《山东专版中考数学总复习第六章空间与图形6.3解直角三角形试卷部分课件.pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《山东专版中考数学总复习第六章空间与图形6.3解直角三角形试卷部分课件.pptx（136页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、A组20142018年山东中考题组考点一锐角三角函数,五年中考,1.(2018枣庄,11,3分)如图,在矩形ABCD中,点E是边BC的中点,AEBD,垂足为F,则tanBDE的值为()A.B.C.D.,答案A四边形ABCD是矩形,ADBC,AD=BC,ADFEBF,=.点E是边BC的中点,AD=BC,=2.设EF=x,则AF=2x,在RtABE中,可得BF=x.=2,DF=2x.在RtDEF中,tanBDE=.故选A.,2.(2018日照,10,3分)如图,边长为1的小正方形构成的网格中,半径为1的O的圆心O在格点上,则BED的正切值等于()A.B.C.2D.,答案D如图,在RtABC中,AB
2、=2,BC=1,tanBAC=.BED=BAD,tanBED=.,3.(2017聊城,2,3分)在RtABC中,cos A=,那么sin A的值是()A.B.C.D.,答案Bcos A=,A=60,sin A=sin 60=.,4.(2016淄博,9,4分)如图是由边长相同的小正方形组成的网格,A,B,P,Q四点均在正方形网格的格点上.线段AB,PQ相交于点M.则图中QMB的正切值是()A.B.1C.D.2,答案D设每个小正方形的边长为1,过点P作PCAB,连接QC,则QMB=P.PC=2,QC=4,PQ=2,PC2+QC2=PQ2,PCQ为直角三角形,且C=90,tanP=2,即tanQMB
3、=2.故选择D.,5.(2018滨州,15,5分)在ABC中,C=90,若tan A=,则sin B=.,答案,解析设RtABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,C=90,根据tan A=,可设a=1,则b=2,c=,所以sin B=.,6.(2018德州,16,4分)如图,在44的正方形网格中,小正方形的顶点称为格点,ABC的顶点都在格点上,则BAC的正弦值是.,答案,解析由勾股定理可得,AB2=32+42=25,BC2=12+22=5,AC2=22+42=20,AB2=BC2+AC2,ACB=90,sinBAC=.,考点二解直角三角形,1.(2018泰安,14,3分)如图,O是AB
4、C的外接圆,A=45,BC=4,则O的直径为.,答案4,解析如图,连接OB,OC,A=45,O=2A=245=90,在RtOBC中,OC=BCsin 45=4=2,O的直径为4.,2.(2017烟台,14,3分)在RtABC中,C=90,AB=2,BC=,则sin=.,答案,解析在RtABC中,C=90,AB=2,BC=,sin A=,A=60,sin=sin 30=.,3.(2015滨州,14,4分)如图,菱形ABCD的边长为15,sinBAC=,则对角线AC的长为.,答案24,解析连接BD,交AC于点O,四边形ABCD是菱形,ACBD,在RtAOB中,AB=15,sinBAO=,BO=9,
5、AO=12,AC=2AO=24.,考点三解直角三角形的应用,1.(2016济南,12,3分)如图,为了测量石坝的坡度(坡面的垂直高度与水平宽度的比称为坡度).把一根长5 m的竹竿斜靠在石坝旁,测得竹竿长1 m处的点D离地面的高度DE=0.6 m,又测量出竹竿的底端距石坝的距离AB=3 m,则石坝的坡度为()A.B.3C.D.4,答案B如图,过点C作CFAB于点F,则DECF.ADEACF.=.AD=1 m,DE=0.6 m,AC=5 m,=.CF=3 m.在RtACF中,由勾股定理,得AF=4 m.AB=3 m,BF=1 m.石坝的坡度i=tanCBF=3.,易错警示本题易错处有三处:一是不理
6、解坡度的意义,找不到解题的思路,无法切入解题过程;二是不会构造直角三角形,不能将实际问题转化为数学问题;三是不能综合利用几何知识求出坡面BC的垂直高度与水平距离,导致求不出坡面BC的坡度.,方法规律解决解直角三角形的应用题一般有以下几个步骤:(1)把实际问题转化为数学问题,转化的过程要注意识别方位角,仰角,俯角和坡度等概念;(2)分析题目中的已知条件和要求的线段的关系;(3)用逆推法找出已知条件和未知条件之间需要用哪些中间量(线段或角);(4)解直角三角形(有时还需先构造直角三角形);(5)写出答案.,2.(2016济南,12,3分)济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”,某校数学社团的
