空间直角坐标系.doc

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1、二十一中校本课程初高中数学基础衔接题型训练例题分析知识要点目 录第一节 乘法公式与因式分解 01第二节 绝对值问题08第三节 二次根式 12第四节 一元二次方程根的判别式14第五节 一元二次方程根与系数的关系17第六节 含字母方程的解法20第七节 一次函数与反比例函数23第八节 二次函数27第九节 二次函数在给定区间上的最值 32第十节 简单的一元二次不等式35第十一节 一元二次方程的实根分布38第十二节 三角形43第十三节 四边形50第一节 乘法公式与因式分解【知识对接与升华】因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式的一种运算，它是中学代数变形的基础。在初中，我们已经学习了一些常用的因式

2、分解方法，如提取公因式法、运用公式法、分组分解法、添项、拆项法等。然而，对于一些稍微复杂的多项式问题，我们还要掌握下面的几种重要方法。一、公式法在初中，我们已经学习了一些常用的基本的乘法公式。下面的几个乘法公式在高中数学的学习中会经常用到：1， 2，3 二、分组分解法分组法分解因式是因式分解的一种重要方法，四项或四项以上的多项式的因式分解，通常选用分组分解法。分组目的，就是为提公因式、运用公式与十字相乘等方法创造条件 （1）按有公因式分组如分解因式原式=（2）按系数特征分组如分解因式原式=（3）按乘法公式分组如分解因式原式=（4）按指数特征分组如分解因式 原式= )（5）提公因式后再分组如分解

3、因式原式=（6）选取主元再分组如分解因式 选取a为主元，则原式= =（7）先展开再分组如分解因式原式=（8）先拆项再分组如分解因式原式=（9）先添项再分组如分解因式原式=（10）先换元再分组如分解因式设 ，则原式=三、十字相乘法我们知道，；反过来就得到的因式分解形式，即。我们发现，二次项系数，把1，3，2，5写成1 23 5后发现152311上面的例子启发我们：反过来，就得到二次项系数，常数项，把排列如下： 这里按斜线交叉，再相加，就得，正好就是一次项系数。像这种借助画十字交叉分解原理，从而把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。十字相乘法还可以拓展到双十字相乘法。这是二次六项式分解因

4、式的一种方法：所有的二次项为一组、一次项为一组、常数项为一组，分成“三、二、一”式，如：分解因式原式 3 1四、综合除法（一般除法）我们将的一元次多项式记为，即，并记时，多项式的值为。（1）余数定理：多项式除以所得的余数等于.（2）因式定理： 如果时多项式的值为零，即，则能被整除，即含有的因式。对于项数较多次数较高的多项式可考虑用这种综合除法。例如，证明是多项式的一个因式。 因此五、待定系数法例如前面讲到的分解因式可以把前三项分解成，然后引入待定的参数用恒等原理去解。设原式比较展开式与原式的系数可得：，故原式。六、换元法换元法是分解因式的一种重要方法。常见的换元形式有整体换元、局部换元、均值换

5、元、和差换元等形式。【例题导航与剖析】【例1】 分解因式：【例2】 分解因式：【例3】 为何值时，能分解因式？【例4】 分解因式：【例5】 分解因式【例6】 已知，求的值。【练习强化与提升】1、分解因式（1）； （2）；（3） （4）；（5） （6）。2、设，求的值。3、计算（1）；（2）4、已知是二元二次式的一个因式，求的值。5、长方形的周长为16cm，它的两边，求它的面积。6、是整数，且能被3整除，求证：能被9整除。第二节 绝对值【知识对接与升华】绝对值是初中代数中的一个基本而重要的概念，它的引入借助于数轴，充分体现了数形结合思想。在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式、解方程和解

