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1、初中几何,龚雨晴,初中几何,图形的认识,空间与图形,图形的轴对称、平移与旋转,图形的相似,投影与视图,点和线（角、相交线、平行线）,三角形,特殊三角形,全等三角形的证明及其性质,相似三角形的证明及其性质,多边形,平行四边形、梯形,特殊的平行四边形,锐角三角函数及解直角三角形,圆,性质,位置关系,相关计算,1、定理、公理、推论大总结（按图形分类）,2、辅助线的添法,3、动态几何问题,4、综合几何问题,直线公理：过两点有且只有一条直线线段公理：两点之间线段最短垂直公理：过一点有且只有一条直线和已知直线垂直垂线段公理：直线外一点与直线的距离，垂线段最短垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端
2、点的距离相等垂直平分线逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；若两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行平行线等分线段定理：若一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等平行判定：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行平行推论：两直线平行，同位角相等、两直线平行，内错角相等、同旁内角互补角平分线定理：定理1：角平分线上的点到角两边的距离相等定理2：到一个角两边的距离相等的点，在这个角的平分线上,线和角,余角、补角定理：同角或等角的余角、补角分别相等三角形三边定理：角形两
3、边的和大于第三边三角形三边推论：三角形两边的差小于第三边三角形内角和定理：三角形内角和等于180推论1（外角）：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和推论2（外角）：三角形的外角大于和它不相邻的内角三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边，且等于它的一半平行线截线段推论：平行于三角形一边的直线截另两边（或延长线），所得对应线段成比例平行线截线段定理1：若一条直线截三角形的两边（或延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边定理2：平行于三角形的一边，且和其他两边相交的直线，所截得的三角形三边与原三角形三边对应成比例定理3：平行于三角形一边的直线和其他两边（或延长线）相
4、交，所构成的三角形与原三角形相似,三角形,等腰三角形性质定理：等边对等角等腰三角形三线合一：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合,等腰三角形,推论1三个角都相等的三角形是等边三角形推论2有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形等边三角形内角：等边三角形的各角都相等，且都等于60,等边三角形,推论1（Rt）：直角三角形的两个锐角互余30角定理：直角三角形中，30角所对边是斜边的一半斜边中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a2+b2=c2勾股定理逆定理：若三角形三边长a、b、c有a2+b2=c2，那么这
5、个三角形是直角三角形,直角三角形,边角边公理(SAS)：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 角边角公理(ASA)：有两角和它们的夹边对应相等的 两个三角形全等 推论(AAS)：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 边边边公理(SSS)：有三边对应相等的两个三角形全等 斜边、直角边公理(HL)：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 性质：全等三角形的对应边、对应角相等,三角形全等,相似三角形判定定理：两角对应相等，两三角形相似（ASA）；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）；三边对应成比例，两三角形相似（SSS）直角三角形相似定理：若一个直角三角形的斜边和
6、一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似有关高的相似定理：直角三角形被斜边上的高分成两个和原三角形相似的直角三角形相似三角形性质：相似三角形对应高、对应中线、对应角平分线、周长的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方,三角形相似,四边形内角和定理：四边形内角和等于360四边形外角和定理：四边形的外角和等于360多边形内角和定理：n边形的内角的和等于（n-2）180多边形外角和推论：任意多边的外角和等于360,四边形,性质：对角相等、对边相等、对角线互相平分推论：夹在两条平行线间的平行线段相等判定：两组对角分别相等、两组对角分别平分、对角线互相平分、一
