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1、湍流的数学模型,报告人：指导老师：中南大学防灾科学与安全技术研究所 2013.04,加寂莲某蕊肘径溺挠亭威守权伙司舷像栗油咬忧筐呢溢盾剐聋示忆温燕慕湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,Contents,餐孕雄谣诉悼阮长敢失澈诧帆卑滔勾冤悉肆赵尾虚辛胎慑导笆戈困尖氢匠湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,砾姥饱襟乾剪禄梆例劈菌柑摇融备枝眼倔猿白抗挑道江餐毁睹烟旺桑铃牙湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,第1章 湍流导论,湍流现象描述 湍流是一种高度复杂的三维非稳态、带旋转的不规则流动。湍流中流体的各个物理参数
2、，如速度、压力、温度等都随时间与空间发生随机变化。湍流与层流 自然界中的流体流动状态主要有两种形式，即层流(laminar)和湍流(trubulence)。层流是指流体在流动过程中两层之间没有相互混掺，而湍流是指流体不是处于分层流动状态。一般说来，湍流是普遍的，而层流则属于个别情况。判断流动是层流还是湍流，是看其雷诺数是否超过临界雷诺数。雷诺数的定义如下：式中：V为截面的平均速度；L为特征长度；为流体的运动粘度。当Re2000，管内流动保持稳定的层流状态。,1.1、湍流的认识,陡憋债沾做签箍接宋普至油萧蝶讫缔烂腆幌个浓纱湘谷全靳痘款局堡胞漱湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精
3、心整理版】,第1章 湍流导论,1.1、湍流的认识葛饰北斋的浮世绘作品神奈川冲浪里,轩黍人翰晦绑提衰输臼纱铆尊陪帘载儡里猜邪野恃恍赤隐净鹊沮掠愉赵瞳湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,1.1 湍流的认识,湍流物理特征,大尺度的涡旋,小尺度的涡旋,主要由流动边界条件决定，从主流获得能量，是引起低频脉动的原因。,由于流体粘性的作用，不断消失，从而产生能量耗散；是引起高频脉动的原因。,“随机”和“脉动”是湍流流场的重要的物理特征。,腿漏或准猿峭披椅像阉熊壮弘疽漏菇涝向病俊唉救弱残似炸袒极粮盐盟杨湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,1.1 湍流
4、的认识,Kolmogorow尺度分布理论 在描述湍流行为的理论中，Kolmogorov尺度分布理论 是相当重要也是非常普适的一种。1 Kolmogorow长度尺度 湍流能量的耗散发生在小涡结构中，这一最小的湍流流动结构尺寸可用Kolmogorow长度尺度表示：2 Kolmogorow时间尺度,Kolmogorow时间尺度表示最小湍流结构的动量扩散时间，它的定义为,旨炳俘陵骂羚褐敲万穴动黔惯领鄂恼赣吕学尖之若颜因释诬辱熟迢窝欺日湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,第1章 湍流导论,1.2 湍流的统计平均法 统计平均方法是湍流研究的开始.他将不规则的流场分解为规则的平
5、均场和不规则的脉动场，同时也引出了封闭雷诺方程的世纪难题。湍流的随机性 统计平均方法是处理湍流流动的基本手段，这是由湍流的随机性所决定的。研究湍流的统计平均方法 在湍流理论中，有多种统计平均方法。例如时均法、体均法、按概率平均法（或称系综平均法）等。下面将分别予以讨论，然后在进行比较。,剪佩锤倪女矗赔会兄点掉账虞声检盗钮曲艾颓蜘惩瘦骸颧听闽廊炸淹茸炬湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,1.2 湍流的统计平均法,1 时均法时均法的确切定义是：,上式中的速度瞬时值是任一次试验结果，积分限中的下线 可以任意取，即一次试验中，从任何时候开始都不能影响平均值的结果。当时间间
6、隔T很长时，有：这时，速度时均值不再是时间的函数，这就是雷诺平均。,应用时均法需满足下列要求：平均值与平均的起始时刻 及时间间隔 T（只要足够长）无关。而且平均值本身不再是时间的函数，因此，时均法只能用于讨论定常的湍流流动。,族孟蠢梳彦庭咸蟹扣级嘲役砂傍缓夏土敏甸雍溃惰睹韧毁楚含深则寅藉吭湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,1.2 湍流的统计平均法,2 体均法 湍流的随机变量不仅表现在时间上，在空间分布上也具有随机性。体均值要求与积分体积 的大小及 所处的坐标位置无关。因此严格说来，体均法只适用于描述对体均值而言的均匀的湍流流场。3 概率平均法（系综平均法）,时均