6、不等式中，经常会遇到含有绝对值符号的问题。绝对值与分类讨论思想、数形结合思想等有着广泛而深入的联系。在高中，将会进一步研究绝对值不等式的性质和绝对值不等式的解法。1、绝对值的概念设是实数，则 2、绝对值的基本性质（1）， ， ；（2）， ；（3）（当且仅当时取“”；当且仅当时取“”）；（4）当时，当时， 当时，；当时，。3、绝对值的几何意义（1）的几何意义：在数轴上，表示数的点与原点之间的距离。 的几何意义：在数轴上，表示数的点与表示数的点之间的距离。（2）由绝对值的几何意义，当时， 或。（3）设，当且仅当时，取最小值。（4）设，；。4、多个绝对值的和与差的问题，一般用“零点分段讨论法”处理，

7、这是一种基本而重要的方法。例如：化简找零点：令得；令得；分段：两个零点，2将整个数轴分成三个部分：，；分别对每一段进行化简：当时，原式当时，原式当时，原式故原式 【例题导航与剖析】【例1】 已知，求的值。【例2】 如果，那么代数式在的最小值是 （ ）A、30 B、0 C、15 D、一个与有关的代数式【例3】 已知，记，求证：【例4】 解方程：【例5】 若满足的恰有10个整数，求的最小值。【例6】 若为整数，且，试计算的值。【例7】 试求取得最小值时的值。【练习强化与提升】1的解的个数是 （ ）A、1 B、2 C、3 D、42已知都是负数，且，则是 （ ）A、正数 B、非负数 C、负数 D、非正

8、数3若且，则等于 （ ）A、4或16 B、16或0 C、4或0 D、44已知实数满足，则的值为 （ ）A、0 B、3 C、6 D、95若实数使得这四个数中的三个数相等，则的值等于 （ ）A、 B、 C、 D、6已知实数满足,则为 。7若且，求的值。8若与互为相反数，求的值。9已知有理数满足，求的值。10解方程11某环形道路上顺次有四所中学它们分别有彩电15台，8台，5台，12台。为使各校彩电数相同，允许一些中学间相邻中学调出彩电。问怎样调配才能使配出的彩电总台数最少？并求调出彩电的最少总台数。12解下列方程（1）；（2）。.第三节 二次根式【知识对接与升华】形如（a0）的式子叫做二次根式。二次

9、根式是初中数学教学的难点内容。对于二次根式的化简，除了掌握基本概念和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，如分子、分母有理化、构造对偶式等，常常会收到事半功倍的效果【例题导航与剖析】【例1】 （1）设则 （2）计算= 【例2】 化简（1）； （2）.【例3】 化简（1）； （2）。【例4】 求证：(x4)。【例5】 化简：【练习强化与提升】1选择题（1）化简代数式的结果是（ ） A. B. C. D. （2）已知,其中,那么的大小关系是( ) A. B.; C. D.2填空题（1）已知，化简得 （2）已知:对于正整数n,有，若某个正整数k满足,则=_3计算：。4化简：5化简：(1) (2)

10、 6.化简：7化简：8. 比较与的大小.9.已知，当时，求的值。10.已知，求的值。第四节 一元二次方程根的判别式【知识对接与升华】1.一元二次方程的根的判别式。中，0方程有两个不等实数根.中，=0方程有两个相等实数根.中，0方程没有实数根.2判别式的逆用。中，方程有两个不等实数根0。中，方程有两个相等实数根0。中，方程没有实数根0。3注意：（1）使用判别式之前一定要先把方程化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。（2）如果说一元二次方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时切勿丢掉等号。（3）根的判别式的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含

11、条件a0。4抛物线与x轴的交点抛物线与x轴的交点 （）当y=0时，即有，要求x的值，需解一元二次方程。可见，抛物线与x轴的交点的个数是由对应的一元二次方程的根的情况确定的，而决定一元二次方程的根的情况的，是它的判别式的符号，因此抛物线与x轴的交点有如下三种情形： 当时，抛物线与x轴有两个交点，若此时一元二次方程的两根为x1、x2，则抛物线与x轴的两个交点坐标为；当时，抛物线与x轴有唯一交点，此时的交点就是抛物线的顶点，其坐标是；当时，抛物线与x轴没有交点。5利用根的判别式解有关抛物线（0）与x轴两交点间的距离问题。抛物线（0）与x轴两交点间的距离，是对应的一元二次方程的两根差的绝对值。它有以下

