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1、高数知识点总结(2)高等数学知识点总结 北雁双飞 QQ:760722085 E_mail:heblyd 高数知识点总结(下册) 北雁友情提供 向量代数与空间解析几何 空间直角坐标系 卦限:三个坐标面把空间分成八部分，每一部分即为一个卦限(上下同为逆时针)。 222 空间两点间的距离:d,(x,x)，(y,y)，(z,z) 212121向量代数 向量概念(略)。 向量的表示法 几何表示法(有向线段) 向量相等:模相等、彼此平行且指向相同 逆向量:与向量a大小相等而方向相反的向量称为a的逆向量 单位向量:模为1 ,零向量:模为0，记为，零向量方向不定，也可以说任意 0向量的加、减法与数的乘法 向量
2、加法规则 ,平行四边形法则:两向量、的和是以、为邻边的平行四边形OACB的对角线，即向量，OAOBOAOBOC,记为=+ (如右图) OCOAOB三角形法则:(见图如右侧) 向量加法运算规律 (1)a+b=b+a (2)(a+b)+c=a+(b+c) (3)a+0=a (4)a+(-a)=0 向量减法(即向量加法的逆运算) 数与向量的乘积:数量与向量a的乘积是一个向量，记为a ,a的模等于|a|与|的乘积，即|a|=|a| ,a的方向:当0时，与a同向;当0时，与a反向;=0时，它是零向量。 ,数量与向量的乘积规律 , (1)(a)=()a (2)(+)a=a+a(对数量分配率) ,(3)(a
3、+b)=a+b(对向量分配率) ,a 单位向量:把与a同向，模为1的向量叫做a的单位向量，记为 a,|a|aa 显然有= 或 a=|a| 向量在轴上的投影(见书) 向量的坐标表示 222|OM|,x，y，z 向量的模 梦想这东西和经典一样，永远不会因为时间而褪色，反而更显珍贵 Classical is something not fade,but grow more precious with time pass by,so is dream! 第 1 页 共 19 页 高等数学知识点总结 北雁双飞 QQ:760722085 E_mail:heblyd xxcos,222|OM|x，y，z 方
4、向余弦: yycos,222|OM|x，y，zcos,cos,|OM|cos, 其中把、叫做向量的方zzcos,222|OM|x，y，z 向余弦 222cos,cos,cos, +=1(任何向量的方向余弦的平方和恒等于1) ,cos,cos,cos,aa a的方向余弦，就是的坐标，即 =， lmn,cos,cos,cos, 方向数:与方向余弦成比例的一组实数l，m，n，即(向量的方向数不是唯一的) 向量的数量积 a,b 定义:两个非零向量a，b的数量积等于两个向量的模和它们间夹角余弦的乘积，记为，即a,b,|a|b|cos(a,b),(a,b),(0) |b|cos(a，b)就是向量b在向量a
5、的方向上的投影 零向量与任何向量的数量积为0 数量积运算规律 , (1)ab=ba (2)a(b+c) = ab+ac , (3)(ab)=(a) b=a(b) 2,|a| 推论:(1)aa= (2)a,b向量垂直 ab=0 ,结论:两个非零向量a与b互相垂直的充要条件是ab =0 数量积的坐标表达式 ,xx，yy，zz(1) ab= 121212xx，yy，zza,b121212(2)cos(a,b), 222222|a|b|x，y，z,x，y，z112221xx，yy，zz,0两向量互相垂直的充要条件是 121212两向量的向量积 ,定义:两向量a与b的向量积食一个向量c，记为c=ab |
