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1、探究性问题解题思路系统化襄樊市第四十七中学 熊沙探究性问题是知识、方法、能力综合型试题，新课改后的中考数学压轴题已从传统的考查知识点多、难度大、复杂程度高的综合题型，逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向。传统的解答题和证明题，其条件和结论是由题目明确给出的，我们的工作就是由因导果或执果索因。而探究性问题一般没有明确的条件或结论，没有固定的形式和方法，要求我们认真收集和处理问题的信息，通过观察、分析、综合、归纳、概括、猜想和论证等深层次的探索活动，认真研究才能得到问题的解答。开放性、操作性、探索性和综合性是探究性问题的明显特征。这类题目形式新颖，格调清新，涉及的基础知识和基本技能
2、十分广泛，解题过程中有较多的创造性和探索性，解答方法灵活多变，既需要扎实的基础知识和基本技能，具备一定的数学能力，又需要思维的创造性和具有良好的个性品质。1. 阅读理解型例1、 阅读下列材料： “， 解答问题： （1）在和式中，第五项为_，第n项为_，上述求和的想法是：通过逆用_法则，将和式中各分数转化为两个实数之差，使得除首、末两项外的中间各项可以_，从而达到求和的目的。 （2）解方程分析：本题是从一个和式的解题技巧入手，进而探索具有类似特征的分式方程的解题思路。 解：（1）第五项为，第n项为，上述求和的想法是：通过逆用分数减法法则，将和式中各分数转化为两个实数之差，使得除首、末两项外的中间
3、各项都可以互相抵消，从而达到求和的目的。 （2）方程左边的分式运用拆项的方法化简： 化简可得从上面的例题我们可以把探究型问题格式化为：（1）分析题目及例子；（2）归纳知识点：（3）推理及小小的推广；（4）下结论。 例2、阅读以下材料并填空。 平面上有n个点（），且任意三个点不在同一直线上，过这些点作直线，一共能作出多少条不同的直线？ （1）分析：当仅有两个点时，可连成1条直线； 当有3个点时，可连成3条直线； 当有4个点时，可连成6条直线；当有5个点时，可连成10条直线；（2）归纳：考察点的个数n和可连成直线的条数，发现： （3）推理：平面上有n个点，两点确定一条直线，取第一个点A有n种取法，
4、取第二个点B有种取法，所以一共可连成条直线，但AB与BA是同一条直线，故应除以2，即 （4）结论： 试探究以下问题： 平面上有n（）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形，一共能作出多少不同的三角形？（1）分析：当仅有3个点时，可作_个三角形； 当有4个点时，可作_个三角形； 当有5个点时，可作_个三角形； （2）归纳：考察点的个数n和可作出的三角形的个数，发现：（3）推理： （4）结论： 分析：本题是从阅读材料中得到研究数学问题的方法：分析归纳猜想推理结论，再用这种方法探究解决新的数学问题。 解：（1）当仅有3个点时，可作 1 个三角形； 当有4个点时，可作 4 个三角形；当有5
5、个点时，可作 10 个三角形。（3）平面上有n个点，过不在同一条直线上的三点可以确定一个三角形，取第一个点A有n种取法，取第二个点B有种取法，取第三个点C有种取法，所以一共可以作个三角形，但是同一个三角形，故应除以6，即 （4）2. 探究结论型 探求结论型问题是指由给定的已知条件探求相应的结论的问题。解答这类问题的思路是：从所给条件（包括图形特征）出发，进行探索、归纳，大胆猜想出结论，然后对猜想的结论进行推理、证明。 例3、如图，公路上有A、B、C三站，一辆汽车在上午8时从离A站10千米的P地出发向C站匀速前进，15分钟后离A站20千米。 （1）设出发x小时后，汽车离A站y千米，写出y与x之间
6、的函数关系式； （2）当汽车行驶到离A站150千米的B站时，接到通知要在中午12点前赶到离B站30千米的C站。汽车若按原速能否按时到达？若能，是在几点几分到达；若不能，车速最少应提高到多少？ 分析：这是生活中的一个实际问题。解第（1）问的关键是读懂题意，求出汽车从P地出发向C站匀速前进的速度。 第（2）问，没有给出明确的结论，需要根据所给的条件探求，汽车行驶到B站后，若按原速行驶，到达C站的时间。 解：（1）汽车从P地出发向C站匀速前进，速度为 （2）把代入上式，得 汽车要在中午12点前赶到离B站30千米的C站，车速最少应提高到60千米/时。例4、 如图，AB为半圆的直径，O为圆心，AB=6，
7、延长BA到F，使FA=AB。若P为线段AF上一个动点（P点与A点不重合），过P作半圆的切线，切点为C，作，垂足为D。过B点作，交PC的延长线于点E，连结AC、DE。 （1）判断线段AC、DE所在直线是否平行，并证明你的结论； （2）设AC为x，AC+BE为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。 分析：本题是要根据图形的条件探求AC、DE所在直线的位置关系。本题的难点在于P是一个动点，那么AC与DE也始终在随P点的运动而变化。在这种变化中，它们的相对位置是否有一种特定的联系？这就要求我们透过现象，抓住问题的本质，考察其中的必然联系。可由动到静，把动点P设在AF上的任意一个位置，根据
8、题意画出草图，再观察、猜想、推理、判断AC与DE是否平行。 解：（1）依题意画出图形，如图，判断线段AC、DE所在直线互相平行，即AC/DE。 证明： PC与O相切于C点，PAB为O的割线 （2）连结BC 3.探究存在性型 例5、 已知：点A（）在抛物线上 （1）求抛物线的对称轴； （2）若点B与点A关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只交于一点B的直线。如果存在，求符合条件的直线；如果不存在，说明理由。 分析：要求过抛物线上点B且仅交抛物线于一点的直线，除了应用判别式解出直线外，不要遗漏与对称轴平行的这一条直线。 解：（1） 假设存在直线只有一个交点 过B且与抛物线的对称轴平行的直线是
9、，也与抛物线只有一个交点 所以符合条件的直线为4. 实验操作型数学不仅是思维科学，也是实验科学，通过实验操作，观察猜想，调整等合情推理，得到数学结论，近年来，各地中考试题常以此来考查学生的数学实践能力和创新能力，这种实验操作形式也是进行科学研究的最基本形式。 例6、 取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下： 第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图1； 第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为，得，如图2； 第三步：沿线折叠得折痕EF，如图3。 利用展开图4探究： （1）是什么三角形？证明你的结论； （2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由。 （1）证明：是等边三角形 证法一：由平行线分线段定理得PE=PA 斜边上的中线 证法二：完全重合 （2）不一定.由以上推证可知当矩形的长恰好等于等边的边AF时，即矩形的宽：长=AB：AF=时正好能折出。如果设矩形的长为a，宽为b，可知 当时，按此法一定能折出等边三角形； 当时，按此法无法折出完整的等边三角形。 由以上几例看出，解探索性问题实际是经历一次探索、发现、猜想、证明的思维过程，有利于培养和发展中学生的创新意识和实践能力，这类题型的训练要在七年级就开始抓起，让学生在思维上，对探究题型进行深入理解，通过老师的讲解和点拨，争取系统化！