12、表示方法：。如：当为何值时，函数图象与x轴的两个交点间的距离是3？令，得方程，设这个一元二次方程的两根分别为，则由得。进而得，。 当时，图象与x轴两个交点间的距离是3。【例题导航与剖析】【例1】 已知方程没有实数根，其中是实数试判定方程有无实数根【例2】 已知为的三边，当m0时，关于的方程有两个相等的实数根。求证为Rt。【例3】 是实数，且，。求证：。【例4】 已知实数满足条件.求证：一元二次方程必有实根. 【例5】 若代数式是一个完全平方式，求m的值。【例6】 的一边长为5，另两边长恰是方程2x2-12x+m=0的两个根，求m的取值范围【练习强化与提升】1.求证：方程没有实数根。2已知关于x

13、的方程x2+(2m+1)x+(m-2)2 =0，m取什么值时，方程有(1)两个不相等的实数根? (2)两个相等的实数根? (3)没有实数根?3若关于x的方程x2+2(a+1)x+(a2+4a-5)=0有实数根，试求正整数a的值.4.（1）若关于a的二次三项式是一个完全平方式，则的值可能是 。（2）若关于的二次三项式是一个完全平方式，则的值可能是 。5求方程14x2-4xy+11y2-88x+34y+149=0的实数解.6 试问:二次函数y=(m2+1)x2-2mx+m2+4的图像与x轴交点情况如何?7. 若ABC的三边a、b、c满足b+c=8,bc=a2-12a+52,判断此三角形的形状。8在

14、ABC中，BAC=900,ADBC于D，BC=c ,AD=h ，求证：。9设a、b、c是实数，求证：a2+ac+c2+3b(a+b+c)0，并指出等号何时成立。第五节 一元二次方程根与系数的关系【知识对接与升华】1一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） 如果方程ax2+bx+c=0 （a0）的两个实数根是，那么 . 2当一元二次方程的二次项系数为1时，设x1、x2是方程x2+px+q=0的两个根，则 x1+x2= -p，x1x2=q（韦达定理的推论） 3韦达定理逆定理 以两个数x1、x2为根（二次项系数为1）的一元二次方程是x2-(x1+x2)x+x1x2=0。 一般地，如果有两个数x1、x

15、2 满足， 那么x1、x2必定是一元二次方程的两个根.4. 利用韦达定理，不用解方程就可以迅速地求出两根之和与两根之积，但要注意就目前来说在实数范围内一元二次方程ax2+bx+c=0的根与系数的关系成立的前提条件：（1）是在一元二次方程的条件下，即注意二次项系数a0 ；（2）方程有两个实数根x1，x2存在，在使用韦达定理解题时，要以判别式为前提条件，否则，容易出错。5韦达定理 的变形及应用。 6.若x1、x2是方程的两根，则（1）当，且时两根同号 若，则两根同正； 若，则两根同负。（2）若时，两根异号 若时，两根异号且正根的绝对值较大； 若时，两根异号且负根的绝对值很大。【例题导航与剖析】【例

16、1】 如果方程x2+kx+1=0的一根是，另一根是，求的值。【例2】 已知方程 的两个实根为x1，x2，且，求k的值。【例3】 已知关于x的一元二次方程与有一个相同的根，求的值。【例4】 已知关于x的方程px2-x+q=0的两根为x1,x2，且，试说明方程的两根x1,x2都是正数。【例5】 在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,E是DC上一点，AEB=900（1） 求AE的值；（2）求AE+BE的值；（3）求证：AE，BE是方程的两个实根。【例6】 若，是方程x2+x-1=0的两根，求证：(1) ,; 【练习强化与提升】1已知关于x的方程的两根的绝对值相等，那么m= 。2已知、是的两根，且满足