6、c|,|a|b|sin(a,b)C的模 C的方向垂直于a和b，即c垂直于a与b决定的平面 向量积运算规律(见书17页) 梦想这东西和经典一样，永远不会因为时间而褪色，反而更显珍贵 Classical is something not fade,but grow more precious with time pass by,so is dream! 第 2 页 共 19 页 高等数学知识点总结 北雁双飞 QQ:760722085 E_mail:heblyd (1)ab=-ba 结论:两个非零向量a与b互相平行的充要条件是ab=0 推论:ii=0 jj=0 kk=0 向量积的坐标表示 a,b,(
7、yz,zy)i，(zx,xz)j，(xy,yx)k 121212121212xyz111,xyz222两向量平行条件坐标表达式 平面及其方程 曲面方程概念(见书21页) A(x,x)，B(y,y)，C(z,z),0000平面的点法式方程: M(x,y,z)0000(设为平面的任意一点，向量n=A,B,C为平面的一个法线向量) 平面的一般式方程:(其中A,B,C不同时为零) Ax，BY，Cz，D,0重要结论:平面方程中，如缺x,y,z中的某一项，平面就平行或通过(D=0)某个轴，如缺其中两项，则平面就平行或重合(D=0)与那两项所决定的坐标平面 xyz平面的截距式方程: ，,1abc两平面的夹角
8、及平面平行、垂直条件 n,A,B,Cn,A,B,C 两平面的夹角公式:两平面法线向量分别为, 11112222AA，BB，CC121212cos, 222222A，B，C,A，B，C111222AA，BB，CC,0 两平面垂直的充要条件: 121212ABC111, 两平面平行的充要条件: ABC222空间直线及其方程 M(x,y,z)0000 直线参量式方程:设有一点及一个已知向量s,li，mj，nk(l,m,n不 ,x,x,l,0,y,y,m全为零) ,0,z,z,n0,xxyyzz,000 直线的标准式方程:(条件同参量式方程) ,lmn，,0AxByCzD,111 直线的一般式方程:
9、(直线为两平面交线) ,Ax，By，Cz，D,0222,梦想这东西和经典一样，永远不会因为时间而褪色，反而更显珍贵 Classical is something not fade,but grow more precious with time pass by,so is dream! 第 3 页 共 19 页 高等数学知识点总结 北雁双飞 QQ:760722085 E_mail:heblyd 空间两直线的夹角及直线平行、垂直条件 ll，mm，nn121212cos, 两向量夹角余弦公式: 222222l，m，n,l，m，n111222两直线垂直的充要条件:ll，mm，nn,0 121212l
10、mn111 两直线平行的充要条件:, lmn222直线与平面的夹角及平行、垂直条件 xxyyzz,000 直线L标准式方程: ,lmn平面的方程为: Ax，By，Cz，D,0|Al，Bm，Cn|,sin, 直线与平面夹角的正弦为: 222222A，B，C,l，m，nABC 直线与平面垂直的充要条件: ,lmn直线与平面平行的充要条件: Al，Bm，Cn,0多元函数微分学 二元函数的定义见书59页(点函数的概念同上) 二元函数定义域见书61页(几何定义，极限) 二元函数的连续性 P(x,y)P(x,y) 定义:设函数z,f(x,y)在点的某一邻域内有定义，如果当点P(x,y)趋于点时，00000
11、0P(x,y)f(x,y)函数z,f(x,y)的极限等于f(x,y)在点处的函数值即，称limf(x,y),f(x,y)0000000x,x0y,y0P(x,y)函数f(x,y)在点处连续 000,z,f(x，,x,y，,y),f(x,y) 表示形式二: 全增量 0000P(x,y)lim,z,0 定义二:设函数z,f(x,y)在点的某一邻域内有定义，若，则称函数z,f(x,y)000,x,0,y,0P(x,y)在点处连续 000最大值与最小值定理 f(x,y)f(x,y) 若函数在有界闭域D上连续，则在D上一定取得最大值和最小值，即如下结论 (,)f(x,y),f(,)(x,y),D (1)