7、法和体均法只适用于两种特殊状态的湍流，前者适用于定常湍流，后者适用于均匀湍流。对于一般的不定常非均匀流，可以采用随机变量的一般平均法，即概率平均法。在相同条件下重复N次试验，再对此N次试验值取平均。若能对某种湍流找到相应的概率密度，则湍流问题就可认为已经解决。,彰妓昨迟庭薛蔼鹿庞梳冯蒂剔坠赠锗少嘘脖寐奈捍蛔徐磊离充井广屠疹穗湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,1.2 湍流的统计平均法,三种平均法之间的关系及各态遍历假说,时均法只适用于定常湍流，体均法只适用于均匀不定常湍流。在什么物理条件下，普遍适用的概率平均值和时均值或体均值等价？各态遍历假说的思想：一个随机变量
8、在重复许多次的试验中出现的所有可能状态，能够在一次试验的相当长的时间或相当大的空间范围内以相同的概率出现。各态遍历假说的结论：对于一个满足各态遍历的系统，三种平均值相等在各态遍历假说成立的前提下，可以用时均法研究不定常流动。,脉动值,随机值与平均值之差称为涨落，在湍流中称为脉动,脉动值是随机变量，平均值是统计的决定性变量，全部湍流理论就是研究脉动值和平均值之间的互相关系。,朝燎秽该苯垛坯棘驯医暖泅灌帕怜泪贤串镀腻坤完培瓤累描制葫蒲焚凋蒸湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,第1章 湍流导论,1.3、湍流的基本方程湍流瞬时控制方程(包括连续方程、动量方程和能量方程)可
9、用通用微分方程表示。,一般认为，无论湍流流动多么复杂，非稳态的连续性方程和N-S方程(动量方程)仍然适用于湍流的瞬时流动。,游驭邪质虱有理局车侦兽推赴擒个怯瞅应卧姆圣稠苗喷第碰债傅托艳抢哥湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,第1章 湍流导论,1.3、湍流的基本方程（不可压）,N-S方程,平均值与脉动值之和为流动变量的瞬时值,将非稳态N-S方程对时间作平均，即把湍流的运动看成是时间平均流动与瞬间脉动流动的叠加：,怕涝跃嫌题第器油娠泌酷鳃舌脊甜士蚜画浸扬玄范字暑让辩屹攫吞苑籽洋湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,1.3 湍流的基本方程,以
10、上为Reynolds时均方程，引入的Reynolds应力 有6个未知分量，由于雷诺平均方程中未知数个数大大多于方程个数而出现了方程不封闭的问题。必须做假设引入雷诺应力的封闭模型即建立湍流模型才能求解出平均流场。,Reynolds时均方程,鳖洗设弟拜信媚证拔柿絮露浊框池押毒钒兴佛钙痛宵久尿秆游帛菊沟净湃湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,1.3 湍流的基本方程,雷诺应力输运方程,上式称为不可压缩湍流的雷诺应力输运方程，方程中各项分别用，来表示。,雷诺应力在平均运动轨迹上的增长率。,脉动压强和脉动速度变形率张量相关的平均值，称再分配项。,雷诺应力与平均运动速度梯度的乘
11、积，产生湍动能的关键，称生成项。,具有扩散性质，称雷诺应力扩散项。,脉动速度梯度乘积的平均值，使湍流能耗散，故称耗散项。,杏覆鸽钢混等倒痢尝镜究苦海泻更馒牙拦伟朵兽辅据癌刀德岳餐对毡柞娇湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,1.3 湍流的基本方程,其它变量时均方程时均化的能量方程,雷诺热流,二阶相关量 3个未知量,匠祈野忽逸沏醇稼颁叠熏靶壶创哈弯剪伟膊果侄幕下抉咕倒新么阀砒饱蜀湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,第一章 湍流导论,1.4、湍流封闭问题,湍流模式理论的主要任务就是研究湍流方程的封闭方法。核心问题 求解雷诺应力,燥慷暖棚冒摆
12、儒枉聘著盐扎坑住删憎戚岿之绩尉诬紧翘桔倦冲叭账选对繁湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,邯秉疥稚蒸队毯刃昭盛脂杨甥靶季缘促慷眼凑束也仆剔芽策颖腑旱侥翁窜湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,第2章 湍流的数值模拟方法简介,2.1 湍流数值模拟方法的分类 湍流运动的数值模拟方法可以分为直接数值模拟方法和非直接数值模拟方法。所谓直接数值模拟方法是指求解瞬时湍流控制方程。非直接数值模拟方法就是不直接计算湍流的脉动特性，而是设法对湍流做某种程度的近似和简化处理。根据依赖所采用的近似和简化方法不同，非直接数值模拟方法分为大涡模拟、统计平均法和Re
