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1、 三角函数的图象与性质基础梳理1“五点法”描图(1)ysin x的图象在0,2上的五个关键点的坐标为 (0,0)(，0)(2，0) (2)ycos x的图象在0,2上的五个关键点的坐标为 (0,1)，(，1)，(2，1) 2.三角函数的图象和性质函数性质ysin xycos xytan x定义域RRx|xk，kZ图象 值域1,11,1R对称性对称轴：_ xk(kZ)_ _；对称中心：_ (k，0)(kZ)_ _对称轴： xk(kZ)_；对称中心：_(k，0) (kZ)_ 对称中心：_ (kZ) _周期2_2单调性单调增区间_2k，2k(kZ)_；单调减区间2k，2k (kZ) _单调增区间2k
2、，2k (kZ) _；单调减区间2k，2k(kZ)_单调增区间_(k，k)(kZ)_ 奇偶性奇函数偶函数奇函数3.一般地对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)对函数周期性概念的理解周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域范围的每一个x值都满足f(xT)f(x)，其中T是不为零的常数.如果只有个别的x值满足f(xT)f(x)，或找到哪怕只有一个x值不满足f(xT)f(x)，都不能说T是函数f(x)
3、的周期.函数yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为 ，ytan(x)的最小正周期为 .4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性；关于正、余弦函数的有界性由于正余弦函数的值域都是1,1，因此对于xR，恒有1sin x1，1cos x1，所以1叫做ysin x，ycos x的上确界，1叫做ysin x，ycos x的下确界.(2)形式复杂的函数应化为yAsin(x)k的形式逐步分析x的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问
4、题利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：ysin2x4sin x5，令tsin x(|t|1)，则y(t2)211，解法错误.5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如yAsin(x) (0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x系数的正负号) (1)ysin；(2)ysin.热身练习:1函数ycos，xR()A是奇函数 B既不是奇函数也不是偶函数C是偶函数 D既是奇函数又是偶函数 2函数ytan的定义域为()A.B.C. D.3函数ysin(2x)
5、的图象的对称轴方程可能是( )Ax Bx Cx Dx【解析】令2xk，则x(kZ)当k0时，x，选D.4ysin的图象的一个对称中心是()A(，0) B. C. D.解析ysin x的对称中心为(k，0)(kZ)，令xk(kZ)，xk(kZ)，由k1，x得ysin的一个对称中心是.答案B5下列区间是函数y2|cos x|的单调递减区间的是()A.(0，)B. C. D.6已知函数f(x)sin(2x)，其中为实数，若f(x)|f()|对任意xR恒成立，且f()f()，则f(x)的单调递增区间是( )Ak，k(kZ) Bk，k(kZ)Ck，k(kZ) Dk，k(kZ) 【解析】当xR时，f(x)
6、|f()|恒成立，f()sin()1可得2k或2k，kZf()sin()sinf()sin(2)sinsin0.1cos x1，0cos x1.利用单位圆中的余弦线OM，依题意知0OM1，OM只能在x轴的正半轴上，其定义域为 x|2kx2k，kZ.(2)要使函数有意义，必须使sin xcos x0.利用图象.在同一坐标系中画出0,2上ysin x和ycos x的图象，如图所示.在0,2内，满足sin xcos x的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2，所以定义域为.变式训练1 (1)求函数的定义域；解(1)要使函数有意义，则 图如图利用单位圆得：函数的定义域为x|2kx2k，kZ. (2)求函
7、数的定义域.要使函数有意义则利用数轴可得图图函数的定义域是x|0x0，0,0)的部分图象如图所示(1)求f(x)的解析式；(2)设g(x)f(x)2，求函数g(x)在x，上的最大值，并确定此时x的值【解析】(1)由图可知A2，则4 .又f()2sin()2sin()0sin()00，0)来确定；的确定：由函数yAsin(x)K最开始与x轴的交点(最靠近原点)的横坐标为(即令x0，x)确定.例4若方程sinxcosxa在0,2上有两个不同的实数根x1，x2，求a的取值范围，并求此时x1x2的值【解析】sinxcosx2sin(x)，x0,2，作出y2sin(x)在0,2内的图象如图由图象可知，当