12、在D上至少存在一点，恒有 1111(,)f(x,y),f(,)(x,y),D (2)在D上至少存在一点，恒有 2222梦想这东西和经典一样，永远不会因为时间而褪色，反而更显珍贵 Classical is something not fade,but grow more precious with time pass by,so is dream! 第 4 页 共 19 页 高等数学知识点总结 北雁双飞 QQ:760722085 E_mail:heblyd 介值定理:若函数在有界闭域D上连续，则在D上必取得介于函数最大值M和最小值m之间的任何值 f(x,y)(,),D(m,u,M)f(,),u多
13、元初等函数在其定义域(是指包含在定义域内的区域)内是连续的 偏导函数概念(见书69页)(几何意义) 高阶偏导数 22,z,z 定理:如果函数在域D上二阶混合偏导数，连续，则在该区域上必有z,f(x,y),x,y,y,x22,z,z=。 ,x,y,y,x22,z,z,z,z,fxy,(,)() ,fxy,(,)()xy22,x,x,x,y,y,y全微分及其应用 全微分概念(见书79页) (x,y)(x,y) 定理:如果在点处可微，则它在点处连续 z,f(x,y)0000(x,y) 定理:如果函数在点处可微，则在该点处的两个偏导数存在，并且z,f(x,y)f(x,y)00A,f(x,y), B,f
14、(x,y)x00y00,z,zdz,dx，dy 全微分计算公式: 或 d,f(x,y)dx，f(x,y)dyzx00y00,x,yf(x,y)f(x,y)f(x,y)f(x,y) 定理:设在点的某邻域内偏导数、存在，且、连z,f(x,y)(x,y)yyxx续，则函数z,f(x,y)在点(x,y)处可微 推论:偏导数连续，函数一定可微: 函数可微，偏导数一定存在 函数可微，函数一定连续 复合函数的微分法 定理:设函数u,(x,y)v,(x,y)(x,y)z,f(u,v)，在点处有偏导数，而函数在对应点(u，v)处,z,z有连续偏导数，则复合函数z,f,(x,y),(x,y)在点(x,y)处有偏导
15、数和，且,y,x,z,z,u,z,z,z,u,z,v,v,，,，, (多元复合函数偏导数的基本公式) ,y,u,y,V,y,x,u,x,v,x梦想这东西和经典一样，永远不会因为时间而褪色，反而更显珍贵 Classical is something not fade,but grow more precious with time pass by,so is dream! 第 5 页 共 19 页 高等数学知识点总结 北雁双飞 QQ:760722085 E_mail:heblyd dudzdvdxdxdx z、u、v这三个函数都是x的一元函数，故对x的导数写成. 全微分形式不变性 ,z,z dz
16、 =du +dv (一阶全微分的形式不变性) ,u,v全微分的运算公式 vdu,udvu d(u?v)=du?dv d(u*v)=udv+vdu d()= (v?0) 2vv复合函数的高阶偏导数(见书95页) 隐函数微分方法 将y=f(x)带入F(x,y)=0，于是有恒等式Fx,f(x)=0，其左端可以看成x的复合函数，两端对x求导，Fxdydy得 Fx + Fy=0.如果Fy?0 则有=- Fydxdx(由方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)求导公式) 由方程F(x,y,z)=0所确定的隐函数z=f(x,y)的偏导数的公式 将z=f(x,y)带入方程F(x,y,z)=0 于是得 恒
