模竞赛的影响下，1992

19、年11 月底，中国工业与应用数学学会举行了我国首届大学生数学建模联赛。从那以后，数学应用、数学建模方法、数学建模教学的热潮也迅速波及到中学，使得我国有关中学数学杂志中，讨论数学应用数学建模方法、数学建模教学的文章明显多了起来。1996 年9 月北京市数学会组织了一部分中学生参加了“全国大学生数学建模大赛”，取得了意想不到的好成绩，赢得了评审人员、教师等有关人士的一致好评。这些竞赛与常规的数学竞赛很不一样，题目内容与生产和生活实际紧密相连，可以使用参考书和计算工具，都是要通过建立数学模型来解决实际应用问题。这也说明中学生能否进行数学建模并不在于是否具备高等数学知识，运用初等数学知识仍然可以进行数

20、学建模，甚至有时能把问题解决得更好。,3.中学数学建模的现状简介,23,在我国，中学真正开展数学建模的时间并不长。最早进行中学数学建模的城市是上海市。1991 年10 月，由上海市科技局、上海工业与应用数学学会、上海金桥出口加工联合有限公司联合举办了“上海市首届金桥杯中学生数学知识应用竞赛”的初赛，并于1992 年3月举行了决赛。以后每年进行一次，主要对象是高中学生。这项竞赛参加者最多时达到了四千多人，在培养中学生数学应用意识和数学建模能力方面起到了重要作用，也为我国其他地区举办中学生数学应用与建模竞赛起了一个带头作用。北京市于1993 年到1994 年也成功举办了“北京市首届方正杯中学生数学

21、知识应用竞赛”，有两千多人参加了竞赛。与此同时，举办者开始尝试让中学生写数学建模的小论文，学生所写的小论文让举办者和教师大为吃惊。,3.中学数学建模的现状,24,到1997 年北京市教委从中学数学教育改革，特别是从应试教育向素质教育转变的角度出发，批准恢复了一年一度面向高中学生的竞赛。北京市成立了由北京市数学会、北京市教委科教院、人民教育出版社、北京师范大学、首都师范大学联合组织的“高中数学应用知识竞赛”咨询委员会和组织委员会，由北京数学会作为具体承办单位，并于1997 年12 月举办了“第一届北京市高中数学知识应用竞赛”初赛，并于1998 年3 月进行了决赛，至今成为惯例，已成功举办了十一届

22、。2000 年8 月，第七届全国数学建模教学与应用会议在郑州召开。会议安排了有关中学数学应用和建模的报告。比如，北京理工大学的叶其孝教授和北京师范大学的刘来福教授分别作了题为“深入开展中学生数学知识应用活动”和“北京中学生数学知识应用竞赛”的报告。特别值得提出的是，在这次会议上，第一次有中学教师参加。,3.中学数学建模的现状,25,2001 年7 月29 日至8 月2 日，第十届国际数学建模教学与应用会议在北京举行。会议的研讨包括“中学数学知识应用竞赛和中学数学教育改革”的报告和研讨会。部分中国与会者还就“大、中学数学建模教学活动和教育改革”，“美、中大学生数学建模竞赛赛题解析”进行了交流。我

23、国的一些中学教师在会上作了有关中学数学建模的报告，引起了与会者的强烈反响。所有这些都为进一步推动我国的数学建模教学活动创造了良好的条件。教育部2003 年颁布的普通高中数学课程标准（实验稿）把数学建模纳入了内容标准中，明确指出“高中阶段至少应为学生安排一次数学建模活动”，这标志着数学建模正式进入我国高中数学，也是我国中学数学应用与建模发展的一个里程碑。,3.中学数学建模的现状,26,一.数学课程标准中对数学建模提出的明确要求（1）在数学建模中，问题是关键。数学建模的问题应是多样的，应是来自于学生的日常生活、现实世界、其他学科等多方面的问题。同时，解决问题所涉及的知识、思想、方法应与高中数学课程

