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1、2.5.1 平面向量应用举例,临沂一中高一数学组,1.平面几何中的向量方法,向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。,研究对象：与向量有关的如距离、平行、三点共线、垂直、夹角等几何问题,充分利用向量这个工具来解决,例1：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？,猜想：,1.长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？,2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？,判断：矩形 中，对角线长度与两条邻边长度之间是否
2、有关系如下：,发现：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍。,你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？,（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何关系。,用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：,用基底表示,向量运算,翻译几何结果,例2.如图，ABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？,猜想：AR=RT=TC,解：设 则,因为 所以,又因为 共线，
3、所以设,由于 与 共线，所以设,不共线，,故AT=RT=TC,练习：证明：三角形的三条高交于一点,问题：可否用平面向量的坐标形式解决?,情景1：两人一起提一个重物时,怎样提它最省力?,情景2:一个人静止地垂挂在单杠上时,手臂的拉力与手臂握杠的的姿势有什么关系?,创设情景,夹角越小越省力,两臂的夹角越小,手臂就越省力,例3.在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力，你能从数学的角度解释这种现象吗？,分析：上述的问题跟如图所示的是同个问题，抽象为数学模型如下：,用向量F1,F2表示两个提力,它们的合向量为F，物体的重力用向
4、量G来表示，F1，F2的夹角为，如右图所示，只要分清F，G和三者的关系，就得到了问题得数学解释！,解：不妨设,由向量的 平行四边形法则,力的平衡以及直角三角形的知识,通过上面的式子，知当由0到180逐渐变大时，由0到90逐渐变大，的值由大逐渐变小.,可以知道：,即 之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力！,由小逐渐变大.,（1）为何值时，最小，最小值是多少？,（2）能等于 吗？为什么？,答：在上式中，当=0时，最大，最小且等于,答：在上式中，当 即=120时，,探究一,生活中常遇到两根等长的绳子挂一个物体.绳子的最大拉力为,物体重量为,分析绳子受到的拉力大小F1与两绳子间的夹角的关系？,探究二,
5、探究三,(4)如果绳子的最大承受力为 在什么范围内,绳子才不会断？,【1】如图所示，用两条成120的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力是_.,120,10N,练一练,例4.如图,一条河的两岸平行,河的宽度d=500m,一艘船从A处出发到河对岸,已知船的速度,水流速度 问行驶航程最短时,所用时间是多少？(精确到0.1min),A,B,答：行驶的航程最短时，所用的时间是3.1min。,（2）行驶时间最短时，所用的时间是多少？,（2）小船过河的问题有一个特点，就是小船在垂直于河岸的方向上的位移是不变的，我们只要使得在垂直于河岸方向上的速度最大，小船过河所用的时间就最短，
6、河水的速度是沿河岸方向的，这个分速度和垂直于河岸的方向没有关系，所以使小船垂直于河岸方向行驶（小船自身的速度，方向指向河对岸），小船过河所用时间才最短。,探究一,答：行驶的时间最短时，所用的时间是3min,解:使小船垂直于河岸方向行驶（小船自身的速度,方向指向河对岸),小船过河所用时间才最短.,（2）行驶时间最短时，所用的时间是多少？,探究一,M,O,A,B,练习1.平面上三个力 作用于一点且处于平衡状态,的夹角为1200,求 的大小。,练习2.已知两恒力 作用于同一质点,使之由点A(20,15)移到点B(7,0).求;(1)分别对质点所做的功;(2)的合力 对质点所做的功.,设 对质点所做的功分别为,合力 对质点所做的功,课堂小结,（1）问题的转化,即把物理问题转化为数学问题.（2）模型的建立,即建立以向量为主题的数学模型，解决问题.（3）问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.,用基底表示,向量运算,翻译几何结果,1.向量在几何中的应用（三部曲）：,2.向量在物理中的应用：,作业：第一层：课本113页A组第1，4题；第二层：添加A组第2题。,临沂一中,谢谢大家!,