8、1a2或2a1时，直线ya与y2sin(x)有两个交点，故a的取值范围为a(2,1)(1,2)当1a2时，x1x2.x1x2.当2a1时，x1x23，x1x2.【点评】利用三角函数图象形象直观，可使有些问题得到顺利、简捷的解决，因此我们必须准确把握三角函数“形”的特征例4已知函数f(x)Asin(x)，xR(其中A0，0，0)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M(，2)(1)求f(x)的解析式；(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位后，再将所得图象上各点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，得到yg(x)的图象，求函数yg(x)的解析式，并求满足g(x)且x0，
9、的实数x的取值范围【解析】(1)由函数图象的最低点为M(，2)，得A2，由x轴上相邻两个交点间的距离为，得，即T，2.又点M(，2)在图象上，得2sin(2)2，即sin()1，故2k，kZ，2k，又(0，)，.综上可得f(x)2sin(2x)(2)将f(x)2sin(2x)的图象向右平移个单位，得到f1(x)2sin2(x)，即f1(x)2sin2x的图象，然后将f1(x)2sin2x的图象上各点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，得到g(x)2sin(22x)，即g(x)2sin4x.由得.则即.故x 或 x.题型四 、三角函数的奇偶性与周期性及应用例1已知函数f(x)sin(x)，其中0，
10、|.(1)若coscossinsin0，求的值；(2)在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数f(x)的解析式；并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数【解析】(1)由coscossinsin0 得cos()0.|0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答.列不等式的原则是：把“x (0)”视为一个“整体”；A0 (A0，0)：若求yf(x)的对称轴，只需令xk(kZ)，求出x；若求yf(x)的对称中心的横坐标，只零令xk(kZ)，求出x；若求yf(x)的单调增区间，只需令2kx2k，求出x；若求yf(x)的单调
11、减区间，只需令2kx2k，求出x.题型七三角函数的对称性与奇偶性例3(1)已知f(x)sin xcos x(xR)，函数yf(x) 的图象关于直线x0对称，则的值为_.(2)如果函数y3cos(2x)的图象关于点中心对称，那么|的最小值为() A . B. C. D.(1) (x)2sin， yf(x)2sin图象关于x0对称，即f(x)为偶函数k，kZ，即k，kZ，所以当k0时，. (2)A3cos3cos3cosk，kZ，k，kZ，取k0，得|的最小值为.故选 探究提高若f(x)Asin(x)为偶函数，则当x0时，f(x)取得最大或最小值.若f(x)Asin(x)为奇函数，则当x0时，f(
12、x)0.如果求f(x)的对称轴，只需令xk (kZ)，求x.如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令xk (kZ)即可.变式训练3 (1)已知函数f(x)sinxacos x的图象的一条对称轴是x，则函数g(x)asin xcos x的最大值是 ()A. B. C. D.由题意得f(0)f ，a.a, g(x)sin xcos xsin，g(x)max.(2)若函数f(x)asin xbcos x (05，ab0)的图象的一条对称轴方程是x，函数f(x)的图象的一个对称中心是，则f(x)的最小正周期是_.(1)B(2)由题设，有，即(ab)，由此得到ab.又，所以a0，从而tan 1，k，kZ
13、，即8k2，kZ，而00，a0或a0，|)的最小正周期为，将该函数的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数为奇函数，则f(x)的图象( )A关于点(，0)对称 B关于直线x对称C关于点(，0)对称 D关于直线x对称【解析】由已知得2，则f(x)sin(2x)设平移后的函数为g(x)，则g(x)sin(2x)(|0)和g(x)2cos(2x)1的图象的对称轴完全相同.若x0，则f(x)的取值范围是_.4函数f(x)2sin x(0)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，那么等于_解析因为f(x)2sin x(0)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，所以2sin，且0，因此.答案6.关于
14、函数f(x)4sin (xR)，有下列命题：由f(x1)f(x2)0可得x1x2必是的整数倍；yf(x)的表达式可改写为y4cos；yf(x)的图象关于点对称；yf(x)的图象关于直线x对称.其中正确命题的序号是_.解析函数f(x)4sin的最小正周期T，由相邻两个零点的横坐标间的距离是知错利用诱导公式得f(x)4cos4cos4cos，知正确由于曲线f(x)与x轴的每个交点都是它的对称中心，将x代入得f(x)4sin4sin 00，因此点是f(x)图象的一个对称中心，故命题正确曲线f(x)的对称轴必经过图象的最高点或最低点，且与y轴平行，而x时y0，点不是最高点也不是最低点，故直线x不是图象