24、内容有联系。（2）通过数学建模，学生将了解和体会解决实际问题的全过程，体验数学与日常生活及其他学科的联系，感受数学的实用价值，增强应用意识，提高实践能力。（3）每一个学生可以根据自己的生活经验发现并提出问题，对同样的问题，可以发挥自己的特长和个性，从不同的角度、层次探索解决的方法，从而获得综合运用知识和方法解决实际问题的经验，发展创新意识。（4）学生在发现和解决问题的过程中，应学会通过查询资料等手段获取信息。（5）学生在数学建模中应采取各种合作方式解决问题，养成与人交流的习惯，并获得良好的情感体验。（6）高中阶段应至少为学生安排一次数学建模活动。还应将课内与课外有机地结合起来，把数学建模活动与

25、综合实践活动有机地结合起来。,4.国内中学数学建模教学的特点,27,二.在各大师范院校为本科生、研究生开设选修或必修的“中学数学建模”课程的同时，奋战在一线的中学数学教师也开始投身中学数学建模的实践和研究中。苏州大学数学科学学院的徐稼红教授从1997 年开始，为师范毕业班开设了“中学数学建模”选修课，该课受到学生的普遍欢迎和重视，学生反映这门课开得及时，是将中学数学与实际应用紧密联系的一门好课。期间，还为中学数学教师开设“中学数学建模”讲座，也得到了中学老师的充分肯定与好评，对促进中学数学应用的教学起到了积极的推动作用。徐稼红教授还就开设“中学数学建模”课程的意义、教学方法和教学基本内容作了深

26、入探讨和研究。并且在实践中得出结论：“高师数学系设置中学数学建模课程既是必要也是可行的，它是提高高师学生的数学素养，培养未来合格教师的一条重要途径，也是加强高初结合值得探索的一个方向。”,4.国内中学数学建模教学的特点,28,河北师范大学的张硕和杨春宏运用循序渐进的教学原则将中学数学建模能力的培养分为初级、中级和高级三个阶段，对应建模能力将建模题目也分为了三个层次。并指出：“建模能力和建模题目的等级划分不是绝对的，在一定条件下是可以相互转换的。因此，不同类型的中学应该根据各自学校的具体情况，努力研究数学建模教育自身的发展规律，让不同能力阶段的学生，通过开展数学建模活动，得到学数学、用数学的实际

27、体验，培养学生勤于思考，勇于探索的勇气与敢为人先的精神，从而达到全面提高学生素质、增长学生才干的目的”。北京市数学会从1994 年起，组织了“中学数学教学改革和数学建模”讨论班，每两周活动一次，参加讨论班的有不少大学的教授、研究生和几十位中学教师。在市教委教研部和教材编审部的支持和组织下，讨论班的教师开设了多次全市范围的数学建模的公开课和专题讲座，正式出版了数学知识应用的课外活动教材。首都师范大学的数学教育的研究生课程班和一些区县的教师进修学校的数学教师继续教育班，也把数学建模作为必修课。,4.国内中学数学建模教学的特点,29,我国部分中学数学教师也在孜孜不倦地对数学应用与建模的实践进行着有益

28、的探索。比如，北大附中的张思明老师从1993 年开始在所教的班的数学教学中渗透数学建模的思想和方法。主要做法是：在课堂教学中，让学生了解所学知识的应用背景，让学生接触并解决一些有真实感的应用问题。在课外活动中为学生介绍一些数学建模的实例，设计了多种形式的数学活动，引导各种水平的学生进行用数学解决生活中实际问题的实践。张思明著的中学数学建模教学的实践与探索（1998年）和数学课题学习的实践与探索（2003 年）两本书，就中学数学建模的内容、意义、开展方法和实例分析作了深入探讨，为一线教师提供了有力参考。2000 年，四川省邻水二中在苏州大学武茂庆的指导下，以冯永明、张启凡和刘凤文为代表的数学教师

