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1、直线综合应用一、 结构联想,构造转化1.求的最小值.分析：则二根式可作为点（x,0）分别到点（，）,B(2,2)的距离,因为P、A、B三点共线,于是最小值问题就转化为线段的长度问题.解:在直角坐标系xOy中,设点P、A、B的坐标分别为(x,0),(-1,-1),(2,2)则: 二、 设而不求,简化计算2.一直线被两直线 截得的线段的中点恰好是坐标原点,求该直线方程.解:设所求直线与l1、l2的交点分别是A、B,设A(x0,y0),由于AB关于原点对称,B(-x0,-y0)又A、B分别在l1、l2上,+:,即点A在直线上,又直线过原点直线l的方程为.三、 同构变换,综合化归3.直线l过点M(2,
2、1),且分别交x轴、y轴的正半轴于A、B,O为坐标原点.求当AOB的面积最小时,l的方程;当取最小值时,l的方程.解:设可得:当且仅当时,AOB的面积有最小值4,此时l的方程为.当且仅当时,取得最小值4,4.已知直线,在l上求一点Q,使直线PQ,l及x轴在第一象限上围成的三角形面积最小,并求出面积的最小值.解:设轴上的截距为a.则有得当时取等号,得(另附:)当Q(2,8)时,S取最小值40.5.如下图过点P(1,2)的直线l交x,y两轴正向于A、B两点，求AOB面积最小时，直线l的方程.解：直线与x，y两轴各有一交点l既不与x轴平行，也不与y轴平行，即l的斜率存在.设直线l的方程为y=kx+b
3、(k0）点P(1,2)在直线l上2=k+b,即b=2-k,l的方程为:y=kx+2-k,令y=0,直线在x轴上的截距为即解得S4或S0(舍去)当且仅当时取等号直线l的方程为:y=-2x+4.6.已知定点A(0,a)和直线y=b(0ab,动点P、Q分别在x轴和y=b上移动，且APQ 求APQ面积最小时点P、Q的坐标.解：设又S最小，sin2=1又090,=45即,即通过上述三道题,我们介绍了一种解决最值问题的有效方法：选择自变量,然后建立关于这个变量的函数式,最后用代数方法求解极值.使用该方法时,首先要注意自变量的设定,不仅可以设斜率(例2),还可以设直线在一条坐标轴上的截距(例1),也可设角为自变量(例3).其次,用代数方法求极值有多种手段,注意积累.四、 数形结合,查缺补漏7.在两条平行直线之间作一条直线,使它与这两条平行直线的距离的比为1:3,求这条直线的方程.解:设所求直线方程为,则又由图象可知,直线在已知两平行直线之外,舍去,所求直线为.32023-4-29
