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1、第3节 运输问题的求解方法表上作业法,产销平衡表与单位运价表 表上作业法产销不平衡的运输问题的求解方法,一、产销平衡表与单位运价表 运输问题还可用产销平衡表与单位运价表进行描述。假设某种物资有m个生产地点Ai（i=1，2，m），其产量（供应量）分别为ai（i=1，2，m），有n个销地Bj（j=1，2，n），其销量（需求量）分别为bj（j=1，2，n）。从Ai到Bj运输单位物资的运价（单价）为Cij。将这些数据汇总可以得到产销平衡表和单位运价表5.3.1。,表5.3.1 产销平衡表与单位运价表,运输这一类特殊问题可用更加简便的求解方法表上作业法求解，实质仍是单纯形法，步骤如下：（1）确定初始调运
2、方案，即找出初始基可行解,在产销平衡表上给出m+n-1个数字格。,二、表上作业法,（2）求非基变量的检验数，即在表上计算空格的检验数，判别是否达到最优解：是否存在负的检验数？如果存在负的检验数，则初始调运方案不是最优方案；如果所有检验数都非负，则初始调运方案已经是最优方案了。如果已经得到最优调运方案，则停止计算，否则转入下一步。（3）确定换入变量和换出变量，找出新的调运方案（新的基可行解），即在表上用闭回路法进行调整。(4）重复（1）（2），直到求出最优解为止。,（一）确定初始可行基的方法最小元素法 从单位运价表中最小的运价开始确定供销关系，然后考虑运价次小的，一直到给出初始基可行解为止。伏格
3、尔法 采用最小元素法可能造成其他处的更多浪费，伏格尔法考虑最小运费与次小运费之间的差额，差额越大，就按次小运费调运。,（二）最优解的判别,计算非基变量（空格）的检验数,当所有的检验数 时，为最优解。求空格检验数的方法有：闭回路法 以某一空格为起点找一条闭回路，用水平或垂直线向前划，每碰到一数字格转900后，继续前进，直到回到起始空格为止。,闭回路如图5.3.1的（a）、（b）、（c）等所示。从每一个空格出发一定存在并且可以找到唯一的闭回路。因为，m+n-1个数字格（基变量）对应的系数向量是一个基，任一空格（非基变量）对应的系数向量是这个基的线性组合。,图5.3.1 闭回路示意图,举例说明：可表
4、示为,而这些向量构成了闭回路见图,位势法 一种较为简便的求检验数的方法。设 是对应运输问题的m+n个约束条件的对偶变量。B是含有一个人工变量Xa的初始基矩阵。Xa在目标函数中的系数Ca，由线性规划的对偶理论可知 而每一个决策变量Xij的系数向量，所以 由单纯形法可知，所有基变量的检验数等于0，即,例1：假设某种物资共有3个产地，其日产量分别是：A1为7 t，A2为4 t，A3为9 t；该种物资的4个销售地，其日销量分别：B1为3 t，B2为6 t，B3为5 t，B4为6 t；各产地到销售地的单位物资的运价如表5.3.2所示。在满足各销售点需要量的前提下，如何调运该种物资，才能使总运费达到最小？
5、,表5.3.2,下面用具体例子说明表上作业法的计算步骤。,解：首先列出这一问题的产销平衡表，见表5.3.3。表5.3.3 某物资运输的产销平衡表,表5.3.3,用最小元素法求解：第1步，从表5.3.4中找出最小运价为1，表示应先将A2 的产品供应 B1。在表5.3.3中（A2 B1）的交叉格处填上3，得表5.3.4。将表5.3.4中的B1 列运价划去，得表5.3.5。,表5.3.4,表5.3.5,第2步，在表5.3.5未划去的元素中再找出最小运价为2，确定A2多余的1 t物资供应B3。得表5.3.6。将表5.3.5的行运价划去，得表5.3.7。,表5.3.6,表5.3.7,第3步，按照上述方法
6、直到单位运价表上的所有元素被划去为止。最后在产销平衡表上得到一个调运方案，即初始基可行解，见表5.3.8。,表5.3.8,伏格尔法的步骤是：第1步：在表5.3.2中分别计算出各行、各列的最小运费和次最小运费的差额，并填入该表的最右列和最下行，见表5.3.9。,表5.3.9,第2步：从行或列差额中选出最大者，选择它所在行或列中的最小元素。在表5.3.9中，可确定A3的产品应首先供应B2，得表5.3.10。将单位运价表中的列的数字划去，得表5.3.11。,表5.3.10,表5.3.11,第3步,对表5.3.11中余下的元素再分别计算出各行、各列的最小运费和次最小运费的差额，重复第1、第2步，直到给
7、出初始基可行解为止。初始基可行解列于表5.3.12。表5.3.12,伏格尔法给出的初始基可行解更接近最优解。本例中用伏格尔法给出的初始基可行解就是最优解。,用闭回路法判别检验：闭回路法计算检验数的经济解释为,在已给出初始基可行解的表中，可从任一空格出发，如（A1,B1），若让A1的产品调运1 t给B1，为了保持产销平衡，就要依次进行调整,就构成了以（A1,B1）空格为起点，其他为数字格的闭回路，如表5.3.13中的虚线所示。闭回路各顶点所在格的右上角数字是单位运价。,表5.3.13,调整的方案使运费增加,将“1”填（A1,B1）格中，这就是检验数。按上述办法，可找出所有空格的检验数，见表5.3
8、.14。当检验数还有负数时，需要对原方案进行改造。表5.3.14,用位势法检验:第1步,按最小元素法给出表5.3.8的初始基可行解，作表5.3.15。在对应表5.3.8的数字格处填入单位运价。,表5.3.15,第2步,在上表增加一行一列，在列中填入，在行中填入，得表5.3.16。,表5.3.16,首先令u1=0,然后按 可确定所有和的数值。第3步,按 计算所有空格的检验数，特设计计算表5.3.17。表5.3.17,改进的方法闭回路调整法:在表5.3.17中，(A2,B4)为调入格，以此格为出发点，作一闭回路,得表5.3.18。表5.3.18,格的调入量 是选择闭回路上具有（-1）的数字格中的最
9、小者即，然后，按闭回路上的正、负号，加、减此值得到调整方案，如表5.3.19所示。再用闭回路法或位势法求各空格的检验数，得表5.3.20。在表5.3.20中，因为所有检验数都非负，故得最优解，这时，得到最小运费为85（元）。,表5.3.19,表5.3.20,三、产销不平衡的运输问题的求解方法,前面求解运输问题的表上作业法，是以产销平衡为前提的，即 实际情况需要把产销不平衡的问题化成产销平衡的问题。当产大于销 运输问题的数学模型为求使,且满足,考虑多余的物资在哪一个产地就地储存的问题。设 是产地Ai的储存量，于是有,当 时，令当 时，令产销不平衡的运输问题就可以改写成：求 使,且满足,此时，该问题变为产销平衡问题，可用表上作业法对其求解。,当销大于产时，只要在产销平衡表中增加一个假想的产地，让该地的产量为 并在单位运价表中令从假想的产地到各消费地的运价为，就可以将其转化为一个产销平衡的运输问题。然后可以用表上作业法对其求解。,
