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1、有 理 数 教 材 教 法 分 析 崇文区教育研修学院 陈俊,一、教学要求：,1.课标要求（1）理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小。（2）借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含字母）。,（3）理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）。（4）理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算。（5）能运用有理数的运算解决简单的问题。（6）能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断。,2.考试说明中的要求 有理数 基本要求：理解有理数的意义,略高要求：会比较有理数的大小,数轴基本要求：能用数轴上的点表
2、示有理数；知道实数与数轴上的点的一一对应关系略高要求：会借助数轴比较有理数的大小,相反数,基本要求：会用有理数表示具有相反意义的量，借助数轴理解相反数的意义，会求有理数、无理数的相反数,略高要求：掌握相反数的性质,绝对值基本要求：借助数轴理解绝对值的意义，会求有理数、无理数的绝对值较高要求：会利用绝对值的知识解决化简问题和非负数问题,有理数运算基本要求：理解乘方的意义略高要求：掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步为主）较高要求：能运用有理数及其运算解决简单的实际问题,有理数的运算律基本要求：理解有理数的运算律略高要求：能运用有理数的运算律简化运算,近似数、有效数字和科学记数
3、法基本要求：了解近似数和有效数字的概念；会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）略高要求：在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算；能按问题的要求对结果取近似值；能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断,主要内容及课时安排,本章是第三学段教科书的第一章，既承接前两个学段的内容，又为进一步学习打下基础。本章主要内容是有理数的有关概念及其运算。本章教学时间约需19 课时，具体安排如下：1.1 正数和负数 约2课时1.2 有理数 约4课时1.3 有理数的加减法 约4课时1.4 有理数的乘除法 约4课时1.5 有理数的乘方 约3课时小结 约2课时注：计算器的3课时分散给，分别安排在相应的内容后,本
4、章的主要内容,引入负数是实际的需要，也是学习第三学段数学内容，特别是数与代数内容的需要。引进数轴可以把有理数用数轴上的一个点直观地表示出来，从而可以直观地介绍相反数、绝对值，同时为用数轴引进有理数的加法法则与乘法法则作准备。引入相反数的概念，一方面，可以加深对相反意义的量的认识，另一方面，可以为学习绝对值、有理数减法等作准备。引入绝对值的的概念，可以加深对有理数的认识：一个有理数由符号与绝对值确定。两个负数比较大小，有理数运算也要借助绝对值这个概念。,本章的重点是有理数的运算。加法与乘法都是在介绍运算法则着重是符号法则的基础上，进行基本运算，然后结合具体例子引入运算律，并运用运算律简化运算。减
5、法与除法，则是着重介绍如何向加法与乘法转化，从而利用加法与乘法的运算法则、运算律进行运算。乘方是几个相同因数的乘积，也就可以利用乘法运算。科学记数法与乘方有关，因而可进一步加以介绍。近似数在实际问题中有广泛的应用，有必要在本章作进一步的认识。利用计算器计算分两次安排，一次在加减乘除运算之后，一次在乘方运算之后。学会了使用计算器进行有理数运算，较复杂的计算就可以用计算器完成。简单的有理数运算仍需要学生熟练地用笔算完成。,本章的重点、难点,本章的重点是有理数的有关概念（数轴、相反数、绝对值等）有理数的运算及运用有理数运算解决问题。本章的难点是对有理数概念和运算法则的理解，特别是对有理数乘法法则的理
