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1、等边三角形的综合应用教学设计与反思从一节公开课谈如何构建高效教学广州市第二中学数学科 周珑摘要：本文从公开课等边三角形的综合应用来探讨初中数学例习题选择与训练策略。它是新课程观强调的教师的主导作用和学生主体作用的综合体现。教师要以新课程标准为总原则，把握重难点，建立数学模型，重视思维训练，做到选练结合，创设良好氛围，使学生在探究训练中获得情感体验，学到知识，锻炼思维。关键词：构造法 建模 数学思维一设计背景及教学过程这个学期在结束人教版八年级上册轴对称单元新课的情况下上了一节公开课等边三角形的综合应用，目的是想让学生通过积极参与操作、领会问题、尝试表达，感知数学，积极探究，进一步熟练掌握等边三
2、角形性质及判定，并用它们解决实际问题；掌握等边三角形的构图技巧。本节课的重难点是在教学过程渗透分类思想、整体思想、方程思想以及化归转化思想等基本的数学思想。结合学校和班级学生的特点，以课程标准和教材为纲，对例题和习题进行了选择和重组，达到了较好的教学效果。在教学活动中，力争充分发挥教师的主导作用，培养学生学习的兴趣，充分调动学生的积极性和主动性，鼓励他们大胆进行猜测、联想，培养学生学会独立思考和探索研究数学问题的能力和创造性的思维能力。本节课在例习题的安排上从基本定理引入：有一个角是的等腰三角形是等边三角形。 定理本身利用分类的数学思想比较好理解， 但学生用起来有一定的难度。（一）典例精析例、
3、习题的设计和选择要贯彻新课标的理念，即要建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上，要有一定的层次性，体现基础性、普及性和发展性，做到人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。本节课前利用投影让学生课前朗读：1.有一个角是的等腰三角形是等边三角形；2.有两个角是的三角形是等边三角形；3.三边都相等的三角形是等边三角形。通过坚持每节课前朗读学生将已有知识进行有效的回顾和巩固，以较好的状态积极投入到课堂中来。由于本节课是一堂专题课，在选择例题和习题考虑到要能激发学生学习的积极性，促进他们自主性（独立性）、协作性、成就感、自信心等非智力因素的发展，帮助他们在自主探索和合作交流的过
4、程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法、获得广泛的数学活动的经验，发展科学的数学思维。本节课例题就是基于这样的理念下安排的： 图1 图2这道例题对一般学生而言较简单，在屏幕上一出现的时候学生凭直观感知到为等边三角形，这样学生不至于有畏难情绪。接着教师设计提问引导学生证明自己的猜想：有哪些途径可以证明一个三角形是等边的呢？引导学生小结：1.有一个角是的等腰三角形是等边三角形；2.有两个角是的三角形是等边三角形；3.三边都相等的三角形是等边三角形。教师继续提问：你会选择什么方法解决这个问题呢？学生带着问题进入思考。如图2，观察到， 可以证得，从而，.因此，即且，根据“有一个角是的等
5、腰三角形是等边三角形”可以得到是等边三角形。通过几何画板拖动点B演示，实时反应的三边的大小关系，让结论动态生成，进一步让学生加深图形的认识。（二）变式练习认真研读课程标准，体会课程标准的理念，采取集体备课的方式，结合具体学情确定重点和难点，针对重难点，精心设计例题题组，对例题进行增删或变式，作为例题的一种辅助形式。此时引导学生关注的全等关系是否会受到点B位置的影响？他们除了全等以外还有没有别的位置上的关系？学生带着这样的问题在教师的引导下发现绕着点B旋转，并且关注旋转方向，旋转中心及旋转角度。本节课为例题1设计如下的变式：并且将图中擦掉引出例题2，引发对这幅图进一步的探讨。 图 3 图4 显然