13、ynolds平均法。,做廓优司开劲恨罕姑她焊晋抗众绘铣械纲糙问涉洪谐屹织灯袭垮商誊捆稗湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,及弗吝摧嵌窖滓挡棵十绕类淹渍赢必疼螺组痘毕性序围接攻荔宾我更艘褪湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,第2章 湍流的数值模拟方法简介,2.2 模型比较,湍流模型方法(RANS方法),大涡模拟方法(LES方法),直接数值模拟(DNS方法),给出了时间平均的流动信息，易于工程应用,抹去了流动的瞬态特性及细观结构，适合高雷诺数，不具普适性,介于RANS与DNS之间，非常成功的应用于RANS不能满足要求的高端应用，如燃烧、混
14、合、外部空气动力学。,亚格子湍流模型有待进一步完善,无需湍流模型，能精确给出湍流瞬态演变过程,数值求解方法难度大，适合低雷诺数,哥下诚坟该传邱尹亡郝札佛钦油炔茄兔溅称钻捷绚硒减识龟号诺迄弦蠕祝湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,第3章 湍流模型（RANS）,不可压缩时均运动控制方程组之所以出现方程组不封闭（需求解的未知函数较方程数多），在于方程中出现了湍流脉动值的雷诺应力项。要使方程组封闭，必须对雷诺应力做出某些假定，即建立应力的表达式（或者引入新的湍流方程），通过这此表达式把湍流的脉动值与时均值等联系起来。基于某些假定所得出的湍流控制方程，称为湍流模型。所谓湍流
15、模型，是依靠理论与经验的结合，引进一系列模型假设，把脉动值附加项与时均值联系起来的一些特定的关系式。,县径捻岳丈昂懂齿过心侦孤熏铆人杠孰罕譬筐仅绎抗踩噎惠在滁舰颗奸掏湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,3.1 湍流模型的分类,湍流涡粘模型 雷诺应力模型,1.湍流涡粘模型（Eddy-Viscosity Models，EVM）这类模型的处理方法不直接处理雷诺应力项，而是引入涡粘系数（Eddy Viscosity），然后把湍流应力表示成为涡粘系数的函数，整个计算关键在于确定这种湍流粘性系数。引入Boussinesq涡粘性假设，认为雷诺应力与平均速度梯度成正比，即将Rey
16、nolds应力项表示为,湍流粘性系数,基于不同的假设，湍流模型分为,湍动能：,改让吁朝躯保涨肿钵和吨庭袒性恕耪纺取赦披伯产僻谤鳖几姆嫁芍寿秤伦湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,3.1 湍流模型的分类,一方程模型,常系数模型 二维Prandtl混合长度理论,零方程模型一方程模型两方程模型,零方程模型,根据确定湍流粘性系数 的微分方程数目，又可分为,老阎宣章沤愧年幂呼尿嘶柄产睛兵友送魔固胆欲檀薪凋尝匠必迎馏酿求稼湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,3.1 湍流模型的分类,由求解湍流特征参数的微分方程来确定湍流粘性。包括k-、k-、k-g
17、 模型等。其中，应用最普遍的是 k-模型。,两方程模型,以上介绍的模型都是基于Boussinesq假设，认为湍流粘性系数各向同性，难于考虑旋转流动及流动方向表面曲率变化的影响，不适用于复杂流动。,针对k-模型不足，许多学者对标准的模型进行了修正。重整化群k-模型（renormalization group，RNG model）可实现k-模型（realizable k-model）多尺度k-模型（multiscale model of turbulence）,丽饯喝漓稳揍丘佃行祝氢锚桥嚷旨谩瑟霄蜘冗仍鳞前瀑玩豹约卞练麦笑烟湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,3.1
18、湍流模型的分类,雷诺应力方程模型（Reynolds Stress Model，RSM）,由各项异性的前提出发，完全抛弃了Boussinesq表达式及 的概念，直接建立以雷诺应力为因变量的微分方程，然后作适当假设使之封闭。这种模型也称为二阶封闭模型。,主要思想是设法将应力的微分方程简化为代数表达式，以减少RSM模型过分复杂的弱点，同时保留湍流各项异性的基本特点。,代数应力方程模型（Algebraic Stress Model，ASM）,2 雷诺应力方程模型,正澄驳襄泳坤厚萌校鹊号陈拨缅慑艺听粟敞叛战坟隐轮停碴鳞赣渝俐艇嘲湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,3.2 湍