6、解。,本章渗透的数学思想：转化、分类讨论、数形结合,能力培养：培养学生运算能力、及数学应用的意识。,教材处理的几点建议,1加强与实际的联系（1）从实际出发引入有关内容教科书用温度、净胜球、增长率的实例引入本章的内容。通过第一节开头回顾学过的数的产生和发展的过程，说明数的产生和发展离不开生活和生产的需要。有理数的有关概念注意从实际引入。例如，数轴是通过描述位置的问题引出的，并让学生通过温度计加深对数轴的认识。又如，通过一个“思考”，栏目，给出未来一周天气预报，提出问题“你能将图中给出的各个温度按从低到高的顺序排列吗？”，从而引出有理数比较大小的内容。从实际出发引入有理数的运算。例如，通过足球比赛
7、中，计算章前引言中红队和蓝队的净胜球数，出现4（2），1+（1），引出正数与负数的加法又如，通过某地一天的气温是3 4，这天的温差（）就是4（3），引出正数与负数的减法,（2）运用有关内容解决实际问题,教科书通过引言中温度、净胜球、增长率的实例引出负数后，进一步介绍正负数在实际中的应用。例如，在地形图上表示某地的高度要用到正负数。又如，银行储蓄中存入用正数表示，支出用负数表示。再如，用正负数描述体重、出口总额的增减变化。通过这些例子，让学生进一步体会引入负数在解决实际问题中的作用。学过有理数的有关运算后，即可运用相应运算解决实际问题。例如，运用有理数加法解决有关求和的实际问题，运用有理数的乘法
8、解决气温变化的问题，运用有理数的混合运算解决公司盈亏问题。让学生通过“数学活动”将本章内容运用于实际。例如，让学生运用本章有关内容掌握家庭的生活收支情况。让学生收集实例，体会科学记数法和近似数等在实际中的应用。,2注意渗透数学思想方法数形结合、分类讨论和转化,学习本章的一个关键，就是利用数轴的直观性，帮助学生理解相反数与绝对值的概念，掌握比较有理数大小的方法，认识有理数的运算法则。从数轴上看，有许多对关于原点对称的点，从而引出相反数加以描述。除了关于原点对称的点以外，数轴上不同的点到原点的距离不同，这又可以引入绝对值加以描述。利用数轴规定有理数的顺序，既直观又涵盖了有理数比较大小的各种情况。,
9、利用数轴分析物体运动的实例，可以非常直观地获得物体两次运动的结果，从而引出有理数加法的运算法则。教科书还利用数轴、通过蜗牛运动的例子引出有理数乘法法则。在前两个学段，学生对速度时间路程已经熟悉：如果知道速度，时间，就可以用速度时间求出路程，如果再知道运动的起点，运动的方向，就可以用速度时间确定运动一段时间后的位置。在此基础上，可进一步指出，如果把时间区分为现在前与现在后，速度时间就表示一段时间前与一段时间后的位置。另一方面，这个位置借助数轴容易确定，从而写出相应的算式。,转化的思想：有理数的运算，比较大小,分类讨论的思想：绝对值的运算,3让学生通过思考、探究、归纳，主动地进行学习,勤于思考，善
10、于思考，是学好数学的必要条件。教科书中穿插安排了大量的思考栏目。例如，让学生思考加法运算律在有理数范围是否成立。再如，让学生思考运算律简化计算的作用。有的通过对问题的思考获得结论，有的通过对解决问题的过程的反思加深认识。要让学生积极动脑，积极参与，激发他们学习的热情。探究是解决问题，探求结论的过程，要让学生知其然，更知其所以然。例如，在本章中，让学生通过数轴探求物体两次运动的结果，从而认识有理数的加法运算法则，以及探究有理数乘法法则。在这些问题中，学生自己探索发现，体验获得结论的过程。在思考、探究的基础上归纳结论是学习过程中的一个重要环节。结论是探索的结果，又要进一步运用于解决问题中。如归纳正
11、负数的相反意义，加减运算的统一。要通过归纳让学生体会从特殊到一般，从具体到抽象的过程，使他们既学会发现，又学会总结。,观察 温度计 一周天气预报 运算结果符号思考 数的分类 运算律保持 运算律简化计算探究 加法法则 乘法法则讨论 加减关系的讨论归纳 正负数的相反意义 加减运算的统一,4、做好与小学阶段的衔接,本章学习有理数的有关概念及运算，都要从前两个学段学过的数的概念及运算出发。对负数的认识离不开对已学过的数的认识；当符号确定后，有理数的运算归结为已学过的运算；把用字母表示数的知识运用于本章，可以使问题的阐述更简明、更深入。注意：“a”让学生逐渐理解用字母表示数,5、把握好教学要求,对绝对值