17、等式Fx,y,f(x,y)=0 左端可以看做是x,y的复合函数，上式两端分别对x和y求偏导得 ,zFy,z,z,zFx,z,z, Fx + Fz=0 , Fy +Fz=0 若Fz?0,解出， 得 ， ,yFz,y,y,xFz,x,x多元函数微分方法在几何上的应用 空间曲线的切线与法平面(见书103页) x,xy,yz,z000, 曲线L在点M处的切线方程 0x(t)y(t)z(t)000 曲线L在点M的法平面方程x(t)(x-x)+y( t)(y-y)+z( t)(z-z)=0 0000000空间曲线的切平面与法线 曲面S在点M处的切平面方程: 0F(x,y,z)(x,x)，F(x,y,z)(
18、y,y)，F(x,y,z)(z,z),0x0000y0000z0000多元函数的极值 P(x,y)P(x,y) 设函数z=f(x,y)在点的某一邻域内有定义，若对于该邻域呢异于点的任何点P(x,y) 000000P(x,y)恒有f(x,y) f(x,y)则称点为函数f(x,y)的极大值点(或极小值点) 0000000定理:设函数z=(x,y)在点(x,y)处去得极值，且在该点的偏导数存在，则函数在该点的两个偏导数必00f(x,y),0f(x,y),0为零 即， (极值点的必要条件) y00x00梦想这东西和经典一样，永远不会因为时间而褪色，反而更显珍贵 Classical is somethi
19、ng not fade,but grow more precious with time pass by,so is dream! 第 6 页 共 19 页 高等数学知识点总结 北雁双飞 QQ:760722085 E_mail:heblyd f(x,y),0(x,y)f(x,y),0驻点:使，同时成立的点称为函数f(x,y)的驻点 y00x推论:在偏导数存在的条件下函数的极值点必是驻点(驻点不一定是极值点) (x,y)(x,y)定理:设函数z=f(x,y)在点的某一邻域内有连续的一阶与二阶偏导数，假定点是函数的0000f(x,y),0f(xy),0A,f(x,y)一个驻点即， 记 B,f(x,
20、y)C,f(x,y)y00x00xx00xy00yy00则有如下结论: 2(x,y)(x,y)f(x,y)(1) ,当A0是为极B,AC,0000000f(x,y)小值点，为极小值。 002f(x,y)(2),不是极值。 B,AC,0002f(x,y)(3), 可能是极值，也可能不是极值。 B,AC,000多元函数的最大、最小值问题(113页) 条件极值与拉格朗日乘数法 重积分 二重积分的定义(见书126页) nf(x,y)d,limf(,), 注意: ,iii,0i,1D二重积分是个极限值，因此是个数值，这个数值的大小仅与被积函数f(x,y)及积分区域D有关，而与积分变量的记号无关 二重积分
21、存在定理:如果函数f(x,y)在闭域D上连续，则函数f(x,y)在D上可积，即二重积分存在 二重积分的几何意义: ,f(x,y)d, 如果函数f(x,y)0，则二重积分在数值上等于以函数z=f(x,y)所确定的曲面为顶，以,D积分域D为底的曲顶柱体的体积。 二重积分的性质 性质一、函数和(或差)的二重积分等于多个函数的二重积分的和(或差)，即 f(x,y),g(x,y)d,f(x,y)d,g(x,y)d, ,DDD性质二、被积函数的常数因子，可以提到二重积分号的外面，即 kf(x,y)d,kf(x,y)d,(k为常数) ,DD性质三、如果积分区域D分为两个区域D1和D2，即D=D1+D2，则
22、f(x,y)d,f(x,y)d,，f(x,y)d,DDD12f(x,y)d,0f(x,y),0 性质四、如果在D上，则， ,D梦想这东西和经典一样，永远不会因为时间而褪色，反而更显珍贵 Classical is something not fade,but grow more precious with time pass by,so is dream! 第 7 页 共 19 页 高等数学知识点总结 北雁双飞 QQ:760722085 E_mail:heblyd 性质五、如果在D上， f(x,y),g(x,y),则,f(x,y)d,g(x,y)d,DD由性质五得到结论: f(x,y)d,f(x