6、这幅图是在例题1的基础上擦掉了,对例题进行了适当的变式。教师提问：证明“线段”型的方法有哪些？学生不难想到“截长补短”。教师继续提问：怎样才能做到呢？具体怎样操作？有了例题1的铺垫，学生自然而然的联想到方法一：可以延长线段，利用这一条件补回刚才的图1，从而构造等边三角形来。得到，从而.因为，可以证得，因此.于是，即.教师继续引导学生思考：刚才这种做法是在CB射线上取，效果上来看是给线段CB补上一段BE，使得，可以看成是“补短法”，能不能延长BC实现“补短”呢？这道题还能不能尝试用“截长法”解决呢？此时学生已经异常兴奋，课堂气氛已经调动起来，已经有一部分学生带着这些问题在动手操作了。图5 图6学
7、生开始思考若是按照刚才的思路，通过添加适当的辅助线构造等边三角形和全等三角形。此时经过引导学生逐渐得到图5与图6的两种作辅助线的方法。方法二：以DC为边作，的另一边与BC的延长线交于点E.图上，不难证得.从而，.根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”知是等边三角形。因此.这里学生作辅助线时容易进到一个误区：以CD为边作等边三角形，导致要证B、C、E三点共线，提醒学生尽量避免。方法三：以DA为边作，的另一边与AC的交于点E. 图上，不难证得.从而，.根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”知是等边三角形。因此.期间教师继续引导学生观察图5和图6，从效果方面看，图5中线段DE与AC有什么位置
8、关系？平行吗？那么在辅助线的作法上可以换成“作交BC的延长线于E点”；而图6则可以换成“作交AC于E点”.学生在教师引导下逐渐发现三幅图形间的内在联系和区别，进一步强化定理“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”，利用特殊角进行等边三角形以及全等三角形的构造。构造法是一种精巧的数学方法,其策略具有非常规性,方法带有试探性,思维富有创造性。因此,构造法解题是数学中最富有活力的思想方法之一,而且具有还原、分解、简化及数形转化功能.本节课继例题2继续进行变式教学：；图7 图8在前面例题中涉及到一些基本的构图技巧，如延长法、截取法、截长补短法、构造等边三角形法等，在这道例题中进一步的渗透这些方法。此刻将
9、事先准备好的备用图发给每个学生。这样可以节省时间，提高效率。教师引导学生分析解读题目的已知条件，将已知条件中能直接得到的相等角或相等线段（我们姑且称之为题目的“二级条件” ）在图上用相同的符号标记出来，比如图8中，不难发现图中隐含一个“蝴蝶型”模型（也可以用外角性质轻松证得的结论），由于，于是.本题要证的结论是线段相等，教师提问：之前接触过的证明线段相等有哪些基本方法和思路？引导学生思考小结：1.等角对等边；2.全等三角形的对应边相等；3.中垂线上任意一点到线段两个端点距离相等；4.角平分线上任意一点到角的两边的距离相等；5.平移中对应点移动的距离相等；6.平行四边形的对边相等、对角线相等。引
10、导学生思考：哪些方法适合用在本题中？此刻学生已经沉浸在深度思考之中了，经过适当时间，一些学生已经有了思路。现将学生方法小结如下：方法一：如图9，作交AC于P点,由于，于是 （AAS），因此.方法二：如图10，作交AB于P点,由于，于是 （AAS），因此.图9 图10方法三：如图11，作交EC的延长线于P点,由于，于是 （ASA），因此.方法四：如图12，延长EC到P点,使得，连接DP，由于，于是 （SAS），故，则，因此. 图11 图12教师引导学生仔细观察，不难发现方法一和方法四有相似之处，也略有不同。相似的是都是过点D作线段AB的平行线；而方法二和方法三都是过点D作线段AC的平行线。而这四