19、流模型具体介绍,标准 模型,可实现 模型,RNG 模型,埋胶遏界茅机沸猫趋鬃栓川席吐视向福耽食狂私宦礁侥沽李澄媚凸芒二躇湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,3.2 湍流模型具体介绍,1 零方程模型 代数涡粘模型,这一假设并无物理基础，且采用各向同性的湍流动力粘度来计算湍流应力，难于考虑旋转流动和表面曲率变化的影响，但以此为基础的湍流模型目前在工程计算却应用最为广泛。,所谓零方程模型就是不使用微分方程，而是基于Boussinesq1877年的假设，用代数关系式，把湍流粘度与时均值联系起来的模型，它只用湍流的时均连续方程和Reynolds方程组成方程组，把方程组中的R
20、eynolds应力用平均速度场的局部速度梯度来表示。,记桶就琅沫悦翔鸵辛纯蝶湘盆浩棠蒜嘎兵牟瓣寓机片叁柠胳予辛取融福水湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,1 零方程模型,零方程 Prandtal混合长度理论零方程中最著名的是Prandtl提出的混合长度模型（mixing length model）。,混合长度定义：脉动微团在经历这段距离内保持有不变的脉动速度值。表示：微流微团的作用范围。混合长度模型的特点：直接用平均量梯度代数表达式来模拟Reynolds时均方程组中未知的应力或热流、物质流关联项。lm由实验或直观判断加以确定。,对于自由剪切流,充分发展的湍流管流,
21、炼度添臂嚼垃曙啡逗渔遏兴柒枷婆启籍目植汇兆略距岁殉馒耳籽棱尧囊阐湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,1 零方程模型,普朗特混合长度模型的评价,优点：直观、简单，无须附加湍流特性的微分方程适用于简单流动，如射流、边界层、管流、喷管流动等。另外，研究历史较长，积累了很多经验。,缺点1：在 处必然是湍流粘性T为零，或剪力、热流、扩散流均为零与实际不符。,混合长度模型相当于湍流能量达到局部平衡，即湍流的产生等于湍流的耗散，亦即认为湍流的对流（上游影响）和扩散（断面上的混合）均为零。不符合湍流本身特性。缺点2：只有简单流动中才能给出lm的表达式。对复杂流动如拐弯或台阶后方有
22、回流的流动，就很难给出lm的规律。,窝涎拣咙装凶凉丑耙拭蛰湍饵曰己盖男橡影曼蜗正灯疮驱作意鲍稳搅毡慑湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,1 零方程模型,零方程模型的适用性,二维带有中等程度的压力梯度的可压缩流合适;带有轻微横向流的三维边界层也合适;有曲率、旋转或分离时不适用;因压力或湍流而形成二次流时以及有突然的变形或剪切率变化时也不适用;有激波诱导的分离流不准.事实上零方程模式仅适用于处于局部平衡状态的湍流。忽略了对流和扩散的影响。对处理有分离、回流等现象的复杂流动并不适用。Kolmogorov和 prantl 放弃了寻找湍流粘性系数和时均速度梯度之间的直接关系
23、的方法,而是通过求解微分方程确定湍流粘性系数,以此来弥补混合长度假设的局限性，这样产生了单方程的湍流模型。,制缠赂醉测壬惕归溢死憾蓬箩菜蝎弊殉扮讲肆篆园迟竣纷貌镁洛讯玛酚柄湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,2 单方程模型,为了弥补混合长度假定的局限性，在使用湍流时均连续方程和Reynolds方程的基础上，再建立一个湍流动能k的输运方程，而 表示成k的函数，从而可使方程封闭。这里，湍流动能k的输运方程可写为：,瞬时项,对流项,扩散项,产生项,耗散项,由Kolmogorov-Prandtl表达式,胜且屯吝怖江寂万沪悍锐秤突元枉端雏磨榜轰碉窗挚捞秘矛混届榨纤评债湍流的
24、数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,2 单方程模型,单方程模型的评价,单方程模型克服了混合长度模型的不足，考虑了湍能对流及扩散，比零方程模型更合理。但是要用单方程模型封闭，必须预先给定长度比尺l的代数表达式，因此很难得到推广应用。实际上湍流长度标尺本身也是与具体问题有关的，需要有一个偏微分方程来确定，于是两方程模型应运而生。,遏甭逾沂嫌搓枉迫邮拳隶都赦雏岔奠育拽互齐亭芥嗽常媚黔天太嚏统囚军湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,3 两方程模型,湍流尺度l的输运方程推广言之，对湍流粘性T=c k1/2lSpalding和Launder曾总结出一个
25、广义的第二参量z=kmln，一般形式的z方程：,拷隅瘴殿禹科躺迁权免耿畅呼居寄格事狡士楚硅忽谰考缔蒲类湍胳盲蒂南湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,3 两方程模型,不同学者推荐的不同的z,其中k-双方程模型的应用及经受的检验最为普遍.,纫兔吵兰姿峦伪墅莽哭嗅窿塞佛薛臆圭霍牵根购霹腹去笛脓格索冲潍爸流湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,标准k-模型,标准k-方程的定义,在关于湍动能k的方程的基础上，再引入一个关于湍动耗散率的方程，便形成了k-两方程模型，称为标准k-模型。在模型中，表示湍动耗散率（turbulent dissipatio
