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1、勾股定理的应用,蚁燕玲,1.成立条件：在直角三角形中；,3.作用：已知直角三角形任意两边长，求第三边长.,2.公式变形:,（注意：哪条边是斜边）,小竞赛,1.看图示信息，求直角三角形中第三边的长，将结果标在图上.,3,.,13,小竞赛,.,2.（1）如图，两个正方形的面积分别是S1=18，S2=12，则直角三角形的较短的直角边长是.,小竞赛,2.（2）如图，两个半圆的面积分别是S1=16，S2=25，则直角三角形的较短的直角边长是.,3.已知RtABC中，C=90，若a=1，c=3，则b=.,4.已知RtABC中，A=90,B=30，若a=4，则c=.Zxxk,5.已知RtABC中，B=90,
2、A=45，若b=7，则c=.,小竞赛,7,探究 小明家装修时需要一块薄木板，已知小明家的门框尺寸是宽1 m，高2 m，如图所示，那么长3 m，宽2.2 m的薄木板能否顺利通过门框呢？,木板的长、宽分别和门框的宽、高和对角线进行比较.,分析,实际问题,数学问题,能否通过,比大小,比较线段大小,3.小明家住在18层的高楼，一天，他与妈妈去买竹竿。,买最长的吧！,快点回家，好用它凉衣服。,糟糕，太长了，放不进去。,如果电梯的长、宽、高分别是4尺、3尺、12尺，那么，你能帮小明估计一下买的竹竿至多是多少尺吗？（结果取整数）,课堂练习,例1.如图，一架2.6 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时A
3、O为2.4 m.如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5 m，那么梯子底端B也外移0.5 m吗？,在梯子下滑过程中，哪个线段的长没有发生变化？Zxxk,2.6 m,2.6 m,2.4 m,1.9 m,OB=？m,OD=?m,几何画板演示梯子下滑过程,荷花问题 平平湖水清可鉴,面上半尺生红莲;出泥不染亭亭立,忽被强风吹一边;渔人观看忙向前,花离原位二尺远;能算诸君请解题,湖水如何知深浅.,0.5,x,x+0.5,2,答：湖水深3.75尺.,探究1:,可用勾股定理建立方程.,例2 小红想测量学校旗杆的高度，她采用如下的方法：先将旗杆上的绳子接长一些，让它垂到地面绳子还多1米；然后将绳子下端拉直，使它刚好接触
4、地面，测得绳下端离旗杆底部5米，你能帮她计算一下旗杆的高度吗？,先将旗杆上的绳子接长一些，让它垂到地面绳子还多1米；然后将绳子下端拉直，使它刚好接触地面.Zxxk,解：设旗杆AC高x米,则AB为（x+1）米.在直角三角形ACB中，AB2=AC2+CB2，（x+1）2=x2+52.解得x=12.答：旗杆的高度是12米.,我们要求线段AC的长，线段AB比AC长1米，我们可以设未知数来求解.,3.小刚欲划船横渡一条河，由于水流的影响，实际船靠岸的地点B偏离欲到达地点C50米，结果船在水中实际行驶的路程比河宽多10米，求该河的宽AC是多少米？,练习,解：设河宽AC为x米,则AB为（x+10）米.在直角
5、三角形ACB中，AB2=AC2+CB2，（x+10）2=x2+502.解得x=120.答：该河的宽AC是120米.,4.教材习题16.1第10题.,问题1：哪位同学能根据题意找到图中两条相等的线段？,MF=MA,问题2：哪位同学能根据题意告诉大家哪条线段是10尺？,AB=CD=10,练习,解：设水深EM为x尺,则AM为（x+1）尺.在直角三角形AEM中，AM2=ME2+AE2，（x+1）2=x2+52.解得x=12.芦苇长为12+1=13（尺）.答：水深是12尺，芦苇长是13尺.,4.教材习题16.1第10题.,练习,巩固练习,1.如图，一个梯子AB长2.5 米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下
6、端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？,尝试应用,1、已知如图所示，池塘边有两点A，B,点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得CB=60m，AC=20 m，你能求出A，B两点间的距离吗（结果保留整数）？,在RtABC中，根据勾股定理：AB2BC2-AC2602-202 3200所以，AC 57A，B两点间的距离约为57,www.,2：如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄，DAAB于A，CBAB于B，已知DA=15km,CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E