7、同学对超然楼的高度进行了测量,如图,他们在A处仰望塔顶,测得仰角为30,再往楼的方向前进60 m至B处,测得仰角为60,若学生的身高忽略不计,1.7,结果精确到1 m,则该楼的高度CD为()A.47 mB.51 mC.53 mD.54 m,答案B根据题意得A=30,DBC=60,DCAC,ADB=DBC-A=30,ADB=A=30,BD=AB=60 m,CD=BDsin 60=60=3051(m).故选B.,3.(2018济宁,14,3分)如图,在一笔直的海岸线l上有相距2 km的A、B两个观测站,B站在A站的正东方向上,从A站测得船C在北偏东60的方向上,从B站测得船C在北偏东30的方向上,
8、则船C到海岸线l的距离是 km.,答案,解析如图所示,过点C作CHl,垂足为H.由题意得ACH=60,CBH=60,BCH=30.设CH=x km,在RtACH中,AH=CHtanACH=xtan 60=x.在RtBCH中,BH=CHtanBCH=xtan 30=x.因为AH-BH=AB,所以x-x=2,解得x=,即船C到海岸线l的距离是 km.,4.(2018潍坊,18,3分)如图,一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在A处测得岛礁P在东北方向上,继续航行1.5小时后到达B处,此时测得岛礁P在北偏东30方向,同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60方向.为了在台风到来之前用
9、最短时间到达M处,渔船立刻加速,若以75海里/小时的速度继续航行,则小时即可到达.(结果保留根号),答案,解析过点P作PQAB,垂足为Q,过点M作MNAB,垂足为N.AB=601.5=90海里,设PQ=MN=x海里,由点P在点A的东北方向可知,PAQ=45,AQ=PQ=x海里,BQ=(x-90)海里,在RtPBQ中,PBQ=90-30=60,tan 60=,解得x=135+45.经检验,x=135+45是分式方程的解,且符合题意.在RtBMN中,MBN=90-60=30,BM=2MN=2x=2(135+45)=(270+90)海里,航行时间为=小时.,思路分析解题的关键是构造直角三角形,先过点
10、P作PQAB,垂足为Q,过点M作MNAB,垂足为N.设PQ=MN=x海里,解RtAPQ和RtPBQ求得x的值,再解RtBMN求出BM的长度,利用路程、速度和时间的关系解答即可.,5.(2015东营,14,3分)4月26日,2015黄河口(东营)国际马拉松比赛拉开帷幕,中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播.如图,在直升机的镜头下,观测马拉松景观大道A处的俯角为30,B处的俯角为45.如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米,点A、D、B在同一直线上,则A、B两点的距离是米.,答案200(+1),解析由题意,得A=30,B=45.在RtACD中,tan A=,即tan 30=,解得AD=2
11、00(米).在RtBCD中,B=45,BCD=45.BD=CD=200米.AB=AD+BD=200+200=200(+1)米.即A、B两点的距离是200(+1)米.故答案为200(+1).,6.(2018临沂,22,7分)如图,有一个三角形的钢架ABC,A=30,C=45,AC=2(+1)m.请计算说明,工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为2.1 m的圆形门.,解析如图,过点B作BDAC,垂足为D.在RtABD中,A=30,ABD=90-A=60,AD=tanABDBD=BD;在RtBCD中,C=45,CD=BD,AC=AD+CD=BD+BD=(+1)BD=2(+1),解得BD=2,又2 m2
12、.1 m,工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为2.1 m的圆形门.,思路分析过点B作BDAC,垂足为D,将ABC转化为两个直角三角形,利用解直角三角形求出BD的长,然后把求得的BD的长与直径2.1 m比较大小即可作出判断.,7.(2018聊城,22,8分)随着我市农产品整体品牌形象“聊胜一筹!”的推出,现代农业得到了更快发展.某农场为扩大生产建设了一批新型钢管装配式大棚,如图1.线段AB,BD分别表示大棚的墙高和跨度,AC表示保温板的长.已知墙高AB为2米,墙面与保温板所成的角BAC=150,在点D 处测得A点、C点的仰角分别为9,15.6,如图2.求保温板AC的长约是多少米?(精确到0.1米)