17、，求的值。3已知关于x的方程的两个实数根为x1,x2，问是否存在正实数 m，使方程的两个实数根的平方和等于224？说明理由4已知是方程的两个根，求下列代数式的值（1） ; （2） ; （3） ; （4） . 5已知关于x的方程的两根之和不小于-4，求的范围。6已知关于x的方程有两个实数根，且这两个根的平方和比两根积大21，求m的值。7已知、是方程x2-x-1=0的两个实数根，不解方程，求a4+3的值。 8. 如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的二根之比为2:3,求证：6b2=25ac.9. 实数x、y、z满足x=6-y ， z2=xy-9 ，求x2+y2+z2的值。第六节含字母的方程

18、的解法【知识对接与升华】解含有字母的方程的方程时，常常要进行分类讨论，在讨论时，要做到不不漏。可化为均为常数）型的方程（1）当时，原方程的解为；（2）当，时，原方程有无数多个解，解为任意实数；（3）当，时，原方程无实数解。2可化为为常数）型的方程(1) 当时，原方程即为，可按上面的方法分类讨论求解；(2) 当时,看二次方程的判别式时，原方程没有实数根；时，原方程有两个的实数根；时，原方程有两个不同的实数根：，3含字母的分式方程解含字母系数的分式方程，它的解法和步骤与解分式方程没有区别，都是先把分式方程转化为整式方程。在分清哪些字母表示未知数，哪些字母表示常数的情况下，对字母所表示的数值区别不同

19、的情形分类讨论，分别确定方程的解，最终获得完整的解答。4可化为 型的方程由得由得（1） 当时，原方程组有唯一解 （2） 当时，原方程组有无穷多组解。（3） 当时，原方程组无解。【例题导航与剖析】【例1】 解下列关于的方程 （1）（2）【例2】 解关于的方程：。【例3】 解关于的方程： 。【例4】 解关于的方程组【例5】 解关于的方程 【练习强化与提升】1关于的方程的解是 （ ）A.任意数 B. C. D. 2解下列关于的方程：（1）；（2）；（3）。3解下列关于的方程：（1）；（2）.4解关于的方程： 。5已知方程有一个负根而没有正根，求的取值范围。6关于的方程的解是1,求的取值范围；若关于的

20、方程的解是0,求的值。7若关于的方程组有无穷多组解，求的值。8关于的方程组有解，求的值。9（1）为何值时，关于的方程的解等于零？ （2）为何值时，关于的方程会产生增根？第七节 一次函数与反比例函数【知识对接与升华】函数概念的产生，使数学从研究常量数学转变为变量数学，使传统的方程、不等式以及几何的研究在思想方法上得到了深刻的变化。在平面直角坐标系内，点与有序实数对之间就建立了一一对应关系，从而建立起了函数与坐标平面内图形的联系，使数与形有机地结合起来。1 一次函数和反比例函数（为不等于0的常数）是最基本的初等函数，一次函数是日常生活中匀速变化的两个变量之间的数学模型，常见的有运费最省、方案最优等

21、题型。2一次函数的图象是一条直线，它与x轴的交点为,与轴的交点为.当0时,直线从左至右是呈上升状态（即随的增大而增大）；当时,直线从左至右是呈下降状态（即随的增大而减小）.当时为正比例函数，确定一次函数的解析式通常需要两个独立条件。3反比例函数的图象是双曲线。当0时，图象在第一、三象限，图象的每个分支随的增大而减小；当0时，图象在第二、四象限，图象的每个分支随的增大而增大，反比例函数图象的两条渐近线是坐标轴，对称轴是直线。4一次函数的一个重要性质保号性设一次函数。当时，有，当时，有。一次函数的保号性在高中数学中有着重要作用。【例题导航与剖析】【例1】 已知取什么值时，是正比例函数；是反比例函数

22、。【例2】 如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，且与反比例函数的图象在第一象限交于点，垂直于轴，垂足为。若（1）求点的坐标；（2）求一次函数和反比例函数的解析式。【例3】 一次函数（为正整数）的图象与轴、轴的交点分别是为坐标原点，设的面积是。求：（1）; .【例4】 如图，已知直线与轴、轴的交点分别为，又两点的坐标分别为(其中)，再以点为圆心，长为半径作圆。 （1）当取何值时，圆与直线相切？（2）说出在什么范围内取值时，圆与直线相离？相交？（只须写出结果，不必写出解答）【练习强化与提升】1.某人骑车沿直线旅行，先前进了千米，休息了一段时间，又原路返回千米，再前进千米，则此人离起点的