23、,y)d,DD性质六、(估值定理)设M和m分别为在闭域D上的最大值和最小值，则m,f(x,y)d,M，f(x,y),D其中为积分域D的面积 ,性质七、(二重积分中值定理)如果在闭域D上连续，是区域D的面积，则在D上至少存在一点f(x,y),()使得下式成立f(x,y)d,f(,), ,D二重积分的计算 二重积分在直角坐标系下的计算方法 byx()2 f(x,y)dxdy,dxf(x,y)dy(公式),ayx()1D基本原则:(1)画出积分区域D的图形 (详见书133) (2)找x，y的下限 累次积分方法 (3)求值(套用公式) 注意:二重积分化为二次积分时，二次积分的上限必须大于下限 二重积分
24、在极坐标系下的计算方法 二重积分在极坐标系下的表达式 f(x,y)d,f(rcos,rsin,)rdrd, ,DD二重积分化为在极坐标系下的要点是: (1)将被积函数中的x，y换成，y,rsin, x,rcos,(2)面积元素换成极坐标系下的表达式 d,d,rdrd,1、极点O在积分域D外部的情况 r(),2 f(rcos,rsin,)rdrd,d,f(rcos,rsin,)rdr,r(),1D2、极点O在积分域D内的情况 r2(), f(rcos,rsin,)rdrd,d,f(rcos,rsin,)rdr,00D三重积分的概念与在直角坐标系下的计算法(待续) 在柱坐标系和球坐标系下三重积分的
25、计算法(待续) 重积分的应用(待续) 曲线积分(出大题)概念(175页) 对弧长的曲线积分第一类曲线积分 梦想这东西和经典一样，永远不会因为时间而褪色，反而更显珍贵 Classical is something not fade,but grow more precious with time pass by,so is dream! 第 8 页 共 19 页 高等数学知识点总结 北雁双飞 QQ:760722085 E_mail:heblyd nf(x,y)ds,limf(,),S 或即 f(x,y)ds,f(x,y)ds,i,ii,LLABx,0i,1若B与A重合，这是记为 f(x,y)ds
26、,L对弧长曲线积分的简单性质 (1) kf(x,y)ds,kf(x,y)ds(k为常数),LL(2) f(x,y),g(x,y)ds,f(x,y)ds,g(x,y)ds,LLL(3)若积分路径L上是由m段弧L1，L2，,lm组成，则 f(x,y)ds,f(x,y)ds，f(x，y)ds，？，f(x,y)ds,LLLL12m(4)改变积分路径的方向，对弧长的曲线积分值不变，即 f(x,y)ds,f(x,y)ds(其中L表示积分路径由A到B，,L表示B到A) ,LL,结论:对弧长的曲线积分与积分路径方向无关 d2 若 x=g(y),(),则 c,y,df(x,y)ds,f(g(x),y)1，g(y
27、)dy,Lc,x,(t),22 若，则 f(,(t),(t),(t)，,(t)dt,y,(t),对弧长曲线积分的计算 1、平面曲线L由参量方程给出 ,x,(t), 若上具有一阶连续导数，且L,t,其中,(t),(t),在区间,y,(t),2222,(t)，,(t),0，又f(x,y)在L上连续，则有 f(x,y)ds,f(t),(t)(t)，(t)dt,L,2、平面曲线L由方程y=y(x)给出 设L:y=y(x),(),其中y(x)在就a,b上有一阶连续导数，f(x,y)在L上连续，则有a,x,bb2 f(x,y)ds,fx,y(x)1，y(x)dx,La对坐标的曲线积分(定义181页) P(
28、x,y)dx，Q(x,y)dy,P(x,y)dx，Q(x,y)dy 第二类曲线积分(组合曲线积分) ,LLL注意:对坐标的曲线积分必须规定积分弧段的指向为表明积分的起止点，有时记为(x,y)11P(x,y)dx，Q(x,y)dy ,(x,y)22P(x,y)dx，Q(x,y)dy 曲线L也可以是封闭曲线，即起点与重点重合(沿闭路的曲线积分) ,L对坐标的曲线积分常分成向量的形式，设F=P(x,y)i+Q(x,y)j,ds=dxi+dyj于是P(x,y)dx，Q(x,y)dy,Fds ,LL梦想这东西和经典一样，永远不会因为时间而褪色，反而更显珍贵 Classical is something