13、参考数据:0.86,sin 90.16,cos 90.99,tan 90.16,sin 15.60.27,cos 15.60.96,tan 15.60.28,解析设AC=x米,在RtABD中,tan 9=,BD=.过点C作CEBD,垂足为E,过点A作AGCE,垂足为G,如图,在RtAGC中,BAC=150,CAG=60,sinCAG=,cosCAG=,CG=ACsinCAG=xsin 60=x,AG=ACcosCAG=xcos 60=x,ED=BD-BE=BD-AG=-x,在RtCED中,tanCDE=tan 15.6=,CE=EDtan 15.6=tan 15.6,又CE=CG+GE=x+2
14、,tan 15.6=x+2,即0.28=0.86x+2,解得x=1.5.答:保温板AC的长约是1.5米.,8.(2017德州,21,10分)如图所示,某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器,检测点设在距离公路10 m的A处,测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为0.9秒.已知B=30,C=45.(1)求B、C之间的距离;(保留根号)(2)如果此地限速为80 km/h,那么这辆汽车是否超速?请说明理由.(参考数据:1.7,1.4),解析(1)如图,过点A作ADBC于点D,则AD=10 m.在RtACD中,C=45,RtACD是等腰直角三角形.CD=AD=10 m.在RtABD中,tan
15、 B=,B=30,=.BD=10 m.BC=BD+DC=(10+10)m.答:B、C之间的距离是(10+10)m.(2)这辆汽车超速.理由如下:,由(1)知BC=(10+10)m,又1.7,BC=27 m.这辆汽车的速度为=30(m/s).又30 m/s=108 km/h80 km/h,这辆汽车超速.,9.(2017菏泽,18,6分)如图,某小区号楼与号楼隔河相望,李明家住在号楼,他很想知道号楼的高度,于是他做了一些测量,他先在B点测得C点的仰角为60,然后到42米高的楼顶A处,测得C点的仰角为30,请你帮李明计算号楼的高度CD.,解析过点A作AECD于E,则四边形ABDE是矩形,所以AE=B
16、D,AB=ED.在RtBCD中,tanCBD=,所以CD=BDtan 60=BD,在RtACE中,tanCAE=,所以CE=AEtan 30=AE,所以CE=BD,因为AB=DE=CD-CE,所以BD-BD=42,BD=42,解得BD=21,所以CD=BD=21=63(米).答:号楼的高度CD为63米.,10.(2016潍坊,22,9分)如图,直立于地面上的电线杆AB,在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC、CD.测得BC=6米,CD=4米,BCD=150,在D处测得电线杆顶端A的仰角为30,试求电线杆的高度.(结果保留根号),解析延长AD交BC的延长线于点E,过点D作DFCE于点F,在
17、RtDCF中,CD=4,DCF=180-150=30,(1分)则DF=CDsinDCF=4sin 30=2,(2分)CF=CDcosDCF=4cos 30=2,(3分)在RtDEF中,E=30,(4分)tanE=,解得EF=2,(6分)在RtABE中,BE=BC+CF+EF=6+2+2=6+4,(7分)tanE=,解得AB=4+2,即电线杆的高度是(4+2)米.(9分),思路分析延长AD交BC的延长线于点E,过点D作DFCE于点F,解RtDCF求出DF和CF,解RtDFE求出EF,进一步求出BE的长度,解RtABE求出AB的长.,B组20142018年全国中考题组考点一锐角三角函数,1.(20
18、18云南,12,4分)在RtABC中,C=90,AC=1,BC=3,则A的正切值为()A.3B.C.D.,答案AAC=1,BC=3,C=90,tan A=3.,2.(2017天津,2,3分)cos 60的值等于()A.B.1C.D.,答案D根据特殊角的三角函数值,可得cos 60=,故选D.,3.(2017浙江金华,4,3分)在RtABC中,C=90,AB=5,BC=3,则tan A的值是()A.B.C.D.,答案A在RtABC中,C=90,AB=5,BC=3,AC=4,tan A=.,4.(2016贵州安顺,9,3分)如图,在网格中,小正方形的边长均为1,点A、B、C都在格点上,则ABC的正
19、切值是()A.2B.C.D.,答案D连接AC,如图,易得ABC为直角三角形,且CAB=90,由勾股定理得AC=,AB=2,所以tanABC=,故选择D.,5.(2016甘肃白银等9市,13,4分)如图,点A(3,t)在第一象限,射线OA与x轴所夹的锐角为,tan=,则t的值是.,答案,解析如图,过点A作ABx轴,垂足为B,因为点A的坐标为(3,t),且在第一象限,所以OB=3,AB=t,在RtOAB中,tan=,即=,解得t=.,6.(2017福建,22,10分)小明在某次作业中得到如下结果:sin27+sin2830.122+0.992=0.994 5,sin222+sin2680.372+