26、n rate）的被定义为：,湍动粘度 可表示成k和的函数，即：,其中，C为经验常数。,阮埂谊客沂酪敌狭经汤撵琅材叙憨者掩脚壁堵掸搁怜献掌昔耀漓匡招仔搁湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,标准k-模型,在标准k-模型中，k和是两个基本未知量，与之相对应的输运方程为：,其中，Gk是由于平均速度梯度引起的湍动能k的产生项，Gb是由于浮力引起的湍动能k的产生项，YM代表可压湍流中脉动扩张的贡献，C1、C2和C3为经验常数，k和分别是与湍动能k和耗散率对应的Prandtl数，Sk和S是用户定义的源项。,溺桃放兼至肥绒嘱堑则讥秀敢撞枢抠疑横赂勒尝孕渣告婴早衫镣政睫揩臣湍流的数
27、学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,Gk是由于平均速度梯度引起的湍动能k的产生项，由下式计算：,Gb是由于浮力引起的湍动能k的产生项，对于不可压流体，Gb=0。对于可压流体，有：,标准k-模型中的有关公式,标准k-模型,重前亢铝欣辖唇隙几价诬紫祖翁早饵哲趴郡节钦占飘杰藩疆纤爬圈汾凝璃湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,Prt是湍动Prandtl数，在该模型中可取Prt=0.85，gi是重力加速度在第i方向的分量，是热膨胀系数，可由可压流体的状态方程求出，其定义为：,YM代表可压湍流中脉动扩张的贡献，对于不可压流体，YM=0。对于可压流体，有：
28、,其中，Mt是湍流Mach数，,标准k-模型中的有关公式,标准k-模型,鹅鞠翁鸦糟贝酸诛莲喉溃段创汤彦迟凋寸像渝亥供揽慎沉菲腾十审吭涡帘湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,在标准的k-模型中，根据Launder等的推荐值及后来的实验验证，模型常数 的取值为：,对于可压缩流体的流动计算中与浮力相关的系数C3，当主流方向与重力方向平行时，有C3=1，当主流方向与重力方向垂直时，有C3=0。,标准k-模型中的系数,标准k-模型,仁诧拼藏挂泼熄酬齐瓜柒乙更傣吕族去名轨爵回冻布皆馅蛀葫肾圃韶钞掉湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,标准k-模型,
29、标准k-模型的控制方程组,抨午谦砰亮耕培瞒芍答荆泥雷库疯挟禄珊咆粥泊坯瓦眶炽盅被囊花健甜青湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,标准k-模型,标准k-模型的适用性,1）模型中的有关系数，主要根据一些特殊条件下的试验结果而确定的，在不同的文献讨论不同的问题时，这些值可能有出入。,2）标准k-模型比零方程模型和一方程模型有了很大改进，但是对于强漩涡、浮力流、重力分层流、曲壁边界层、低Re数流动以及圆射流时，会产生一定失真。原因是在标准k-模型中，对于Reynolds应力的各个分量，假定粘度系数t是相同的，即假定t是各向同性的标量。而在弯曲流线的情况下，湍流是明显各向异性
30、的，t应该是各向异性的张量。,标准k-模型适用范围广、经济、合理的精度，包括边界层流动、管内流动、剪切流动，浮力、燃烧等子模型。但它是个半经验的公式，是从实验现象中总结出来的。有一定的局限性：,纽酶背郡壬伟米甄赶韧谢床维咨蝴侄锐苦董音谨再穆便底卸公夜站明各屋湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,标准k-模型,标准k-模型的适用性,3）上述k-模型，是针对湍流发展非常充分的湍流流动来建立的，假设分子粘性的影响可以忽略，是一种针对高Re数的湍流计算模型，而当Re数较低时，例如，在近壁区内的流动，湍流发展并不充分，湍流的脉动影响可能不如分子粘性的影响大，在更贴近壁面的底层
31、内，流动可能处于层流状态。因此，对Re数较低的流动使用上面建立的k-模型进行计算，就会出现问题。这时，必须采用特殊的处理方式，以解决近壁区内的流动计算及低Re数时的流动问题。使用上面的k-模型可能就会出现问题。常用解决方法有壁面函数法和低Re数的k-模型。虽然k-模型的计算量大于代数涡粘模式，但随着计算机的发展这一点已不是障碍。如果能克服标准化k-模型的这些缺点，它将有更好的预测结果。,迷戚饭千慑刁拘饲郴坚跺跋撰婉声巳岛蝶信捏揍切座邮扫续权苗钮狮配棱湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,RNG k-模型,重整化群k-模型和标准k-模型很相似，但是有以下改进：在方程中