29、开展了中学数学建模教学与应用的研究和实践。他们以教材为载体，以改革活动方法为突破口,以小组为单位开展建模活动,从生活中的数学问题出发，强化应用意识；从社会热点问题出发，介绍建模方法；通过实践活动或游戏中的数学，从中培养学生的应用意识和数学建模应用能力.,4.国内中学数学建模教学的特点,30,三.中学数学建模教学的具体实施困难重重(1)对数学建模缺乏自信力 数学中的实际问题的文字叙述比较贴近现实生活，题目也比较长，数量关系也比较多，并且分散隐蔽。因此，面对一大堆非形式化的材料，许多学生时常感到很茫然，不知从何下手，产生惧怕数学应用题的心理。具体表现在：在信息的吸收过程中，受实际问题中提供信息的次

30、序、过多的干扰语句的影响，许多学生读不懂题目，只好放弃；在信息的加工处理过程中，受学生自身阅读分析能力以及数学基础知识的掌握程度的影响，许多学生缺乏把握实际问题的整体数学结构的信息作分层面的线性剖析的能力，即使能读懂题意，也无法把实际问题中包含的数学对象间的复杂网络关系线性化，从而无法解题；在信息的提炼过程中，受学生数学语言转换能力的影响，许多学生无法把实际问题与对应的数学模型联系起来，缺乏把实际问题转换为数学问题的转化能力。数学建模问题是用数学知识和数学方法解决实际生活中的问题，是一种创造性的信息加工的过程，由于学生缺乏这种数学素质，加上学生不具备转化建模的能力，学生心理上的惧怕，从而对解决

31、实际问题缺乏自信力。,4.国内中学数学建模教学的特点,31,三.中学数学建模教学的具体实施困难重重(2)缺乏实际生活的体验 由于实际问题涉及较多的名词术语，而学生从小到大一直生长在学校中，与外界接触较少，对这些名词术语感到很陌生，不知其意，从而也就无法读懂题，正确理解题意。比如实际生活中的利率、利润、打折、保险金、保险费、纳税率、折旧率等概念。(3)对复杂的数据处理缺乏经验 学校的数学学习大多是抽象后的数学问题，题干和问题都比较简要，学生以习惯了这种“纯数学”的学习。而在实际问题中，往往涉及到的数据多且杂乱，学生面对如此多而杂乱的数据感到无从下手，不知该把哪个数据作为思维的起点，从而找不到解决

32、问题的突破口。(4)缺乏对实际问题转化为数学问题经验 实际问题转化为数学问题，是一个非常困难过程，要经历抽象化、符号化和模型化的过程。而数学建模方式又是多种多样的，有方程、函数、不等式、几何、概率和统计等等。对具体的实际问题来讲，转化为数学问题，选择数学模型，这是学生深感困难的一个环节。,4.国内中学数学建模教学的特点,32,4.1 教师自身意识的提高 为了培养学生的建模意识，中学数学教师应首先需要提高自己的建模意识 这不仅意味着我们在教学内容和要求上的变化，更意味着教育思想和教学观念的更新 中学数学教师除需要了解数学科学的发展历史和发展动态之外，还需要不断地学习一些新的数学建模理论，并且努力

33、钻研如何把中学数学知识应用于现实生活 例如：将“传统型福利彩票”和“乐透型福利彩票”的中奖概率问题引入概率部分的教学中，将会取得较好的教学效果,4.如何培养学生的数学建模意识,33,4.2 用好课堂这一“主战场”数学建模教学应结合正常的数学内容进行切入，用好课堂这一“主战场”，把培养学生的数学建模意识落实到平时的教学过程中 俗话说:“台上三分钟，台下十年功”，要想在课堂上取得好的教学效果，课后就要深入钻研教材，挖掘教材中所蕴涵的数学建模教学的素材 例如:(1)平均增长率问题，包括产量、繁殖、资金、利率、衰变、裂变等，可以建立幂、指、对数函数或方程模型(2)最大最小问题，包括面(体)积最大(小)