20、0.932=1.001 8,sin229+sin2610.482+0.872=0.987 3,sin237+sin2530.602+0.802=1.000 0,sin245+sin245=+=1.据此,小明猜想:对于任意锐角,均有sin2+sin2(90-)=1.(1)当=30时,验证sin2+sin2(90-)=1是否成立;(2)小明的猜想是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请举出一个反例.,解析(1)当=30时,sin2+sin2(90-)=sin230+sin260=+=+=1.所以,当=30时,sin2+sin2(90-)=1成立.(2)小明的猜想成立.证明如下:如图,ABC中,C
21、=90,设A=,则B=90-.sin2+sin2(90-)=+=1.,考点二解直角三角形,1.(2018陕西,6,3分)如图,在ABC中,AC=8,ABC=60,C=45,ADBC,垂足为D,ABC的平分线交AD于点E,则AE的长为()A.2B.3C.D.,答案DAC=8,C=45,ADBC,AD=ACsin 45=4,过点E作EFAB于点F,BE是ABC的平分线,DE=EF,ABC=60,ADBC,BAE=30,在RtAEF中,EF=AE,又AD=4,DE=EF,AE=AD=,故选D.,思路分析首先利用AC的长及C的正弦求出AD的长,然后通过角平分线的性质及直角三角形中30度角的性质确定DE
22、和AE的数量关系,最后求出AE的长.,2.(2016甘肃兰州,4,4分)在RtABC中,C=90,sin A=,BC=6,则AB=()A.4B.6C.8D.10,答案D在RtABC中,因为C=90,所以sin A=,所以=,解得AB=10,故选择D.,3.(2016宁夏,14,3分)如图,RtAOB中,AOB=90,OA在x轴上,OB在y轴上,点A,B的坐标分别为(,0),(0,1).把RtAOB沿着AB对折得到AOB,则点O的坐标为.,答案,解析如图,作OCOA,垂足为C,在RtAOB中,OA=,OB=1,AOB=90,tanBAO=,BAO=30,由题意可得AO=AO=,OAB=OAB=3
23、0,OAO=60.在RtOAC中,AC=AOcos 60=,OC=AOsin 60=.OC=AO-AC=.O.,考点三解直角三角形的应用,1.(2017湖南益阳,7,3分)如图,电线杆CD的高度为h,两根拉线AC与BC相互垂直,CAB=,则拉线BC的长度为(A、D、B在同一条直线上)()A.B.C.D.hcos,答案B因为CDAB,ACBC,所以CAB+ACD=90,ACD+BCD=90,所以CAB=BCD=.在RtBCD中,cos=,故BC=,故选B.,2.(2017广西玉林、崇左,10,3分)如图,一艘轮船在A处测得灯塔P位于其北偏东60方向上,轮船沿正东方向航行30海里到达B处后,此时测
24、得灯塔P位于其北偏东30方向上,此时轮船与灯塔P的距离是()A.15海里B.30海里C.45海里D.30海里,答案B由题意可知PAB=90-60=30,ABP=90+30=120,APB=180-120-30=30,PAB=APB=30,PB=AB=30海里,故选B.,3.(2017辽宁葫芦岛,16,3分)一艘货轮由西向东航行,在A处测得灯塔P在它的北偏东60方向,继续航行到达B处,测得灯塔P在它的东北方向,若灯塔P正南方向4海里的C处是港口,点A,B,C在一条直线上,则这艘货轮由A到B航行的路程为海里(结果保留根号).,答案4-4,解析根据题意得PC=4海里,PBC=90-45=45,PAC
25、=90-60=30,在RtAPC中,PAC=30,C=90,AC=PC=4海里,在RtBPC中,PBC=45,C=90,BC=PC=4海里,AB=AC-BC=(4-4)海里.,4.(2018安徽,19,10分)为了测量竖直旗杆AB的高度,某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD,并在地面上水平放置一个平面镜E,使得B,E,D在同一水平线上,如图所示.该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时AEB=FED).在F处测得旗杆顶A的仰角为39.3,平面镜E的俯角为45,FD=1.8米,问旗杆AB的高度约为多少米?(结果保留整数,参考数据:tan 39.30.82,tan 84.310.