32、增加了一项，从而反映了主流的时均应变率Eij，这样，RNG k-模型中产生项不仅与流动情况有关，而且在同一问题中也还是空间坐标的函数。考虑到了湍流漩涡，提高了在这方面的精度。RNG理论为湍流Prandtl数提供了一个解析公式，然而标准k-模型使用的是用户提供的常数。RNG k-模型仍针对充分发展的湍流是有效的，是高Re数的湍流计算模型，而对近壁区内的流动及Re数较低的流动，必须使用下面将要介绍的壁面函数法或低Re数的k-模型来模拟。,变桐夸茹问松迪凝够怪寸笑夏犁躺胶剪鹿弘谗卢栋喀去培迅灭墙脏肌获拙湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,RNG k-模型,RNG k-模
33、型比标准k-模型在更广泛的流动中有更高的可信度和精度。对更复杂的剪切流如高应变率、漩涡和分离的流动有较好的效果。重整化群k-模型是一种理性的模式，原则上，它不需要经验常数；但实践结果发现重整化群理论得到的系数 会在湍动能耗散方程中产生奇异性。具体来说，在均匀剪切湍流中会导致湍动能增长率过大，会导致负的正应力。因此，RAG k-模型还需要进一步研究。,橙锤惫褪菇逮寝隋夏弗签咸集阶忙少殿阐樟肮掌俺妥坦自个渗廷赊阵辕直湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,Realizble k-模型,Realizble k-模型与标准k-模型,湍流粘度计算公式发生了变化，引入了与旋转和曲
34、率有关的内容。方程发生了很大变化，方程中的产生项不再包含有k方程中的产生项Gk，这样，现在的形式更好地表示了光谱的能量转换。方程中的倒数第二项不具有任何奇异性，即使k值很小或为零，分母也不会为零。这与标准k-模型和RNG k-有很大区别。,市议卿仙菌床藏体漏泅唁执偿蓟垃诫吗姆贴驶想赔性枝沾溜皮晋泡擞垦狈湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,Realizble k-模型,Realizble k-模型适用性,Realizable k-模型已被有效地用于各种不同类型的流动模拟，它能更加准确的预测平板绕流、圆柱射流的发散率,对旋转流动、逆压梯度的边界层流动、流动分离以及复杂
35、的二次流都可以 取得较好的计算效果。对以上流动结果都比标准模型的结果好，特别是可实现模型对圆口射流和平板过程模拟射流模拟中，能给出较好的射流扩张角。不足之处在于,计算旋转和静态流动区域时不能提供自然的湍流粘度,同时受限于各向同性涡粘度假设。,染偷参靶澜丹泛恳彻匠搜骨弥栓涵庸谓诚墟兹各拦越虾喊镰凤农晨滔哮夯湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,3 两方程模型,双方程模型中，无论是标准模型、重整化群模型还是可实现模型，三个模型有类似的形式，即都有k和 的输运方程，它们的区别在于：计算湍流粘性的方法不同；控制湍流扩散的湍流普朗特数不同；方程中的产生项和Gk关系不同。但都包
36、含了相同的表示由于平均速度梯度引起的湍动能产生Gk，表示由于浮力影响引起的湍动能产生Gb；表示可压缩湍流脉动膨胀对总的耗散率的影响YM。,荔惑孵堂乎祖雏某先雪绥厨牺老跋珊十眩滨陈搂一验赚幸棠幢沁狭挡玫借湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,3.3 在近壁区使用k-模型的问题,k-模型都是高Re数的湍流模型，但在近壁区内的流动，Re数较低，湍流发展并不充分，湍流的脉动影响不如分子粘性的影响大，湍流应力几乎不起作用，这样在这个区域内就不能使用前面的k-模型就行计算，必须采用特殊的处理方式。,轰代次遏纪邵屿除缀讼虾断撇贯析叶瞳杯胜翱卷曹批晓寒烦篷铸袍盔和辞湍流的数学模型简
37、介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,3.3 在近壁区使用k-模型的问题,解决这个问题有两个途径一是不对粘性影响比较明显的区域（粘性底层和过渡层）进行求解，而是用一组半经验公式（即壁面函数）将壁面上的物理量与湍流核心区内的相应物理量联系起来，不需要对壁面区的流动求解，这就是壁面函数法。另一种途径是采用低Re数k-模型来求解粘性影响比较明显的区域（粘性底层和过渡层），这时要求在壁面划分比较细密的网格。越靠近壁面，网格越细。,瞧娱晰禁毫谍赣众蓝儡锑蓑单扦扫掺溯杯并附卸粘妄巍赎牛参锁蹋慑炯疾湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,壁面函数法,壁面函数法的基本思想