29、not fade,but grow more precious with time pass by,so is dream! 第 9 页 共 19 页 高等数学知识点总结 北雁双飞 QQ:760722085 E_mail:heblyd 对坐标曲线积分的性质 (1) kP(x,y)dx,kP(x,y)dxkQ(x,y)dy,kQ(x,y)dy,LLLL:(2)改变积分路径的方向，积分值要改变符号，即 或,P(x,y)dx，Q(x,y)dy,P(x,y)dx，Q(x,y)dy,ABBAP(x,y)dx，Q(x,y)dy,P(x,y)dx，Q(x,y)dy,L,L(3)设L是由有向曲线弧L1和弧L2
30、组成，则有(曲线分段) Pdx，Qdy,Pdx，Qdy，Pdx，Qdy,LLL12对坐标曲线积分的计算 ,x,(t), 1、设曲线L由参数方程给出，L:，具有一阶连续导数，t=a对L的起,t,(t),(t),y,(t),点，t=b对L的终点，当t由a变到b时，曲线上的对应点恰好画出曲线L，函数P(x,y),Q(x,y)在L上连续，,则有(坐标曲线积分计算公式) P(x,y)dx，Q(x,y)dy,P(t),(t)(t)，Q(t)，(t)(t)dt,L,2、设曲线L以方程y=f(x)给出 b P(x,y)dx，Q(x,y)dy,Px,f(x)，Qx,f(x)f(x)dx,La格林公式 平面曲线积
31、分与路径无关的条件 定理:设P(x,y),Q(x,y)在单连通域D1内及其边界L上具有连续的一阶偏导数，则,P,，,P(x,y)dxQ(x,y)dy(dxdy) (L取正向) ,LD,xy平面曲线积分与路径无关的条件 定义:设函数P(x,y),Q(x,y)在区域D内具有连续的一阶偏导数如果对于D内任意指定的两点A，B以及D,L,AmBL,AnB内任意两条曲线等式恒成立，则除曲线积分Pdx，Qdy,Pdx，Qdy12,LL12Pdx，Qdy在D内与路径无关，反则 ,LPdx，Qdy 结论:如果曲线积分与路径无关，即由曲线积分性质得Pdx，Qdy,Pdx，Qdy,LLL12，上式可化为Pdx，Qd
32、y,Pdx，Qdy,L,L2Pdx，Qdy，Pdx，Qdy,0即Pdx，Qdy,0,L,LL，(,L)212Pdx，Qdy 重要结论:曲线积分在D1内与路径无关等价于沿D内任意闭曲线C得曲线积分,LPdx，Qdy,0 ,CPdx，Qdy 定理:设函数P(x,y),Q(x,y)在单连通域D内具有一阶连续偏导数，则在D内曲线积分与路,L梦想这东西和经典一样，永远不会因为时间而褪色，反而更显珍贵 Classical is something not fade,but grow more precious with time pass by,so is dream! 第 10 页 共 19 页 高等数
33、学知识点总结 北雁双飞 QQ:760722085 E_mail:heblyd ,P,径无关的充要条件是等式在D内恒成立 ,y,x无穷级数 无穷级数的概念(见书202页) 等比级数(几何级数) ,n,1aq 结论:等比级数当公比q的绝对值|q|1时，收敛;时发散 q,1,n,1无穷级数的基本性质 ,uku 性质一、如果级数收敛，其和为S，k为常数，则级数也收敛，其和为kS ,nn,1,1nn性质二、收敛级数也可以逐项相加或逐项相减，也就是说，设有两个收敛级数，,u,u，u，？，u，,Sv,v，v，？，v，,，则级数,n12nn12nn1n1,(u,v),(u,v)，(u,v)，？，(u,v)，？