26、02),解析解法一:由题意知,AEB=FED=45,AEF=90.在RtAEF中,=tanAFE=tan 84.3,在ABE和FDE中,ABE=FDE=90,AEB=FED,ABEFDE,=tan 84.3,AB=FDtan 84.31.810.02=18.03618(米).答:旗杆AB的高度约为18米.解法二:作FGAB于点G,由题意知,ABE和FDE均为等腰直角三角形,AB=BE,DE=FD=1.8,FG=DB=DE+BE=AB+1.8,AG=AB-GB=AB-FD=AB-1.8.在RtAFG中,=tanAFG=tan 39.3,即=tan 39.3,解得AB=18.218(米).答:旗杆
27、AB的高度约为18米.,思路分析思路一:由题意可确定AEF=90,从而可推出ABEFDE,最后由相似三角形中对应边的比相等求解;思路二:作FGAB于点G,由题意可推出ABE和FDE均为等腰直角三角形,在直角三角形AFG中由锐角三角函数求出AB.,5.(2018四川成都,18,8分)由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务.如图,航母由西向东航行,到达A处时,测得小岛C位于它的北偏东70方向,且与航母相距80海里,再航行一段时间后到达B处,测得小岛C位于它的北偏东37方向.如果航母继续航行至小岛C的正南方向的D处,求还需航行的距离BD的长.(参考数据:
28、sin 700.94,cos 700.34,tan 702.75,sin 370.60,cos 370.80,tan 370.75),解析由题可知ACD=70,BCD=37,AC=80.在RtACD中,cosACD=,0.34,CD27.2,在RtBCD中,tanBCD=,0.75,BD20.4.答:还需要航行的距离BD的长为20.4海里.,6.(2018河南,20,9分)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目,其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成,运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离.某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题,请你解答.如图所示,
29、底座上A,B两点间的距离为90 cm.低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155 cm,高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234 cm,已知低杠的支架AC与直线AB的夹角CAE为82.4,高杠的支架BD与直线AB的夹角DBF为80.3.求高、低杠间的水平距离CH的长.(结果精确到1 cm.参考数据:sin 82.40.991,cos 82.40.132,tan 82.47.500,sin 80.30.983,cos 80.30.168,tan 80.35.850),解析在RtCAE中,AE=20.7.(3分)在RtDBF中,BF=40.(6分)EF=AE+AB+BF=20.7+90+40=1
30、50.7151.四边形CEFH为矩形,CH=EF=151.即高、低杠间的水平距离CH的长约是151 cm.(9分),思路分析根据RtCAE和RtDBF中的边和角的数值,用正切函数分别求得AE,BF的长度,得EF=AE+AB+BF,由矩形的性质可知CH=EF,可以求出问题的答案.,方法总结解直角三角形的应用问题,一般根据题意抽象出几何图形,结合所给的线段或角,借助边角关系、三角函数的定义解题,若几何图形中无直角三角形,则需要根据条件构造直角三角形,再解直角三角形,求出实际问题的答案.,7.(2018云南昆明,19,7分)小婷在放学路上,看到隧道上方有一块宣传“中国南亚博览会”的竖直标语牌CD,她
31、在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42,测得隧道底端B处的俯角为30(B,C,D在同一条直线上),AB=10 m,隧道高6.5 m(即BC=6.5 m),求标语牌CD的长(结果保留小数点后一位).(参考数据:sin 420.67,cos 420.74,tan 420.90,1.73),解析如图,过点A作AEBD于点E,(1分)由题意得DAE=42,EAB=30,在RtABE中,AEB=90,AB=10,EAB=30,BE=AB=10=5.(2分)cosEAB=,AE=ABcos 30=10=5.(4分)在RtDEA中,DEA=90,DAE=42,tanDAE=,思路分析作AEBD于点E,构造直角