15、的对称轴，因此命题不正确答案三、解答题7.设函数f(x)sin (0)，yf(x)图象的一条对称轴是直线x.(1)求；(2)求函数yf(x)的单调增区间.解(1)(2)由(1)得：f(x)sin，令2k2x2k，kZ，可解得kxk，kZ，因此yf(x)的单调增区间为，kZ.8.(1)求函数y2sin (x)的值域；(2)求函数y2cos2x5sin x4的值域.解(1)x，02x，00)在区间上的最小值是2，则的最小值等于()A. B. C.2 D.33.函数f(x)cos 2xsin是()A.非奇非偶函数 B.仅有最小值的奇函数C.仅有最大值的偶函数 D.有最大值又有最小值的偶函数二、填空题
16、4.设定义在区间(0，)上的函数y6cos x的图象与y5tan x的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数ysin x的图象交于点P2，则线段P1P2的长为_.5.函数f(x)2sin x(0)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，那么_.解析因为f(x)2sin x(0)在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，所以2sin，且0，因此.答案6.给出下列命题：函数ycos是奇函数； 存在实数，使得sin cos ；若、是第一象限角且，则tan 0)的图象与直线ym相切，并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列. (1)求m的值；(2)若点A(x0，y0)是yf(x)图
17、象的对称中心，且x0，求点A的坐标.7.解(1)f(x)(1cos 2ax)sin 2ax(sin 2axcos 2ax)sin.yf(x)的图象与ym相切，m为f(x)的最大值或最小值，即m或m.(2)切点的横坐标依次成公差为的等差数列，f(x)的最小正周期为.T，a0，a2，即f(x)sin.由题意知sin0，则4x0k (kZ)，x0 (kZ).由0 (kZ)得k1或2，因此点A的坐标为，.三角函数的图象与性质练习四一、选择题1函数f(x)2sin xcos x是()A最小正周期为2 的奇函数 B最小正周期为2 的偶函数C最小正周期为的奇函数 D最小正周期为的偶函数解析f(x)2sin
18、xcos xsin 2x.f(x)是最小正周期为的奇函数答案C2函数ysin2xsin x1的值域为()A1,1 B. C. D.解析(数形结合法)ysin2xsin x1，令sin xt，则有yt2t1，t1,1，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t及t1时，函数取最值，代入yt2t1可得y.答案C3若函数f(x)sin x(0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则()A. B. C2 D3解析由题意知f(x)的一条对称轴为x，和它相邻的一个对称中心为原点，则f(x)的周期T，从而.答案B(4)20X4年10月1目，甲公司董事会决定将某管理用同定资产的折旧年限由10年调整为20年，该
19、项变更自20X4年1月1曰起执行。董事会会议纪要 中对该事项的说明为：考虑到公司对某管理用固定资产的实际使用情况发生变化，将该同定资产的折旧年限调整为20年，这更符合其为企业带来经济利益流入的情 况。4函数f(x)(1tan x)cos x的最小正周期为()A2 B. C D.解析依题意，得f(x)cos xsin x2sin.故最小正周期为2.答案A5下列函数中，周期为，且在上为减函数的是()Aysin BycosCysin Dycos解析(筛选法)函数的周期为.排除C、D，函数在上是减函数，排除B. 答案A更正分录如下：【点评】 本题采用了筛选法，体现了筛选法的方便、快捷、准确性，在解选择
20、题时应注意应用.贷：银行存款 506已知函数f(x)sin(xR)，下面结论错误的是()C4 800万元A函数f(x)的最小正周期为2 B函数f(x)在区间上是增函数借：预计负债 800C函数f(x)的图象关于直线x0对称 D函数f(x)是奇函数解析ysincos x，T2，在上是增函数，图象关于y轴对称，为偶函数C.文档和调试可能不充分D.加强了开发过程中的用户参与程度答案D二、 填空题7.y=|sin（x+）|的单调增区间为_k+，k+（kZ）_.其他综合收益=600（1-25%）=450（万元）。8.要得到的图象，可以将函数y = 3 sin2 x的图象向左平移_单位.7导致DIC发病的关键环节是9.若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为_.3患者住院后的治疗是否正确？理论基础是什么？10函数f(x)=() 的值域是_-1,0_ _.11.已知，且在区间有最小值，无最大值，则_11DIC患者出血与下列哪一项因素关系最密切？12、给出下面的3个命题：（1）函数的最小正周期是；（2）函数在区间上单调递增；（3）是函数的图象的一条对称轴.其中正确命题的序号是