34、也收敛，其和为 S,nn1122nnn1,性质三、在级数前加上或去掉有限项，不影响级数的敛散性，只是当级数收敛时，加上有限项或去掉有限项，一般会改变级数的和。 级数收敛的必要条件 ,u 如果级数收敛，则 limu,0,nnn,1n,u 注意:如果，级数可能收敛，也可能发散 limu,0,nnn,1n正向级数 ,uu,0(n,1,2,3,？) 概念:如果，则称级数为正向级数 ,nn,1n,S 正向级数收敛的必要条件:它的前n项和数列有上界 n正向级数收敛性的判别法: 1、比较判别法 ,u,u，u，？，u，,Sv,v，v，？，v，, 设 ?， ?为两个正向,n12nn12nn1n1,级数，则有:
35、u,v(n,1,2,3,？) (1)如果级数?收敛，且，则级数?也收敛 nn梦想这东西和经典一样，永远不会因为时间而褪色，反而更显珍贵 Classical is something not fade,but grow more precious with time pass by,so is dream! 第 11 页 共 19 页 高等数学知识点总结 北雁双飞 QQ:760722085 E_mail:heblyd u,v(n,1,2,3,？) (2)如果级数?发散，且，则级数?也发散 nn比较判别法的极限形式 ,unuvuv 设与是两个正向级数，如果，则级数与同时收敛或lim,l(0,l,，
36、,),nnnnv,1,1,1,1nnnnnn,同时发散 比值判别法(达朗贝尔判别法) ,u,u，u，？，u，？u,0(n,1,2,3,？) 设正向级数， ? 其中，如果其后项与,n12nnn1,u，1nlim,q前项之比的极限存在，即，则 ,nun(1)当q1时，级数?发散 (3)当q=1时，级数?可能收敛也可能发散 根值判别法(柯西判别法) ,nulimu,q 如果正向级数通项的n次方根的极限存在，即，则 ,nn,1n(1)当q1时，级数发散 (3)当q=1时，级数可能收敛也可能发散 要判定一个正向级数是否收敛，通常按下列步骤进行 ,u (1)用级数收敛的必要条件:如果limu,0，则级数发
37、散，否则进一步 ,nnn,1n(2)用比值判别法(有时也用根值判别法) un，1lim,1 如果，则比值判别法失效，则改用比较判别法 n,un(3)用比较判别法 掌握一些敛散性已知的函数，如等比级数，P-级数等 交错级数 ,n,1(,1)u,u,u，u,u，？ ? ,n1234n,1交错级数收敛性的判别法(莱布尼茨定理) u,u(n,1,2,3,？)S,u 如果交错级数?满足条件(1)，(2)，则级数?收敛，其和，limu,0nn，11nn,urr其余项的绝对值| n，1nn,u,u，u，？，u，？绝对收敛与条件收敛?为任意项级数，其各项取绝对值，则得到正向级数,n12nn1,梦想这东西和经典
38、一样，永远不会因为时间而褪色，反而更显珍贵 Classical is something not fade,but grow more precious with time pass by,so is dream! 第 12 页 共 19 页 高等数学知识点总结 北雁双飞 QQ:760722085 E_mail:heblyd ,|u|,|u|，|u|，？，|u|，？? ,n12nn1,定理:如果级数?收敛，则级数?也收敛 ,|u|u 定义:如果级数收敛，则称级数为绝对收敛级数 ,nn,1,1nn,u|u|u 如果级数收敛，而级数发散，则称级数为条件收敛级数 ,nnn,1,1,1nnn,u|u|
39、u|u|u 注意:对于任意级数，如果收敛，则绝对收敛;但当发散时，只能判定,nnnnn,1,1,1,1,1nnnnn,|u|u非绝对收敛，却不能判定它必发散。但如果用比值法判定发散，则级数也发散 ,nn,1,1nn,u，1nu,u，u，？，u，？lim|,q 定理:如果任意项级数满足条件，则 ,n12n,nun1,n(1)当q 1时，级数发散 幂级数 函数项级数的一半概念(见书226页) 幂级数及其收敛性(见书227页) ,n2n|ax|,|a|，|ax|，|ax|，？，|ax|，？a,0正向级数:，记当n充分大时，且,n012nnn0,n，1uaxaan，1nnn，1，1，1lim|,，则，