32、DEA和直角ABE,解直角DEA和直角ABE,求得BE,DE的长,进而可求出CD的长度.,DE=AEtan 4250.90=,(5分)CD=BE+ED-BC=5+-6.56.3(m).(6分)答:标语牌CD的长约为6.3 m.(7分),8.(2017河南,19,9分)如图所示,我国两艘海监船A,B在南海海域巡航,某一时刻,两船同时收到指令,立即前往救援遇险抛锚的渔船C.此时,B船在A船的正南方向5海里处,A船测得渔船C在其南偏东45方向,B船测得渔船C在其南偏东53方向.已知A船的航速为30海里/小时,B船的航速为25海里/小时,问C船至少要等待多长时间才能得到救援?参考数据:sin 53,c
33、os 53,tan 53,1.41,解析过点C作CDAB交AB延长线于点D,则CDA=90.(1分)已知CAD=45,设CD=x海里,则AD=CD=x海里.BD=AD-AB=(x-5)海里.(3分)在RtBDC中,CD=BDtan 53,即x=(x-5)tan 53,x=20.(6分)BC=20=25海里.B船到达C船处约需时间:2525=1(小时).(7分)在RtADC中,AC=x1.4120=28.2海里,A船到达C船处约需时间:28.230=0.94(小时).(8分)而0.941,所以C船至少要等待0.94小时才能得到救援.(9分),解题技巧本题是解三角形两种典型问题中的一种.以下介绍两
34、种典型问题:(1)如图,当BC=a时,设AD=x,则CD=,BD=.CD+BD=a,+=a,x=.(2)如图,当BC=a时,设AD=x,则BD=,CD=,CD-BD=a,-=a,x=.,C组教师专用题组考点一锐角三角函数,1.(2018贵州贵阳,7,3分)如图,A、B、C是小正方形的顶点,且每个小正方形的边长为1,则tanBAC的值为()A.B.1C.D.,答案B如图,连接BC,则BCAB.在RtABC中,AB=BC=,tanBAC=1.,2.(2018湖南娄底,11,3分)如图,由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169,小正方形的面积是49,则sin-cos=()A.B.-C.D.
35、-,答案D如图,小正方形的面积为49,大正方形的面积为169,小正方形的边长是7,大正方形的边长是13,在RtABC中,AC2+BC2=AB2,即AC2+(7+AC)2=132,整理得,AC2+7AC-60=0,解得AC=5,或AC=-12(舍去),在RtABC中,AC=5,BC=12,AB=13,sin-cos=-=-.,3.(2017浙江湖州,3,4分)如图,已知在RtABC中,C=90,AB=5,BC=3,则cos B的值是()A.B.C.D.,答案A在RtABC中,AB=5,BC=3,cos B=.,4.(2017湖南怀化,6,3分)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(3,4),那
36、么sin 的值是()A.B.C.D.,答案C作AB x轴于B,如图,点A的坐标为(3,4),OB=3,AB=4,OA=5,在RtAOB中,sin=.故选C.,5.(2016四川达州,7,3分)如图,半径为3的A经过原点O和点C(0,2),B是y轴左侧A优弧上一点,则tanOBC为()A.B.2C.D.,答案C设A与x轴的交点为D,连接CD,COD=90,CD是A的直径,在RtOCD中,OD=4,tanODC=,又OBC=ODC,tanOBC=,故选择C.,6.(2017无锡,18,2分)在如图的正方形方格纸中,每个小的四边形都是相同的正方形,A,B,C,D都在格点处,AB与CD相交于O,则ta
37、nBOD的值等于.,答案3,解析如图所示,平移CD到CD,交AB于O,则BOD=BOD,tanBOD=tanBOD,设每个小正方形的边长为a,则OB=a,OD=2a,BD=3a,作BEOD于点E,则BE=,OE=a,tanBOE=3,tanBOD=3.,思路分析平移CD,使BOD的顶点位于格点上,从而构造直角三角形求解.,解题关键本题考查解直角三角形,解答本题的关键是作出合适的辅助线,找到直角三角形,利用勾股定理和等积法求出正切值,从而解决问题.,7.(2017贵州黔西南,25,12分)把(sin)2记作sin2,根据图1和图2完成下列各题.(1)sin2A1+cos2A1=,sin2A2+c
38、os2A2=,sin2A3+cos2A3=;(2)观察上述等式猜想:在RtABC中,C=90,总有sin2A+cos2A=;(3)如图2,在RtABC中证明(2)题中的猜想;(4)已知在ABC中,A+B=90,且sin A=,求cos A.,解析(1)sin2A1+cos2A1=+=+=1,sin2A2+cos2A2=+=+=1,sin2A3+cos2A3=+=+=1,解析(1)sin2A1+cos2A1=+=+=1,sin2A2+cos2A2=+=+=1,sin2A3+cos2A3=+=+=1,+cos2A=1,解得cos A=或cos A=-(舍),cos A=.,考点二解直角三角形,1.