12、的要求 掌握几何意义距离 字母问题有理数运算 有理数运算中涉及的数应当比较简单，如果涉及的数比较复杂可以利用计算器解决，主要是确定结果的符号。对于有理数的混合运算，也要控制复杂程度，以三步为主。,6、打好运算的基础,有理数的运算是今后继续学习的基础，一定要过关，不要把问题留到初三。注意符号的问题，先确定符合，再算绝对值，要养成良好的习惯；运算律、法则过关，注意简便运算；注意没有减法和除法，加减法混合运算时，没有运算符号，只有性质符号，省略运算符号“”的代数和的形式。如：,7、利用好计算器,用计算器验算 用计算器帮助探索运算规律 有理数运算的基本要求不能削弱,8、利用好选学内容,问题的扩展与加深
13、 开阔眼界 增长见识,需要注意的几个问题,一、通过多种方式培养学生的数感 新课标在总体目标中明确提出要使学生“经历运用符号和图形描述现实世界的过程，建立初步的数感和符号感的抽象思维”对此目标，在本章教学中要从以下几个方面体现,1、让学生在具体情境中理解数的意义,在具体情境中把握数的相对大小关系，不仅能帮助学生理解数的概念，也能加深其对数的实际意义的理解数是抽象的，更是具体的，通过具体的数，感受大数，领悟小数,例 温家宝总理有句名言：“多么小的问题乘以13亿，都会变得很大；多么大的经济总量，除以13亿都会变得很小”据国家统计局的公告，2004年我国淡水资源总量为26520亿立方米，居世界第四位，
14、但人均只有立方米，是全球人均水资源最贫乏的十三个国家之一 解：26520132040(立方米)评析：本题以温总理的名言和真实的生活情境信息反映大数与小数的转化，具有教育意义,2、培养学生用数来表达和交流信息的习惯,学生学会用数来表达和交流信息，既能体会学习数学的意义，也能体会数感的具体表现，从而认识数据的大小，理解数据所表述的信息,例 火车票上的车次号有两个意义：一是数字越小表示车速越快，198次为特快列车，101198次为直快列车，301398次为普快列车，401598为普客列车；二是单数与双数表示不同的行驶方向，如果就北京站而言，单数表示从北京开出，双数表示开往北京根据以上规定，杭州开往北
15、京的某一直快列车的车次号可能是()A20 B119 C120 D319 解：由题意知选C 评析：注重发展学生数感，使其对数字的信息作出合理的解释和推断,二、学好有理数的乘法运算,（一）真正理解有理数乘法法则针对有理数的正负性及其相乘时负因数的个数不同,有理数的乘法法则分为以下几条:法则1：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.此法则是针对两个有理数相乘的情形，它包括两层意思：一是符号的确定法则，二是数字的处理法则，学习时请注意：(1)确定符号时要注意相乘两数的符号是同号还是异号或者是一个为零,只有非零的两数相乘才能使用此法则；(2)数字处理是在符号确定后进行的，其方法与小学里一样；(3
16、)不要与加法法则混为一谈,错误理解为“同号取原来的符号”,如把(-2)(-3)错误的做成“取原来的符号-”,再把绝对值相乘,得-6.,法则2：任何数与零相乘，都得零.此法则是对法则1的补充，可以用字母简单表示为：0a=0.法则3：几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是奇数时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正。此法则是法则1的推广，它告诉我们进行多个有理数相乘运算时，首先确定积的符号，再把各个因数的绝对值相乘.例如,(-3)(-2)(-8),负因数的个数是3,为奇数,所以积为负,因此,(-3)(-2)(-8)=-328=-48；又如,(-3)(-2)(+8),
17、负因数的个数是2,为偶数,所以积为正,因此,(-3)(-2)(+8)=328=48.显然法则1是法则3的特殊情形.法则4：几个数相乘，有一个因数为零，积就为零。此法则是法则2的推广，用字母可简单表示为：0ab=0。如(-28)(-78)091=0.,（二）灵活运用乘法运算律1乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。用字母简单表示为：ab=ba。2乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。用字母简单表示为：abc=(ab)c=a(bc)。乘法交换律和结合律可以推广为：三个或三个以上的数相乘，任意交换因数的位置，或者任意先把其中几个数相乘，积都不变。,3乘法分