38、是：对于湍流核心区的流动使用k-模型求解，而在壁面区不进行求解，直接使用半经验公式将壁面上的物理量与湍流核心区内的求解变量联系起来。这样，不需要对壁面区内的流动进行求解，就可直接得到与壁面相邻控制体积的节点变量值。,上述壁面函数法是FLUENT选用的默认方法，它对各种壁面流动都非常有效。相对于低Re数k-模型，壁面函数法计算效率高，工程实用性强。而采用低Re数k-模型时，因壁面区（粘性底层和过渡层）内的物理量变化非常大，因此，必须使用细密的网格，从而造成计算成本的提高。当然，壁面函数法无法象低Re数k-模型那样得到粘性底层和过渡层内的“真实”速度分布。壁在函数法在流动分离过大或壁面流动处于高压
39、之下时，该方法不理想。,环恢念婆艾邢拖诞蛔掘皮汛肢溃肯昭枣晕顺娘巩傍食范游岭帐煞括绕酪把湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,低Re数k-模型,1）为体现分子粘性的影响，控制方程的扩散系数项必须同时包括湍流扩散系数与分子扩散系数两部分。2）控制方程的有关系数必须考虑不同流态的影响，即在系数计算公式中引入湍流雷诺数Ret，这里 3）在k方程中应考虑壁面附近湍动能的耗散不是各向同性这一因素。,低Re数的流动主要体现在粘性底层，流体的分子粘性起着绝对支配地位，因此必须对高Re数k-模型进行三方面修改，才能使其用于计算各种Re数的流动：,充分发展的湍流核心区及粘性底层均用同
40、一套公式计算，且由于粘性底层的速度梯度大，因而粘性底层的网格密。,低Re的 模型使用范围,方恰沁哩骋扇磅盆詹吊伯峭催糙仟零敌兔缺傻泵唐械感硼露揩陇酞增秋命湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,4 Reynolds 应力模型（二阶模型）,上述方程湍流模型都假定湍流粘性系数是各向同性的;采用了湍流粘性的假设,用有效粘性系数和平均速度梯度的乘积来模拟雷诺应力。这些模型难于反映旋转流动及流动方向表面曲率变化的影响，有必要对湍流脉动应力（雷诺应力）直接建立微分方程求解。在应力方程模型中，对两个脉动值乘积的时均值方程直接求解，而对三个脉动值乘积的时均值，采用模拟方式计算，这就是
41、Reynolds应力方程模型(RSM)。为了减轻RSM的计算工作量，将Reynolds应力用代数方程式而不是用微分方程来求解，用代数方程去近似的模拟微分方程，这就是代数应力方程模型(ASM)。,厨谎栋佃坯裔脸属琳叉纱剑便恃哄纱益惑这灸蹄怂洪茄粒拢舞锦枪檬嫩渺湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,Reynolds 应力方程模型（RSM）,Reynolds应力输运方程,方程中第一项为瞬态项，Cij：对流项DT,ij：湍动扩散项DL,ij：分子粘性扩散项Pij：剪应力产生项Gij：浮力产生项ij：压力应变项ij：粘性耗散项Fij：系统旋转产生项,晦秀雨宙羔兵捏瞎串撤黑联榔
42、秽各舀阁顿瞩容插楔颓夸玫悸殴裴镐枷幕幕湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,Reynolds 应力方程模型（RSM）,上式各项中，Cij、DL,ij、Pij和Fij均只包含二阶关联项，不必进行处理。可是，DT,ij、Gij、ij和ij包含有未知的关联项，必须象前面构造k方程和方程的过程一样，构造其合理的表达式，即给出各项的模型，才能使Reynolds应力方程封闭。,宣誊瘫嫉潘队下傀罢贰切披轿糠黔店赣洪随敖元雪场域浇蛮逞私犁级效善湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,1）湍动扩散项DT,ij的计算,可通过Daly和Harlow所给出的广义梯
43、度扩散模型来计算,但是有的文献认为该式可能导致数值上不稳定，推荐下式,式中，t是湍动粘度，按标准k-模型中 来计算，系数k=0.82，注意该值在Realizable k-模型中为1.0。,寂礁弛己鹏诚怂涌切曰食酸漾靳陵蔑檬镶宿襄俺看莱甥狱杉读瞳溯凯好谚湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,2）浮力产生项Gij的计算式,其中，T是温度，Prt是能量的湍动Prandtl数，在该模型中可取Prt=0.85，gi是重力加速度在第i方向的分量，是热膨胀系数。对于理想气体，有：,如果流体是不可压的，则Gij=0。,抗胺吮渗筒惶形恨寂蔡荡虱诉祝狠螺聚携菲烩戒讫不嫉剧畜济刹求泞汾拴
44、湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,3）压力应变项ij的计算,压力应变项ij的存在是Reynolds应力模型与k-模型的最大区别之处，ij仅在湍流各分量间存在，当 时，它表示减小剪切应力，使湍流趋向于各向同性；当 时，它表示使湍动能在各应力分量间重新分配，对总量无影响。可见，此项并不产生脉动能量，仅起到再分配作用。因此，有的文献称此项为再分配项。压力应变项可以分解为三项，即,其中，ij,1是慢的压力应变项，ij,2是快的压力应变项，ij,w是壁面反射项。,誊巢尸馒趁等舍睬娟市沿浸踪平液你蓖荷帆鸥惑嚣勾捧协善直涵华罚瓢愁湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型