39、(2018四川自贡,22,8分)如图,在ABC中,BC=12,tan A=,B=30,求AC和AB的长.,解析如图,过点C作CDAB于点D,在RtBCD中,B=30,BC=12,CD=BCsin 30=6,BD=BCcos 30=6,在RtACD中,tan A=,AD=8,AC=10,AB=AD+BD=8+6.,思路分析由已知条件可以看出这个三角形是确定的三角形,过点C作CDAB于点D,则得到两个直角三角形:ADC和BDC,可用勾股定理、特殊角的三角函数值等知识来求解.,2.(2016湖南怀化,10,4分)在RtABC中,C=90,sin A=,AC=6 cm,则BC的长度为()A.6 cmB
40、.7 cmC.8 cmD.9 cm,答案Csin A=,设BC=4x,AB=5x(x0),又AC2+BC2=AB2,62+(4x)2=(5x)2,解得x=2或x=-2(舍),则BC=4x=8 cm,故选C.,3.(2015辽宁沈阳,16,4分)如图,正方形ABCD绕点B逆时针旋转30后得到正方形BEFG,EF与AD相交于点H,延长DA交GF于点K,若正方形ABCD边长为,则AK=.,答案2-3,解析如图,延长BA交GF于点N.由旋转的性质得GBN=EBC=30,GB=AB=.在RtGBN中,GB=,GBN=30,BN=2,AN=BN-AB=2-.NAK=G=90,KNA+NKA=90,KNA+
41、GBN=90,NKA=GBN=30(同角的余角相等).在RtKAN中,AN=2-,NKA=30,AK=2-3.,评析本题考查正方形的性质、旋转的性质和解直角三角形的有关知识,综合性较强.,4.(2017江苏扬州,24,10分)如图,将ABC沿着射线BC方向平移至ABC,使点A落在ACB的外角平分线CD上,连接AA.(1)判断四边形ACCA的形状,并说明理由;(2)在ABC中,B=90,AB=24,cosBAC=,求CB的长.,解析(1)四边形ACCA为菱形,理由如下:ABC沿着射线BC方向平移至ABC,ACAC,AACC,四边形ACCA为平行四边形.AACC,AAC=ACC.ACA=ACC,A
42、CA=AAC,AA=AC,平行四边形ACCA为菱形.(2)在ABC中,B=90,cosBAC=,AB=24,cosBAC=,AC=26,BC=10.由(1)知四边形ACCA为菱形,CC=AC=26,且BC=BC=10,CB=26-10=16.,5.(2014重庆A卷,20,7分)如图,ABC中,ADBC,垂足是D,若BC=14,AD=12,tanBAD=,求sin C的值.,解析ADBC,tanBAD=,(1分)tanBAD=,AD=12,=,(2分)BD=9.(3分)CD=BC-BD=14-9=5,(4分)在RtADC中,AC=13,(6分)sin C=.(7分),考点三解直角三角形的应用,
43、1.(2017广西南宁,11,3分)如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东45方向,距离灯塔 60 n mile的A处,它沿正北方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的北偏东30方向上的B处,这时,B处与灯塔P的距离为()A.60 n mileB.60 n mileC.30 n mileD.30 n mile,答案B过点P作PCAB交AB于点C.依题意得APC=90-45=45,BPC=90-30=60,AP=60 n mile,PC=30 n mile,PB=2PC=60 n mile.,2.(2016四川巴中,8,3分)一个公共房门前的台阶高出地面1.2米,台阶拆除后,换成供轮椅行走的斜坡,数据如图
44、所示,则下列关系或说法正确的是()A.斜坡AB的坡度是10B.斜坡AB的坡度是tan 10C.AC=1.2tan 10米D.AB=米,答案BA.斜坡AB的坡度应是斜坡AB的垂直距离与水平距离的比值,而不是一个角度,故选项A错误;B.根据直角三角形的边角关系,tan 10=,而这正是斜坡AB的垂直距离与水平距离的比值,故选项B正确;C.AC=米,故选项C错误;D.AB=米,故选项D错误,故选择B.,3.(2016江苏南通,7,3分)如图,为了测量某建筑物MN的高度,在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30,向N点方向前进16 m,到达B处,在B处测得建筑物顶端M的仰角为45,则建筑物M的高度等于
45、()A.8(+1)mB.8(-1)mC.16(+1)mD.16(-1)m,答案A设BN=x m,则AN=(16+x)m.在RtBMN中,MN=BN=x m.在RtAMN中,16+x=x,解得x=8(+1).建筑物M的高度等于8(+1)m,故选择A.,4.(2017温州,16,5分)小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头(如图1).完全开启后,水流路线呈抛物线,把手端点A、出水口B和落水点C恰好在同一直线上,点A到出水管BD的距离为12 cm,洗手盆及水龙头的相关数据如图2所示,现用高10.2 cm的圆柱形水杯去接水,若水流所在抛物线经过点D和杯子上底面中心E,则点E到洗手盆内侧的距离EH为cm.