7、站应建在离A站多少km处？,x,25-x,解：设AE=x km，,根据勾股定理，得 AD2+AE2=DE2 BC2+BE2=CE2,又 DE=CE,AD2+AE2=BC2+BE2,即：152+x2=102+（25-x)2,答：E站应建在离A站10km处。,X=10,则 BE=（25-x）km,15,10,3:在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题这个问题意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形,在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？,D,A,B,C,解:设水池的深度AC为X
8、米,则芦苇高AD为(X+1)米.,根据题意得:BC2+AC2=AB2,52+X2=(X+1)2,25+X2=X2+2X+1,X=12,X+1=12+1=13(米),答:水池的深度为12米,芦苇高为13米.,4:矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的长。,A,B,C,D,F,E,解:设DE为X,X,(8-X),则CE为(8 X).,由题意可知:EF=DE=X,X,AF=AD=10,10,10,8,B=90 AB2+BF2AF2,82+BF2102 BF6,CFBCBF1064,6,4,C=90 CE2+CF2EF2,(8 X)2+42=X2,64
9、 16X+X2+16=X2,80 16X=0,16X=80,X=5,5：如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（）.（A）3（B)5（C）2（D）1,分析：由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，故需把正方体展开成平面图形（如图）.,B,www.,2.如图，上午8时，一条船从A处出发，以每小时15海里的速度向正北航行，10时到达B处.从A处望灯塔C为北偏西30，从B处望灯塔C为北偏西60，求轮船继续航行多长时间到达灯塔C的正东方向？并求出此时轮船和灯塔的距离.,问题：通过读题我们可以知道哪些量？,AB=30海里,CAB=30，CBA的外角是60.,CB
10、=AB=30海里,练习,求轮船继续航行多长时间到达灯塔C的正东方向？并求出此时轮船和灯塔的距离.,答案：1小时，,综合探究,例1在RtABC中，=90.(1)已知：a=6，b=8，求c；(2)已知：a=40，c=41，求b；(3)已知：c=13，b=5，求a；(4)已知:a:b=3:4,c=15,求a、b.,解：(1)(2)(3)(4)设a=3x，则b4x，所以5x15 得x=3 所以a9，b12,一个长5m的梯子AB，斜靠在墙上，这时梯子顶端离地面4m，如果梯子的顶端下滑2m，那么梯子的底端也外移2m吗？,A,4m,5m,解：,在RtAOB中，据勾股定理,四、例题：,B,O,在Rt 中，据勾
11、股定理,?,0,1,2,3,4,步骤：,l,A,B,C,1、在数轴上找到点A,使OA=3;,2、作直线lOA,在l上取一点B，使AB=2;,3,以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示 的点。,你能在数轴上画出表示 的点和 的点吗？,点C即为表示 的点,你能在数轴上画出表示 的点吗？,探究2:,0,1,2,3,4,l,A,B,C,你能在数轴上画出表示 的点和 的点吗？,0,1,2,3,4,A,B,C,你能在数轴上表示出 的点吗？,在数学中也有这样一幅美丽的“海螺型”图案,由此可知,利用勾股定理,可以作出长为,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,
12、1,1,1,第七届国际数学教育大会的会徽,1,数学海螺图：,你能在数轴上表示出的点吗？,的线段.,1、如图为44的正方形网格,以格点与点A为端点,你能画出几条边长为 的线段?,2.如图，D(2,1),以OD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在x轴上，这样的等腰三角形能画多少个?写出落在x轴上的顶点坐标.,x,y,二、练习,3、已知，如图，在RtABC中，C=90，1=2，CD=1.5,BD=2.5,求AC的长.,提示：作辅助线DEAB，利用平分线的性质和勾股定理。,解：,过D点做DEAB,E,1=2,C=90 DE=CD=1.5在 RtDEB中,根据勾股定理,得BE2=BD2-DE2=2.52-1.52=4 BE=2在RtACD和 RtAED中,CD=DE,AD=AD,RtACD RtAED AC=AE,令AC=x,则AB=x+2在 RtABC中,根据勾股定理,得 AC2+BC2=AB2即:x2+42=(x+2)2 x=3,x,学习体会,1.本节课你又那些收获？2.预习时的疑难问题解决了吗？你还有那些疑惑？3.你认为本节还有哪些需要注意的地方？,