7、组对边平行相等,平行四边形,性质：矩形的四个角都是直角、对角线相等判定：对角线相等、有三个角是直角的四边形是矩形,矩形,性质：菱形的四条边都相等；对角线互相垂直，平分每一组对角菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（ab）2判定：对角线互相垂直、四边都相等的四边形是菱形,菱形,性质：正方形的四个角都是直角，四条边都相等；两条对角线垂直平分且相等，平分每组对角,正方形,性质：等腰梯形在同一底上的两个角相等、两条对角线相等判定：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形、对角线相等的梯形是等腰梯形梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半L=（a+b）2S=Lh,等腰梯形,比例的基本性质：
8、若a:b=c:d,那么ad=bc；若ad=bc,那么a:b=c:d合比性质：若ab=cd,那么(ab)b=(cd)d等比性质：若ab=cd=mn(b+d+n0),那么(a+c+m)(b+d+n)=ab平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例,相似,定义：圆是定点的距离等于定长的点的集合垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦且平分弦所对的两条弧垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的两条弧平分“弦所对应的一条弧的”直径，垂直平分弦，且平分弦所对的另一条弧圆的两条平行弦所夹的弧相等中心对称性：圆是以圆心为对称中
9、心的中心对称图形圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等圆心角定理推论：在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半圆周角定理推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等圆周角定理推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径圆周角定理推论3若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形圆内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角,圆,相交
10、、相切、相离的定义：直线L和O相交dr（L为割线）直线L和O相切d=r（L为切线）直线L和O相离dr切线判定定理：过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线切线性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径切线性质推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点切线性质推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角外切四边形边定理：圆的外切四边形的两组对边的和相等弦切角：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角弦切角定理推论：若两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等相交
11、弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等,相交弦定理推论：若弦与直径垂直相交，那么弦的一半(b)是它分直径所成的两条线段(a,c)的比例中项(b的平方=ac)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长(b)是这点到割线与圆交点的两条线段(a,c)长的比例中项(b的平方=ac)切割线定理推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等连心线：通过平面内不重合的两个圆的圆心的直线叫做这两个圆的连心线连心线定理：两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦，两圆相切时，连心线通过切点.外离、外切、内切、内含：两圆外离dR+r两圆外切d=R+r两圆相交R-r
12、dR+r(Rr)两圆内切d=R-r(Rr)两圆内含dR-r(Rr)定理：把圆分成n(n3)等份:依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形扇形弧长公式：=n兀R180扇形面积公式：S扇形=n兀R2360=LR2（L为弧长，R为半径）内公切线长=d-(R-r)外公切线长=d-(R+r),轴对称：定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形定理2 若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线定理3 若两个图形关于某直线对称，它们的对应线段或延长线交点在对称轴上逆定理 若两个图形的对应点连线被同一条直线垂直
13、平分，那么这两个图形关于 这条直线对称中心对称：定理1 关于中心对称的两个图形是全等的定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，且被对称中心 平分逆定理若两个图形的对应点连线都经过某一点，且被这一点平分，那么这两个 图形关于这一点对称,对称,专题一,几何证明中常见的“添辅助线”方法,.连结,目的:构造全等三角形或等腰三角形,适用情况:图中已经存在两个点X和Y,语言描述:连结XY,注意点:双添-在图形上添虚线 在证明过程中描述添法,.连结,典例1:如图,AB=AD,BC=DC,求证:B=D.,A,C,B,D,1.连结AC,构造全等三角形,2.连结BD,构造两个等腰三角形,.连结,