46、,答案24-8,解析如图所示,建立直角坐标系,过A作AGOC于G,交BD于Q,过M作MPAG于P,由题可得,AQ=12,PQ=MD=6,故AP=6,AG=36,在RtAPM中,MP=8,故DQ=OG=MP=8,BQ=12-8=4,由BQCG可得,ABQACG,=,即=,CG=12,OC=12+8=20,C(20,0),水流所在抛物线经过点D(0,24),可设抛物线的解析式为y=ax2+bx+24,把C(20,0),B(12,24)代入抛物线解析式,可得解得抛物线的解析式为y=-x2+x+24,又点E的纵坐标为10.2,令y=10.2,则10.2=-x2+x+24,解得x1=6+8,x2=6-8
47、(舍去),点E的横坐标为6+8,又ON=30,EH=30-(6+8)=24-8.,即点E到洗手盆内侧的距离EH为(24-8)cm.,思路分析先建立合适的平面直角坐标系,再作辅助线构造相似三角形,由此可求得C点坐标,进而结合D、B的坐标确定抛物线的解析式,从而得到点E的坐标,求得EH.,5.(2016湖北荆州,15,3分)全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外.如图,张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为1148,测得塑像顶部A处的仰角为45,点D在观测点C正下方城墙底的地面上.若CD=10米,则此塑像的高AB约为米.(参考数据:tan 78124.8),答案58,解析如图,作CEAB
48、于点E,则BCE=1148,ACE=45,BE=CD=10米.在RtBCE中,tan 7812=,CE=BEtan 78124.810=48(米).在RtACE中,ACE=45,AE=CE=48(米).AB=BE+AE=10+48=58(米),故答案为58.,6.(2018内蒙古呼和浩特,21,7分)如图,一座山的一段斜坡BD的长度为600米,且这段斜坡的坡度i=13(沿斜坡从B到D时,其升高的高度与水平前进的距离之比).已知在地面B处测得山顶A的仰角为33,在斜坡D处测得山顶A的仰角为45.求山顶A到地面BC的高度AC是多少米.(结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可),解析如图,过点D作
49、DHBC,垂足为H.斜坡BD的坡度i=13,DHBH=13.在RtBDH中,BD=600,DH2+(3DH)2=6002,DH=60,BH=180.设AE=x米,在RtADE中,ADE=45,DE=AE=x,又HC=DE,EC=DH,HC=x,EC=60,在RtABC中,tan 33=,x=,AC=AE+EC=+60=.答:山顶A到地面BC的高度AC为米.,7.(2018湖北黄冈,21,7分)如图,在大楼AB正前方有一斜坡CD,坡角DCE=30,楼高AB=60米,在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60,在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为45,其中点A,C,E在同一直线上.(1)求坡底C点到大楼距
50、离AC的值;(2)求斜坡CD的长度.,解析(1)在RtABC中,AB=60米,ACB=60,AC=20 米.(2)过点D作DFAB于点F,则四边形AEDF为矩形,AF=DE,DF=AE.设CD=x米,在RtCDE中,DE=x米,CE=x米,在RtBDF中,BDF=45,BF=DF=AB-AF=米,DF=AE=AC+CE,20+x=60-x,解得x=80-120,即CD=(80-120)米.,8.(2018天津,22,10分)如图,甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78 m,从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48,测得底部C处的俯角为58,求甲、乙建筑物的高度AB和DC(结果取整数).参考数据