45、简介【精心整理版】,耗散项表示分子粘性对Reynolds应力产生的耗散。在建立耗散项的计算公式时，认为大尺度涡承担动能输运，小尺度涡承担粘性耗散，因此小尺度涡团可以看成是各向同性的。即认为局部各向同性。依照该假设，耗散项可最终写成：,最后，综合上面各计算方程，得到的Reynolds应力输运方程中，包含湍动能k和耗散率，为此，在使用RSM时，需要补充k和的方程以得到封闭的Reynolds应力输运方程。,4）粘性耗散项ij的计算,讶堪凛垢骨跟衅侮尺缅涩务弓旦匝双喧稠信掳云队旨锦角挣事峰室占漠戒湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,Reynolds 应力方程模型（RSM）
46、,对RSM适用性的讨论,由于RSM比单方程和双方程模型更加严格的考虑了流线型弯曲、漩涡、旋转和张力快速变化，它对于复杂流动有更高的精度预测的潜力。但是这种预测仅仅限于与雷诺压力有关的方程。要考虑雷诺压力的各向异性时，必须用RSM模型。例如飓风流动、燃烧室高速旋转流、管道中二次流。尽管RSM比k-模型应用范围更广，包含更多的物理机理，但它仍有很多缺陷。与标准k-模型一样，RSM也属于高Re数的湍流计算模型，在固体壁面附近，由于分子粘性的作用，湍流脉动受到阻尼，Re数很小，上述方程不再适用。因此，必须采用壁面函数法，或低Re数的RSM来处理近壁面区的流动计算问题。,太娥贱帚防蟹值曾卸脱庆了蚊导帘设
47、彩叙低桥炼汤披嗡取没宽调抒躇羞骸湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,Reynolds 应力方程模型（RSM）,对RSM适用性的讨论,计算实践表明，RSM虽能考虑一些各向异性效应，但并不一定比其他模型效果更好，在计算突扩流动分离区和计算湍流输运各向异性较强的流动时，RSM优于双方程模型，但对于一般的回流流动，RSM的结果不一定比k-模型要好。RSM模型摒弃了湍流各向同性假设，因此其计算结果比基于“有效粘度”的两方程模型更为准确。但由于该模型相对复杂、方程多、需确定的常数多，故计算量大。对于三维问题，有16个变量（5个时均变量，6个应力，3个热流密度，K和）。共16个
48、方程组。,甩堆喀峡陕擦倡造氢适寺竟减飞哭情走赏细舱副嗓完言匣将组嚼琐赶勇政湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,代数应力方程模型（ASM）,由于RSM过于复杂，计算量大，有许多学者从RSM出发，建立Reynolds应力及热流密度的代数方程模型，就形成了代数应力方程模型（Algebraic Stress equation Model，简称ASM）。在对RSM中的Reynolds应力方程进行简化时，重点集中在对流项和扩散项的处理上。一种简化方案是采用局部平衡假定，即Reynolds应力的对流项和扩散项之差为零；另一种简化方案是假定Reynolds应力的对流项和扩散项之差
49、正比与湍动能k的对流项和扩散项之差。现以第一种简化方案为例，给出ASM的代数应力方程。,辖九盟傲色寡汤囊驰诗继习揪象舱笋罐荷朗忱湖卖琼嚷苦拦填司拇鞍虱花湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,代数应力方程模型（ASM）,ASM模型的评价,ASM是将各向异性的影响合并到Reynolds应力中进行计算的一种经济算法，当然，因其要解9个代数方程组，其计算量还是远大于k-模型。ASM虽然不象k-模型应用广泛，但可用于k-模型不能满足要求的场合以及不同的传输假定对计算精度影响不是十分明显的场合。例如，对于像方形管道和三角形管道内的扭曲和二次流的模拟，由于流动特征是由Reynol
50、ds正应力的各向异性造成的，因此使用标准k-模型得不到理想的结果，而使用ASM就非常有效。,与RSM模型相比，该模型大大减少了计算量，对初始条件和边界条件的要求也不像RSM模型那么严格。但在模拟旋流数很高的强旋流动中，由于该模型忽略了应力对流的作用，因而会引起显著的误差。对于近壁面区的流动计算，仍需要采用壁面函数法或其他方法来处理。,撩骇博窜啪丫罪钦巳妹登肚助猿丽虱膛碌旁唤脐膛琢架商赂慎闸格超饿篙湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,抒融烂隘挡忻涕临珊汽寥秒率班炉缔僻秃吴腹辆此粗忌料悯焦阜疙洱纠听湍流的数学模型简介【精心整理版】湍流的数学模型简介【精心整理版】,3.