14、典例2:如图,AB=AE,BC=ED,B=E,AMCD,求证:点M是CD的中点.,A,C,B,D,连结AC、AD,构造全等三角形,E,M,.连结,典例3:如图,AB=AC,BD=CD,M、N分别是BD、CD的中点，求证：AMB ANC,A,C,B,D,连结AD,构造全等三角形,N,M,.连结,典例4:如图,AB与CD交于O,且AB=CD，AD=BC，OB=5cm，求OD的长.,A,C,B,D,连结BD,构造全等三角形,O,目的:构造直角三角形,得到距离相等,适用情况:图中已经存在一个点X和一条线MN,语言描述:过点X作XYMN,注意点:双添-在图形上添虚线 在证明过程中描述添法,.角平分线上点
15、向两边作垂线段,.角平分线上点向两边作垂线段,典例1:如图,ABC中,C=90o,BC=10,BD=6,AD平分BAC,求点D到AB的距离.,A,C,D,过点D作DEAB,构造了:全等的直角三角形且距离相等,B,E,.角平分线上点向两边作垂线段,典例2:如图,ABC中,C=90o,AC=BC,AD平分BAC,求证:AB=AC+DC.,A,C,D,过点D作DEAB,构造了:全等的直角三角形且距离相等,B,E,思考:若AB=15cm,则BED的周长是多少?,.角平分线上点向两边作垂线段,典例3:如图,梯形中,A=D=90o,BE、CE均是角平分线,求证:BC=AB+CD.,A,C,D,过点E作EF
16、BC,构造了:全等的直角三角形且距离相等,B,F,思考:你从本题中还能得到哪些结论?,E,.角平分线上点向两边作垂线段,典例4:如图,OC 平分AOB,DOE+DPE=180o,求证:PD=PE.,A,C,D,过点P作PFOA,PG OB,构造了:全等的直角三角形且距离相等,B,F,思考:你从本题中还能得到哪些结论?,E,P,G,O,.角平分线上点向两边作垂线段,2.如图,梯形中,A=D=90o,BE、CE均是角平分线,求证:BC=AB+CD.,延长BE和CD交于点F,构造了:全等的直角三角形,F,思考:你从本题中还能得到哪些结论?,目的:构造直角三角形,得到斜边相等,适用情况:图中已经存在一
17、条线段MN 和垂直平分线上一个点X,语言描述:连结XM和XN,注意点:双添-在图形上添虚线 在证明过程中描述添法,.垂直平分线上点向两端连线段,1.AD是ABC的中线，,.中线延长一倍,A,B,C,D,E,延长AD到点E，使DE=AE，连结CE.,1.如图,ABC中,C=90o,AC=BC,AD平分ACB,DEAB.若AB=6cm,则DBE的周长是多少?,.“周长问题”的转化 借助“角平分线性质”,B,A,C,D,E,BE+BD+DE,BE+BD+CD,BE+BC,BE+AC,BE+AE,AB,2.如图,ABC中,C=90o,D在AB的垂直平分线上,E在AC的垂直平分线上.若BC=6cm,求A
18、DE的周长.,.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线性质”,B,A,C,D,E,AD+AE+DE,BD+CE+DE,BC,3.如图,A、A1关于OM对称,A、A2关于ON对称.若A1 A2=6cm,求ABC的周长.,.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线性质”,B,A,C,O,M,AB+AC+BC,A1 B+A2 C+BC,A1 A2,A1,A2,N,4.如图,ABC中，MN是AC的垂直平分线.若AN=3cm,ABM周长为13cm，求ABC的周长.,.“周长问题”的转化 借助“垂直平分线性质”,B,A,C,M,AB+BC+AC,AB+BM+MC+6,N,AB+BM+AM+6,13+6,5.如图
19、,ABC中，BP、CP是ABC的角平分线，MN/BC.若BC=6cm,AMN周长为13cm，求ABC的周长.,.“周长问题”的转化 借助“等腰三角形性质”,B,A,C,P,AB+AC+BC,AM+BM+AN+NC+6,N,AM+MP+AN+NP+6,13+6,M,AM+AN+MN+6,专题二几何动态问题,关于对动态几何问题的理解,以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题.动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题,解决此类动点几何问题常常用的是“类比发现法”，也就是通过对两个或几个相类似的数学研究对象的异同，进行观察和
20、比较，从一个容易探索的研究对象所具有的性质入手，去猜想另一个或几个类似图形所具有的类似性质，从而获得相关结论。类比发现法大致可遵循如下步骤：（1）根据已知条件，先从动态的角度去分析观察可 能出现的情况；（2）结合某一相应图形，以静制动，运用所学知识（常见的有三角形全等、三角形相似等）得出相关结论。（3）类比猜想出其他情况中的图形所具有的性质。,分 类,题型分类：点动型、线动型、面动型运动形式：平移、旋转、翻折、滚动,题型一：点动型,点动型就是在三角形、矩形、梯形等一些几何图形上，设计一个或几个动点，并对这些点在运动变化的过程中产生的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究