23、距离与时间（ ）2.点是平面直角坐标系的两定点，C是的图象上的动点，则满足上述条件的直角三角形ABC可以画出（ ）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个3.一次函数，当，对应的的值为，则的值为 4、如图，直线与轴、轴分别交于、两点，把沿AB翻折，点O落在处，则点的坐标是 。5.如图，的项点是A是双曲线与直线在第四象限的交点，轴于B，且.（1）求这个函数的解析式；（2）求直线与双曲线的两个交点A，C的坐标和的面积。6.若关于的方程有三个整数解，求的值。7.已知反比例函数的图象和一次函数的图象都经过点.（1）求这个一次函数的解析式；（2）如果等腰梯形ABCD的顶点A、B在这个一次函数的图象上，顶点

24、C、D在这个反比例函数的图象上，两底AD、BC与y轴平行，且A和B的横坐标分别为和，求的值。8.如图，已知C、D是双曲线在第一象限内的分支上的两点，直线CD分别交轴、轴于A、B两点，设C、D的坐标分别是，连结。（1）求证：；（2）若，求直线CD的解析式；（3）在（2）的条件下，双曲线上是否存在一点P，使得？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由。第八节 二次函数【知识对接与深化】二次函数是中学代数的基本内容之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延。作为最基本的初等函数，可以以它为素材来研究高中数学中函数的单调性、奇偶性、最值等性质，还可建立起函数、方程 、不等式之间的有机联系；作为抛物线，可以联

25、系其它平面曲线，讨论相互之间关系。这些纵横联系，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题。同时，有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系，是进入高校继续深造的重要知识基础。学习二次函数，可以从两个方面入手：一是解析式，二是图像特征。从解析式出发，可以进行纯粹的代数推理，这种代数推里、论证的能力反映出一个人的基本数学素养；从图像特征出发，可以实现数与形的自然结合，这正是中学数学中一种非常重要的思想方法。1二次函数的解析式（1）一般式：如果已知二次函数图像上的三点坐标，可用待定系数法确定系数，进而求出解析式。（2）顶点式： ，其中是抛物线的顶点。（3）零点式： ，其中是抛物线与

26、轴交点的横坐标，即方程的两个实根。若 ，的两个根为 ，则 。2二次函数的基本性质（1）二次函数 的图像是抛物线。抛物线形状大小和开口方向，仅仅与有关，越大，图像开口越小。抛物线的对称轴方程是，顶点为。（2）当时，抛物线开口向上，函数的值域是，当时，的图象是下降的（即为减函数），当时，的图象是上升的（即为增函数）；当时，抛物线开口向下，函数的值域是 ，当时，的图象是上升的（即为增函数）当时，的图象是下降的（即为减函数）。（3）当时，函数的图象与轴有两个不同的交点，它们分别是 ， ；时，函数的图象与轴有两个重合的交点，这时也称抛物线与轴相切；当时，函数的图象与轴没有交点。（4）二次函数的最值： 。

27、若，当时，取最小值为 ；若，当时， 取最大值为。如果且 ，要求的最大（小）值，则需要比较当时的值，才能确定的最值。（5）抛物线与轴的交点情况由它对应的二次方程的根的情况确定，抛物线在轴上截得的线段长又可称为抛物线被轴截得的弦长，其弦长为 。（6）抛物线的凸性也有一定用途。时，函数的图象是下凸形曲线，即对于任意，有；时，函数图象是上凸形曲线，即对于任意实数，有。利用二次函数图象的凸性和单调性，在某些与二次方程的范围有关的问题中可避免使用判别式和求根公式。3四个“二次”之间的内在联系与二次函数有关的还有二次三项式、一元二次方程、一元二次不等式。其实二次三项式本身就是所含字母的二次函数；一元二次方程