11、种做法都有一个共同点：都是过点D作平行于某线段的平行线，是巧合还是有规律可循呢？为什么会有这样的规律呢？图9和图10得到的那组全等三角形出了全等以外还有没有别的特征呢，通过几何画板拖动点D让学生动态感知图形的变换，为以后的旋转作以铺垫。笔者认为，在解题的过程中，主要是把解题用到的数学思想和方法介绍给学生，而不是要教会学生会解某一道题，也不是为解题而解题，给他们学会一种解题的方法才是有效的授之以鱼，不如授之以渔。在这里我们所强调的发现知识的过程，创造性解决问题的方法而不是追求题目的结果。通过讲解一些例题，运用一定的方法来解题的技巧，探求过程中培养学生的创新能力。方法五：如图11，延长AC到P点使
12、得,由于，于是 （SAS），于是，则，因此.方法六：如图12，作交AC于P点,由于，于是 （AAS），因此.图13 图14图12和图13中都分别存在一组全等三角形，这组全等三角形也有奇特的特征，引导学生通过观看几何画板动态演示，不难发现他们都关于线段BC成轴对称。本题充分的运用了特殊角以及等边三角形这一很强的条件，构造全等三角形，结合等腰三角形的相关性质，让学生对等边三角形的相关定理有一定的认识，如熟练掌握定理“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”。构造法作为一种数学方法，不同于一般的逻辑方法，它属于非常规思维。其方法是：对某些用常规方法不易解决的问题，依据题设条件的特点，用已知条件中的元素去
13、构造新的对应关系或新的数学模型，从而使复杂问题简单化。在解题过程中，若按习惯定势 思维去探求解题途径比较困难时，可以启发学生根据题目特点，展开丰富的联想拓宽自己思维范围，运用构造法来解题也是培养学生创造意识和创新思维的手段之一，同时对提高学生的解题能力也有所帮助。本例题在第一小问的基础上，将点D的位置移到线段CB的延长线上，题目背景略有不同，但是方法极其相似，这里可以培养学生猜想、类比、归纳的能力。（三）课堂练习图15 图16在引导学生观察和分析、挖掘题目以及图16中的隐含条件：后，学生进入自主探究环节。引导学生总结得出规律：一般的，在问题（1）的基础上图形中的某一条件发生变化，但结论没有变的
14、题目，其证明方法大多不变。比如相应的方法有：方法一：如图17，作交AB的延长线于P点,由于，于是 （ASA），因此.方法二：如图18，作交AC于P点,由于，于是 （ASA），因此.图17 图18方法三：如图19，作交EC的延长线于P点,由于，于是 （AAS），因此.方法四：如图20，延长CE到P点,使得，连接DP，由于，于是 （SAS），故，则，故，因此.图19 图20方法五：如图21，在AC上截取,由于，于是 （SAS），于是，则，因此.方法六：如图22，作交AC于P点,由于，于是 （AAS），因此.图21 图22例题3（2）的设计是在例题3（1）的基础上进一步的拓展，引导学生通过找规律，进
15、一步强化前面得到的相关结论。 笔者认为，在初中数学中，要在教学中重点渗透下面几种思想以发展学生思维：数形结合思想、化归思想、方程思想、分类讨论思想、整体思想和概率统计思想等。通过向学生渗透上述数学思想虽然重要，但更重要的是要通过学习，教会学生诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等科学思维方法，提高他们应用数学的意识和创造能力，使他们能把实际问题抽象成数学问题，能把所学的数学知识应用到实际问题中去，能对所学数学知识的实际背景有一定的了解。当他们面临一种新的问题时有一些一般性的方法去尝试，从而找到解决问题的突破口，而不至于束手无策。通过变式练习，学生将所学等边三角形相关定理能够熟练地运用，