34、、用料最省、费用最低、效益最好等，可以建立函数或不等式模型(3)行程、工程、浓度问题，可以建立方程(组)、不等式(组)模型(4)拱桥、炮弹发射、卫星轨道问题，可以建立二次曲线模型(5)测量问题，可以建立解三角形模型(6)计数问题，可以建立排列组合模型(7)下料等优化问题，可以建立线性规划模型,4.如何培养学生的数学建模意识,34,4.3 理论与实践相结合 在教学中还要开展专题讨论与建模法研究 我们可以选择适当的建模专题，如“代数法建模”、“图解法建模”、“直(曲)线拟合法建模”等 通过讨论、分析和研究，熟悉并理解数学建模的一些重要思想，掌握建模的基本方法 另外，适时地设计一些活动，让学生进行建

35、模练习，例如:请你到有关部门查询你所在城市2000 年初的常住人口数与流动人口数，以及它们相应的人口年增长率，然后预测按这样的增长率，到2050 年初该市拥有的人口数(把整个活动过程写成小论文形式交流),4.如何培养学生的数学建模意识,35,4.3 理论与实践相结合 再如，在等比数列教学中，可以设计以下活动:请你利用课余时间到附近的银行调查降息前后银行的利息变化，并考虑向银行以按揭贷款20 年的方式归还款项的5 年期和10 年期的月均还款额、还款总额和利息负担总和各降低了多少(要求以小论文形式做出，每组推荐一名同学在课堂上发言)这样的活动很多，如可以让家中做生意的同学调查物品进价、售价与销售量

36、的关系，寻找模拟函数，并计算物品的最佳售价，等等 让学生走出课堂，亲自发现和设计问题，从而让学生尝到数学建模成功的“甜”和难于解决的“苦”借亦拓宽视野、增长知识、积累经验,4.如何培养学生的数学建模意识,36,5.1 消除心理障碍，增强学生学好数学的自信心 许多学生一见应用题文字长，连题目都没有看完，就望而生畏，置之不理 所以，我们要求学生要树立信心，不能随意放弃 在平时教学中，有目的、有计划地加一些应用题进行分析，每次考试也尽可能地考查一道与复习内容相关的应用题，帮助学生消除心理障碍5.2 紧扣教材，合理选材，适时切入 中学数学建模教学应结合正常的教学内容切入，把培养应用数学的意识落实在平时

37、的教学过程中，以教材为载体，以改革教学方法为突破口，通过对教学内容的科学加工、处理和再创造达到在学中用，在用中学,5.如何开展数学建模教学,37,5.3 训练阅读能力，熟练基本模式 解答应用问题就是在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题转化为数学问题，建立相应的数学模型，再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学答案，然后再把数学答案返回到实际问题中去获取具有实际意义的结论，基本程序如下:,5.如何开展数学建模教学,38,中学数学建模教学的主要内容 虽然说,建模的内容是广泛的社会实际问题,但中学数学建模活动是根据学生的年龄特征和知识水平开展的,主要的是涉及下面几个方面的内容:(1)与函

38、数、方程(组)、不等式有关的问题,涉及路程、物价、产量、工程造价、土地丈量、利润等可以通过建立函数或方程、不等式的代数模型解决的实际问题.(2)与数列有关有问题,涉及到住房、产量、土地、增长率、银行贷款、分期付款等可以通过建立数列的代数模型解决的实际问题.(3)与三角函数有关的应用,涉及物理学科中的摆动、振动以及实际测量等可以通过建立三角函数的三角模型解决的问题.(4)与几何相关的问题,涉及观测、地球的经纬度、面积、体积、容量等立体几何问题,以及油罐车、通风塔、抛物线拱桥、人造地球卫星运行轨道、反光灯、桥梁等实际问题,可以建立几何模型解决.,5.如何开展数学建模教学,39,中学数学建模实例(1

