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1、,2.二次函数的平移由于抛物线的开口方向与开口大小均由二次项系数a确定,所以两个二次函数如果a相等,那么其中一个图象可以由另一个图象平移得到.,3.抛物线y=ax2+bx+c与系数a,b,c的关系,4.二次函数与一元二次方程的关系,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,二次函数的概念变量y是x的二次函数的关键:化简后的关于自变量的代数式是整式,且x的最高指数为2,二次项的系数不能为0.例1若 是二次函数,则m的值是()A.2B.0C.-2D.2或-2答案C解析根据题意有m2-2=2,且2-m0,故解得m=-2.误区警示二次函数中二次项系数不为0这个条件是不能忽略的.,考法1,考法2,
2、考法3,考法4,考法5,考法6,二次函数的图象1.理解二次函数的图象的关键是要抓住抛物线的开口方向、对称轴的位置、顶点所在的象限、与y轴的交点坐标.2.根据抛物线在平面直角坐标系中的位置可确定a,b,c的符号,抛物线与x轴的交点个数决定b2-4ac的符号,在判断a+b+c,a-b+c等式子的值时,要分别抓住图象上的点(1,y),(-1,y)所在的位置.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,例2(2017贵州安顺)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图,给出下列四个结论:4ac-b20;3b+2c0;4a+c2b;m(am+b)+ba(m1),其中正确结论的个数是()A.1B
3、.2C.3D.4答案:C,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,解析:图象与x轴有两个交点,方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根,b2-4ac0,4ac-b20,正确;,当x=-2或x=0时,y值相等,y0,4a-2b+c0,4a+c2b,错误;由图象可知当x=-1时该二次函数取得最大值,a-b+cam2+bm+c(m-1).m(am+b)+b0,可判断;根,3b+2c0,可判断;当x=-1时该二次函数取得最大值,据此可判断.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,二次函数的性质1.结合开口方向、对称轴可理解二次函数的增减性;结合开口方向和顶点的纵坐标可理解二次函数
4、的最值.2.已知点A(a,b)和B(c,b)是抛物线上两点,由于它们的纵坐标相同,所以,这条抛物线的对称轴是x=.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,例3(2017甘肃天水)如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a0)的图象的一部分,抛物线的顶点坐标是A(1,3),与x轴的一个交点是B(4,0),直线y2=mx+n(m0)与抛物线交于A,B两点,下列结论:abc0;方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根;抛物线与x轴的另一个交点是(-1,0);当1y1;x(ax+b)a+b,其中正确的结论是.(只填写序号),考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,答案:解析:由图象可知
5、:a0,c0,故abc0,故错误;观察图象可知,抛物线与直线y=3只有一个交点,故方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根,故正确;根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点是(-2,0),故错误;观察图象可知,当1x4时,有y2y1,故错误;因为当x=1时,y1有最大值,所以ax2+bx+ca+b+c,即x(ax+b)a+b,故正确.所以正确,故答案为.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,确定二次函数的表达式1.用待定系数法确定二次函数表达式的关键是设出适合题意的表达式,这样也能优化解题过程.如果知道某抛物线的对称轴或最低(高)点,那么可设顶点式.2.确定抛物线y=ax2+bx+
6、c(a0)平移后的表达式的关键是抓住a的值不改变以及变化后的顶点的坐标.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,例4如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+ax+b交x轴于A(1,0),B(3,0)两点,点P是抛物线上在第一象限内的一点,直线BP与y轴相交于点C.(1)求抛物线y=-x2+ax+b的解析式;(2)当点P是线段BC的中点时,求点P的坐标.分析:(1)将点A,B代入抛物线y=-x2+ax+b,解得a,b可得解析式;(2)由C点横坐标为0可得P点横坐标,将P点横坐标代入(1)中抛物线解析式,易得P点坐标.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,解得a=4,b=