40、于是 lim|,lim|,lim|x|,|x|nn,nnn,auaaxnnnn当时，有下列两种情况 ,0,12nnax,a，ax，ax，？，ax，？ 如果，则级数?绝对收敛 ,|x|,1,即|x|,R,012nn,0n,1 如果，则级数?发散。 ,|x|,1,即|x|,R,11推论:只要是个不为0的正数，就会有一个以原点为中心的对称区间,在这个区间内幂级数绝对收敛，(,),11在这个区间外幂级数发散，当x,时，幂级数可能收敛也可能发散，称，为幂级数?的收敛半R,径。 R,，, 当=0时，|x|=01，级数?对于一切实数x都绝对收敛，这时规定收敛半径 ,如果幂级数?仅在x=0一点处收敛，则规定收
41、敛半径R=0 梦想这东西和经典一样，永远不会因为时间而褪色，反而更显珍贵 Classical is something not fade,but grow more precious with time pass by,so is dream! 第 13 页 共 19 页 高等数学知识点总结 北雁双飞 QQ:760722085 E_mail:heblyd an，1 定理:如果幂级数?的系数满足lim|,则 n,an1 (1)当0+时， ,R,R,，, (2)当=0时， ,(3)当，R=0 ,，,幂级数的收敛区间 ,naR 定义:设幂级数?的收敛半径为R，且0R0,R20,有2n,a，ax，ax
42、，？，ax，？,f(x),012n对于这两个幂级数，可进行下列运算 ,2n,b，bx，bx，？，bx，？,g(x)012n,(1)加法: 2n (a，b)，(a，b)x，(a，b)x，？，(a，b)x，？,f(x)，g(x)001122nn(2)减法: 2n (a,b)，(a,b)x，(a,b)x，？，(a,b)x，？,f(x),g(x)001122nn(3)乘法: 2nab，(ab，ab)x，(ab，ab，ab)x，？，(ab，ab，？，ab)x，？,f(x),g(x)00011002112001,10nnn2na，ax，ax，？，ax，？,f(x)012n性质二、设幂级数，其收敛半径R0，
43、则幂级数的和函数f(x)在(-R,R)内是连续的 2na，ax，ax，？，ax，？,f(x)012n 性质三、设幂级数，其收敛半径为R，则在区间(-R,R)内这个级数可以逐项求导，即2n2n,1 (a)，(ax)，(ax)，？，(ax)，？,a，2ax，3ax，？，nax，？,f(x)012n123n2na，ax，ax，？，ax，？,f(x)012n 性质四、设幂级数，其收敛半径为R，则在区间(-R,R)，内的任何闭区间上这个级数可逐项积分，即当-RxR是，有梦想这东西和经典一样，永远不会因为时间而褪色，反而更显珍贵 Classical is something not fade,but gr
44、ow more precious with time pass by,so is dream! 第 14 页 共 19 页 高等数学知识点总结 北雁双飞 QQ:760722085 E_mail:heblyd xxxxx2n，即adx，axdx，axdx，？，axdx，？,f(x)dx012n,00000xaaa231n，12n，且收敛半径为R ax，x，x，？，x，？,f(x)dx0,023n，1函数展开成幂级数 泰勒级数(见书235页) 函数展开成幂级数:(直接展开法和间接展开法) 直接展开法: 把f(x)展开成x的幂级数,如下步骤(最基本方法) (n)f(x),f(x),？f(x)？ (1)求出f(x)的各阶导数 (n)f(0),f(0),f(0),？f(0)？ (2)计算f(x)及其导数在点x=0处的值， (n)f(0)f(0