16、并逐步建立建模思想。在例题的训练和变式教学中，都安排一定层次和梯度。例题，旨在以方法了解思想；变式，旨在发展学生数学思维的开阔性，让学生既能学到知识，学会技能，又能领会数学思想，发展思维；练习，旨在进一步巩固和训练所学知识，培养思维的严密性。（四）课后探究通过例题精讲、变式训练和练习巩固，探究发现一些数学规律,举一反三，掌握一些思考问题的方法,问题解决后还会激发学生继续探索能否衍生出其他新的更深层次的思考，将课堂继续延伸到课外，让有能力的同学能进一步激发探究的兴趣，起到抛砖引玉的作用。因为现今教材版本较多，而且变动较大，研读课程标准不能只是研读某一个年级的内容，而要整体考虑，最好通览完整的一套
17、初中教材这样才能对各知识之间的连贯，前后之间的关系有比较宏观地把握，才能在某一个具体年级的教学中把握住“度”，才能既让学生“吃得好”，又让他们“吃得饱”。比如本节课经过一步步引导和启发，学生渐渐积累了一些经验，体验了自己解决困难的快感，部分学生已经具备一定的能力，于是在课后探究环节设计了下面的题组：课后探究:图23 图24此题组通过变式的方式开展例题教学，让学生灵活运用三角形的内外角性质结合例题总结出的相关知识，以期达到培养学生的思维能力，力求发展思维的开阔性，实现课程标准所述的：力求做到人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。二、本节课的收获与反思本节课的收获：首先是整堂教师
18、富有激情，充分调动了学生的积极性，情感目标和教学目标达到了预设的效果，因为班上学生初一一直带上来的，平时的训练以及感情投入较多，所以课堂配合表较好，笔者一直奉行“若要感动别人，先要感动自己”的原则，因此学生回答问题也很积极，思维也很活跃；其次充分利用多媒体将数学教学的动与静的有机结合，电脑和投影仪展示了动态和静态的数学，这堂课下来学生意犹未尽，再加上课后结合要求学生“讲题”，主要是讲思路和方法以及归纳，因此受到较好的教学效果。本节课的反思：本节课综合性比较强，学生在学完并复习本单元基础知识的基础上再上这堂课效果会比较明显，本节课对学生基础要求比较高，不一定适应于所有的班级。结合评课教师的评课，
19、笔者总结了以下几点体会：1通过这次公开课对数学变化与规律有了更加深刻的认识；2.教师因材、因势适当拓展需要数学机智语教学机智；3.师生的情感关系伴随着教学在兴趣中发展，培养学生从小崇尚科学、追求科学的精神；4.发展或者拓展知识要适合青少年特点，避免过分拔高或者老师不作为。三、本节课的内涵发掘及启示把握重难点，重视思维训练，创造良好的训练氛围，“选择”与“训练”有机结合，上好一堂专题课的基本要素。培养学生在解题的过程中要善于观察，善于发现，在解题过程中不墨守成规。大胆去探求解题的最佳途径。创新思维是整个创新活动的关键，敏锐的观察力，创造性的想象，独特的知识结构及活跃的灵感是其基本特征。这种创新思
20、维能保证学生顺利解决问题，最大限度地掌握知识并能把知识广泛地运用到解决问题上来，使学生的思维由单一型转变为多角度，显得积极灵活从而培养学生创新思维。毕竟，数学课堂除了知识的传授之外，还涉及到情感的教育。因此，我们给学生创造训练氛围的原则是：独立与协作并举，竞争与帮助同行。总之，面对日新月异的变化，效率显得至关重要，传统的数学教学设计正面临着严峻的挑战。而中学数学中通过变式教学、题组训练等方式，精选例题和习题，引导学生多角度，多渠道地思考问题，让学生多探索，多研究，能有效地训练学生逻辑思维的完备性，深刻性和创造性，激发了他们的兴趣，从而培养了学生的创新能力和应变能力，教师的创造性工作的价值也得以体现。参考文献：1 教育部基础教育课程编辑部.中学新课标资源库(数学卷).北京工业大学出版社,20042基础教育课程改革纲要（试行）解读，20093数学教育学.华中师范大学出版社,20084 数学(八年级).人民教育出版社,2010附录：学生练习第 12 页 共 12 页