28、则是二次函数当函数值时的特殊情况；一元二次不等式或则是二次函数函值或特殊情况，所有这些情况都与判别式的符号有关。下面以时为例，揭示这“四个二次”之间的内在联系：抛物线与轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等的实数根一元二次不等式的解在两根之间或两根之外。抛物线与轴有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根。抛物线与轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根。【例题导航与剖析】【例1】 已知二次函数的图象如图所示，判断，的符号。【例2】 已知二次函数的解析式的图象的对称轴是直线，且它的最高点在直线上。（1）求此二次函数的解析式；（2）若此二次函

29、数的图象的形状大小及开口方向不变，顶点在直线上移动到点M时，图象与轴交于A、B两点，且，求此时二次函数的解析式。【例3】 设时，二次函数有最大值5,二次函数的最小值为2,且， 。求的解析式和值 。【例4】 设二次函数，方程的两个根满足，当时，证明 。【例5】 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于两点，与轴交于点，其中点在点的左边，若。（）求点的坐标及这个二次函数的函数解析式；（）设计两种方案，作一条与轴不重合、与两条边相交的直线，使截得的三角形与相似，并且面积为的，求所得的三角形的三个顶点。【练习强化与提升】1已知函数的自变量的取值范围是所有实数，则的取值范围是 2已知二次函数图象与轴

30、有两个交点，顶点为C，若，则 。3已知二次函数，当时取最大值 10,且它的图象在轴上截得的弦长为4,试求二次函数的解析式。4已知函数的图象与轴相交于相异的两点，另一抛物线过点，顶点为，且是等腰直角三角形，求的值。5已知二次函数的图象的顶点是C，它与轴两个不相同的交点是、。(1)若点C的横坐标是3, 间的距离是8,求方程的根；(2)若点C到轴的距离等于两点距离的倍，求证：。6如图，已知抛物线与轴交于两点，点D平分，若在轴上侧的点为抛物线上的动点，为锐角，求的取值范围。117二次函数的图象的一部分如图所示，求的取值范围。8已知二次函数（为正整数）图象经过点与点，且与轴有两个不同的交点。求的最大值。

31、9已知二次函数的图象与轴有两个不同的公共点，若，且当时，。（1）试比较与的大小；（2）证明 。10已知二次函数的图象与轴交点为（点在点的右边），与轴的交点为。（1）若是直角三角形，求的值 。（2）在中，若，求的正弦值。（3）设的面积为，求为何值时，有最小值，并求出这个最小值。11已知（1）；（2）当时， ；（3）当时，有最大值2，求的解析式。第九节 二次函数在给定区间上的最值【知识对接与升华】1区间的概念设a、b是两个实数，而且ab，我们规定： 满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为a，b； 满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，表示为（a，b）； 满足不等式axb或axb的实数

32、x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为a，b，（a，b。2二次函数是最简单的非线性函数之一，自身性质活跃，同时也经常作为其它函数的载体。二次函数最值问题是高中数学中常常遇到的问题，二次函数在某一给定范围上的最值问题，是初中二次函数内容的继续和发展，随着区间的确定或变化，以及在系数中增添参变数，使其又成为高考数学中的热点。设二次函数（不妨设），它的图象是顶点为，对称轴为且开口向上的抛物线。由数形结合可得在m，n上的最大值或最小值：（1）当，即时，则的最小值是的最大值是中的较大者。（2）当时，若，则的最小值是，最大值是;若，则的最大值是，最小值是。对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论图像开口向上还

33、是向下，都只有以下两种结论：（1）若，则，；（2）若，则，。当二次函数图像开口向上时，自变量的取值离开对称轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数图像开口向下时，自变量的取值离开对称轴轴越远，则对应的函数值越小。【例题导航与剖析】【例1】 函数在区间0，3上的最大值是_，最小值是_。【例2】已知，且，求函数的最值。【例3】已知，求函数的最值。【例4】如果函数定义在区间上，求的最小值。【练习强化与提升】1求的最值。2当x2+2y2=1时，求2x+3y2的最值； 3当3x2+2y2=6x时，求x2+y2的最值。 4已知的最值。5求函数y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5在-3,3