39、)建立方程(组)模型 在现实生活中广泛存在等量关系，如:行程问题、工程问题、航行问题、劳力调配问题、数字问题、形积变化问题、销售问题、配套问题、经济问题等等，都可以建立方程(组)模型来解决 例1 某服装商店出售优惠购物卡，花200 元买了这种卡后，凭卡可在这家商店按八折购物 问:累计购物多少元时买卡与不买卡一样?什么情况下买卡购物合算?解 设累计购物x 元时，买卡与不买卡一样依题意，得0.8x+200=x，解得x=1000 答:当累计购物1000 元时，买卡与不买卡一样当累计购物超过1000 元时，买卡购物合算,5.如何开展数学建模教学,40,(2)建立不等式(组)模型 在市场经营，生产决策和

40、社会生活中，常把实际问题中隐含的数量关系转化为不等式(组)求解 例2 某工厂现有甲种原料360 kg，乙种原料290 kg，计划利用这两种原料生产A，B 两种产品共50 件 已知生产1 件A 种产品需甲种原料9 kg、乙种原料3 kg，生产1 件B种产品需甲种原料4 kg、乙种原料10 kg 请你提出安排生产的方案 解 设安排生产A 种产品x 件，则B 种产品(50 x)件依题意，得 9x+4(50 x)360，3x+10(50 x)290，解得30 x32 x 是整数，取x=30，31，32 对应的50 x=20，19，18 答:有3 种方案，生产A 种产品30 件，B 种产品20件 生产A

41、 种产品31 件，B 种产品19 件 生产A 种产品32 件，B 种产品18 件,5.如何开展数学建模教学,41,(3)建立函数模型 在现实生活中，普遍存在最优化问题，如造价、用料最少、利润最大等，都可以建立函数模型，转化为求函数最值问题 例3 A 城有化肥200 吨，B 城有化肥300 吨，现要把这些化肥全部运往C，D 两乡 从A 城往C，D 两乡调动化肥的费用分别为每吨30 元和40 元，从B 城往C，D 两乡调动化肥的费用分别为每吨45 元和60 元 已知C 乡需化肥240吨，D 乡需化肥260 吨 问:如何调动可使总运费最省?解 设从A 城调x 吨到C 乡，总运费为y 元依题意，得 y

42、=30 x+40(200 x)+45(240 x)+60(60+x)=5x+22400 x0，200 x0，240 x0，60+x0，0 x200 k=5 0，y 随着x 的增大而增大 当x=0 时，y最小=22400 200 x=200，240 x=240，60+x=60 答:最省运费的调动方案:把A 城的200 吨化肥全部调往D 乡;把B 城的化肥调60 吨到D 乡，调240 吨到C 乡,5.如何开展数学建模教学,42,(4)建立几何模型 诸如航海、三角测量、边角余料加工、工程定位、拱桥设计等应用问题，涉及一定图形性质，常需要建立相应的几何模型，转化为几何或三角问题求解 例4 入夏以来，某

43、江的水位不断下降，达到历史最低水位，一条船在该江某水段自西向东沿直线航行，在A 处测得航标C 在北偏东60方向上，前进100 米到达B 处，又测得航标C 在北偏东45方向上，如图所示，在以航标C 为圆心，120 米长为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险?解 过点C 作CDAB 于D，则1=30，2=45，AB=100设CD=x 米，则BD=CD=x在RtACD 中，AD=100+x tan1=CD/AD，tan30=x/(100+x)，解得x 136.6.136.6 120，这条船继续前进没有被浅滩阻碍的危险,5.如何开展数学建模教学,43,(5)建立直角坐标系模型 当变量的变化具有(近似)函数关系，或物体运动轨迹是有某种规律，可通过建立平面直角坐标系，转化为函数图像问题求解 例5 如图是一座抛物线的拱桥，桥下水面宽度AB 是20 米，拱高CD 是4 米，若水面上升3 米至EF，则水面宽度EF 是多少?解 如图，建立平面直角坐标系设抛物线解析式为把B(10，0)代入，得100a+4=0 a=-(1/125)，当y=3 时,解得x=5 EF=10 答:水面宽度EF 是10 米,5.如何开展数学建模教学,