21、。,1、单动点型,例1(08宁夏)如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q。（1）试证明：无论点P运动到AB上何处时，都有ADQABQ；（2）当点P在AB上运动到什么位置时，ADQ的面积是正方形ABCD面积的；（3）若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，ADQ恰为等腰三角形。,2、双动点型,例3（08湖北咸宁）如图，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿ABCD匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴上运动，当P点到D
22、点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位：）关于运动时间t（秒）的函数图象如图所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；(2)求正方形边长及顶点C的坐标；(第24题图)（第24题图）(3)在(1)中当t为何值时，OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标,题型二：线动形,1、线平移型,例5（08甘肃白银）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）(1)点A的坐标是_，
23、点C的坐标是_；(2)当t=秒时，MN=AC；(3)设OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；(4)探求(3)中得到的函数S有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由,2、线旋转型,题型三：图动型,图形的运动变换主要有平移、旋转和翻折这三种基本变换。主要是对给定的图形（或其一部分）实行某种位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系，这类问题常与探究性、存在性等结合在一起，考察学生动手能力、观察能力、探索与实践能力。,1、图形平移型,例7（08广州）如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰PQR中，QPR=120，底边QR=6cm，点B、C、
24、Q、R在同一直线l上，且C、Q两点重合，如果等腰PQR以1cm/秒 的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰 PQR重合部分的面积记为S平方厘米（1）当t=4时，求S的值（2）当，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值,2、图形旋转型,例8（2007资阳）如图8-1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PEBC于点E，PFCD于点F.(1)求证：BP=DP；(2)如图8-2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；(3)试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两
25、个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论.,3、图形翻折型,例9（2007济宁）如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到ABE。过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ。(1)求证：PBEQAB；(2)你认为PBE和BAE相似吗？如果相似给出证明，如不相似请说明理由；,(3)如果沿直线EB折叠纸片，点A是否能叠在直线EC上？为什么？,4、图形滚动,例10（2006临沂）如图，小正六边形沿着大正六边形的边缘顺时针滚动，小正六边形的边长是大正六边形边长的一半，当小正六边形由图位置滚动到图位置时，线段
26、OA绕点O顺时针转过的角度为 度。,专题三几何综合题,综合问题精讲：几何综合题是中考试卷中常见的题型，大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题，它主要考查学生综合运用几何知识的能力，这类题往往图形较复杂，涉及的知识点 较多，题设和结论之间的关系较隐蔽，常常需要添加辅助线来解答 解几何综合题，一要 注意图形的直观提示；二要注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件，为解题创造条件打 好基础；同时，也要由未知想需要，选择已知条件，转化结论来探求思路，找到解决问题 的关键,解几何综合题，还应注意以下几点：注意观察、分析图形，把复杂的图形分解 成几个基本图形，通过添加辅助线补全或 构 造基本图形 掌握常规的证题方法和思路 运用转化的思想解决几何证明问题，运用 方程的思想解决几何计算问题还要灵活 运 用数学思想方法伯数形结合、分类讨论 等）,典型例题剖析,【例1】（南充，10分）ABC中，ABAC，以AC为直径的O与AB相交于点E，点F是BE的中点（1）求证：DF是O的切线（2）若AE14，BC12，求BF的长,【例2】（绍兴）如图矩形ABCD中，过A，B两点的O切CD于E，交BC于F，AHBE于H，连结EF。求证：CEFBAH,若BC2CE6，求BF的长。,谢谢，再见,