7、-3,抛物线的解析式为y=-x2+4x-3.(2)点C在y轴上,点C横坐标x=0,点P是线段BC的中点,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,二次函数、方程、不等式的联系1.从图象上看,一元二次方程ax2+bx+c=0的根可以看作抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标,也可以看作抛物线y=ax2+bx与直线y=-c的交点的横坐标.2.从图象上看,不等式ax2+bx+c0(或0)的解集可以看作x轴上方(或下方)的抛物线对应的自变量的取值范围.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,例5(2018山东德州)如图,函数y=ax2-2x+1和y=ax-a(a是常数,且a0)在
8、同一平面直角坐标系的图象可能是()分析:可先根据一次函数的图象判断a的符号,再判断二次函数图象与实际是否相符,判断正误即可.答案:B,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,二次函数的应用用二次函数解决实际问题中的最优化问题,如经济问题中的最大利润、运输中的最低费用、几何问题中的最大面积等,其实质就是利用函数的图象和性质求函数的最大值或最小值,其关键是将实际问题“数学化”,即吃透题意,确定变量,建立函数模型.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,例6某景区商店销售一种纪念品,每件的进货价为40元.经市场调研,当该纪念品每件的销售价为50元时,每天可销售200件;当每件的销售
9、价每增加1元时,每天的销售数量将减少10件.(1)当每件的销售价为52元时,该纪念品每天的销售数量为件;(2)当每件的销售价x为多少时,销售该纪念品每天获得的利润y最大?并求出最大利润.分析:(1)根据“当每件的销售价每增加1元时,每天的销售数量将减少10件”,即可解答;(2)根据等量关系“利润=(售价-进价)销量”列出函数关系式,根据二次函数的性质,即可解答.,考法1,考法2,考法3,考法4,考法5,考法6,解:(1)由题意得:200-10(52-50)=200-20=180(件),故答案为180.(2)由题意得:y=(x-40)200-10(x-50)=-10 x2+1 100 x-28
10、000=-10(x-55)2+2 250,当x=55时,ymax=2 250,故每件销售价为55元时,获得最大利润;最大利润为2 250元.方法点拨本题考查了二次函数的应用,根据实际意义列出二次函数解析式,利用顶点坐标求最值.,1.(2017甘肃兰州)抛物线y=3x2-3向右平移3个单位长度,得到新抛物线的表达式为(A)A.y=3(x-3)2-3B.y=3x2C.y=3(x+3)2-3D.y=3x2-6,解析:由题知,y=3x2-3为顶点式,直接根据二次函数图象左加右减,上加下减平移规律进行解答即可.故选A.,2.(2016甘肃兰州)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴是直线x=
11、-1,有以下结论:abc0;4ac2.其中正确的结论的个数是(C)A.1B.2C.3D.4,解析:a0,故正确;抛物线与x轴有两个交点,故正确;对称轴x=-1化简得2a-b=0故错误;当x=-1时所对的y值2,故正确.,3.(2018甘肃武威)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)图象的一部分,与x轴的交点A在点(2,0)和(3,0)之间,对称轴是x=1.对于下列说法:ab0;a+bm(am+b)(m为实数);当-10,其中正确的是(A)A.B.C.D.,解析:抛物线的开口向下,a0,b=-2a,即2a+b=0,故正确;由图象知当x=3时,y=9a+3b+c0,把b=-2
12、a代入得,3a+c0,故错误;当x=1时,y取最大值,则a+b+cam2+bm+c,则m(am+b)a+b,故正确;由图象可知,当-1x3时,函数图象有些部分位于x轴下方,故错误.故选A.,4.(2016甘肃兰州)二次函数y=x2+4x-3的最小值是-7.,解析:本题考查二次函数最值问题,可将其化为顶点式y=(x+2)2-7.,5.(2016甘肃天水)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且OA=OC,则下列结论:abc0;,解析:观察题图,发现:开口向下a0;对称轴在y轴右侧,OA=OC,xA=-c.将点A(-c,0)代入y=ax2+bx+c中
13、,得ac2-bc+c=0,即ac-b+1=0,正确;,综上可知正确.故答案为.,6.(2017甘肃白银)如图,已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点B(-2,0),点C(8,0),与y轴交于点A.(1)求二次函数y=ax2+bx+4的表达式;(2)连接AC,AB,若点N在线段BC上运动(不与点B,C重合),过点N作NMAC,交AB于点M,当AMN面积最大时,求点N的坐标;(3)连接OM,在(2)的结论下,求OM与AC的数量关系.,解:(1)将点B,点C的坐标分别代入y=ax2+bx+4,(2)设点N的坐标为(n,0)(-2n8),则BN=n+2,CN=8-n.B(-2,0),C(8,0),BC=10.令x=0,解得y=4,点A(0,4),OA=4,当n=3时,即N(3,0)时,AMN的面积最大.(3)当N(3,0)时,N为BC边中点.M为AB边中点,