18、配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。用字母表示为：a(b+c)=ab+ac。（a(b+c+d)=ab+ac+ad。）乘法运算律是用来简化有理数乘法运算的依据，其中乘法交换律和乘法结合律要注意灵活、综合地运用，两者相得益彰，不能分开。运用乘法交换律和结合律的目的是把容易计算的几个因数先进行计算。应用乘法分配律可以打破“先算括号”的计算习惯，大大简化乘法与加法的运算。例如,计算：（-28）时,若先算括号内需要通分较繁，注意到括号内的数的分母都是28的约数，因此，运用乘法分配律可以简化计算.又如,计算：38,若直接把带分数 化为假分数较繁，注意到 接近于-20，
19、因此，我们可以把它化为-20+。把一个数拆为几个数的和，然后运用乘法分配律进行计算是本题解法的巧妙之处.当一个算式按常规的解法进行计算较繁时，要善于思考、变形，然后应用相关的运算律来进行简化计算,以提高运算能力.,三、概念理解要透彻，谨防出错,（一）乘法和加法混淆；例1.计算：.错解一：原式=；（带分数化假分数）错解二：原式=；剖析：错解一是混淆了有理数的乘法法则和加法法则，最后一步确定符号时应根据“两数相乘，同号得正，异号得负”，而不是“取绝对值较大的数的符号”；错解二是把带分数中的整数部分与分数部分分开来看，看成是相乘的关系了。,（二）运用分配律出错,例2.计算：错解：原式=剖析：利用分配
20、律能够改变运算的顺序，把先求和改为先求积，再求和，这样有时会简化运算的过程，但是需要乘以代数和中的每一项，而本题错解恰恰没有做到这一点。除了正确运用分配律，在解题过程中，还要特别注意符号的确定，这也是出错较多的一个地方。,（三）运算顺序出错,例3.计算：.错解：原式=.剖析：按照运算顺序，同级运算应从左向右进行运算，而上述解题过程由于贪图运算的简捷性，先约分计算了后面的乘法而把运算顺序搞错了。在有理数的混合运算中，运算顺序往往是出题者常设的陷阱，而错用运算顺序一般会使运算简便，这也是同学们容易上当的原因，要特别注意。,（四）误用乘法分配律,例4.计算:错解：=剖析：=由上述式子可以看出，乘法分
21、配律可以推广到除法中，当被除数是和的形式时，可以把除数分配给和中的每一个数；但是除数是和的形式时，不能把被除数分配给和中的每一个数，本题就是第一步的道理讲不通，所以出了错。,例题,例1计算：分析：不难发现五个加数中有两对互为相反数，把它们分别相加后相互抵消，最后剩下,这就是计算的结果例2计算：（-5.14）-（-7.6）-（-4.25）-（+4.86）+（-1.25）分析：先把减法统一成加法,原式=（-514）+7.6+425+(-486)+（-1.25）注意观察可以发现：-514与-486之和为-10；+425与-125之和为3，故把它们分别划为一组相加后再与+7.6相加，得原式-10+3+
22、7.6=0.6.,例3计算：（-2.5）（-13.6）（-4）分析：按顺序先计算(-25)(-13.6)显然很繁，注意到2.54=10，故运用乘法交换律和结合律，原式=-（2.54）13.6=-1013.6=-136例4计算：32（-85）（-25）分析：把32化为48，再把4与25结合相乘原式=（885）（425）=68100=6800,例5计算：分析：注意到乘数30是被乘数各分母的公倍数，运用乘法分配律可以去掉所有的分母例6计算：分析：直接化为假分数约分显然计算量较大，把整数与分数分离后再运用乘法分配律可以简化运算原式=,例7计算:19.8125-12.5118.分析:前后两部分因数中似乎都含有125的影子,把原式化为19.8125-12511.8,这样就可以逆用乘法分配律把125先提出 例8 计算：分析：注意到各部分分别有公因数07和14，逆用乘法分配律可分别提取原式=,谢 谢,