34、上的最小值。 6时，二次函数有最大值0。试求值。7求函数的最小值。8. 已知的最小值为，用表示。第十节 简单的一元二次不等式【知识对接与升华】1形如或 (a0)的不等式叫作一元二次不等式一元二次不等式的解法与二次函数、一元二次方程的根之间有着密切的联系。2解一元二次不等式的常用方法。（1）利用二次方程和二次函数求解。步骤是：把二次项的系数变为正（如果是负，把系数变为正）。解对应的一元二次方程（先看能否因式分解，若不能，再看，然后求根）。求解一元二次不等式（根据一元二次方程的根及不等式的方向）。（2）转化为一元一次不等式组等求解。例如，解不等式：。方法1 解方程，得，因为二次函数的开口向上，且与

35、轴交于点，作出草图，可得原不等式的解为。方法2 原不等式可以化为，因为，从而得原不等式解为。3二次方程、二次函数、二次不等式三者之间的联系。判别式一元二次方程（）的根有两个不相等的实数根（）有两个相等的实数根没有实数根二次函数（）的图像一元二次不等式（）解所有实数（）解无实数解无实数解【例题导航与剖析】【例1】 解下列不等式：（1） ；（2）；（3）【例2】 解关于的不等式：【例3】 设a为参数，解关于的不等式：x2(a+3)x+3a0【例4】 解关于的不等式：【例5】 解关于的不等式：【练习强化与提升】1解下列不等式： （1） ； （2） ；（3） ； （4） 。2若满足，化简 。 3解关于

36、的不等式：。 4解关于的不等式：。5解关于的不等式： 。6解关于的不等式：。第十一节 一元二次方程根的分布【知识对接与升华】一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。一、函数与方程思想若=与轴有交点()=0；若=()与=()有交点(，)=有解。二、一元二次方程根的基本分布零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。设一元二次方程（）的

37、两个实根为，且。【定理1】，(两个正根)，推论：，或上述推论结合二次函数图象不难得到。例如：若一元二次方程有两个正根，求的取值范围。依题意有，得03）【定理3】例如：在何范围内取值，一元二次方程有一个正根和一个负根？依题意有03。【定理4】 ，且；，且。例如：若一元二次方程有一根为零，则另一根是正根还是负根？由已知3=0，=3，代入原方程得3+5=0，另一根为负。三、一元二次方程的非零分布分布设一元二次方程（）的两实根为，且。为常数。则一元二次方程根的分布（即，相对于的位置）有以下若干定理。【定理1】【定理2】。【定理3】。推论1 。推论2 。【定理4】有且仅有一根满足（或）【定理5】或【定理

38、6】或【例题导航与剖析】【例1】 当m取什么实数时，方程+(m-2)x+(m-5)=0分别有: 两个正实根； 一正根和一负根；正根绝对值大于负根绝对值；两根都大于1.【例2】 已知方程2(k+1)+4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k的取值范围.【例3】 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围.(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围.【例4】 若关于x的方程有两个不同的实数根，且只有一根在1，2内，求的取值范围。【练习强化与提升】1.关于x的方程m+(2m+1)x+m=0有两个不等的实

39、根，则m的取值范围是：A.(-, +) B.(-,-) C. D.(-,0)(0,+).2.若方程-(k+2)x+4=0有两负根，求k的取值范围.3已知方程的两实根都大于1，求的取值范围。4若一元二次方程的两个实根都大于-1，求的取值范围。5.若一元二次方程的两实根都小于2，求的取值范围。6. 已知方程有一根大于2，另一根比2小，求的取值范围。 7. 若方程的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求的取值范围。 8关于x的方程，分别在下列条件下，求实数n的取值范围。（1）有一个根小于1，一个根大于1；（2）两根均在内。第十二节 三角形【知识对接与升华】一、三角形知识归纳1、三角形的分类（1）三角形按边分类（2）三角形按角分类2、三角形的边角之间的关系（1）三角形三内角和等于180；（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边.3、三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线.（1）三角形的角平