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1、向量法求空间距离湖北省通城县第二高级中学 何国雄向量融形、数于一体，具有几何形式和代数形式的“双重身份”，向量成为中学数学知识的一个交汇点，空间向量将空间元素的位置关系转化为数量关系，将过去的形式逻辑证明转化为数值计算，化繁难为简易，化复杂为简单，成为解决立体几何问题的重要工具。1.异面直线的距离分别在直线上取定向量求与向量都垂直的向量，分别在上各取一个定点，则异面直线的距离等于在上的射影长，即。证明：如图1，设为公垂线段，取图2 2平面外一点P到平面的距离如图2，先求出平面的法向量，在平面内任取一定点，则点到平面的距离等于在上的射影长，即图3由于空间中任何向量均可由不共面的三个基向量来线性表
2、示，因此在解题时往往根据问题条件首先选择适当的基向量，把有关线段根据向量的加法、数乘运算法则与基向量联系起来。再通过向量的代数运算，达到计算或证明的目的。一般情况下，选择共点且不共面的三个已知向量作为基向量。例 1 如图3，已知正三棱柱的侧棱长为2，底面边长为1，是的中点，当时，求点到平面的距离。几何体中容易找到共点不共面且互相垂直的三个向量，于是有如下解法：解：当时，如图4 ，图4、，则，设向量与平面垂直，则有取向量在上的射影长即为到平面的距离，设为，于是 图5例2如图5，在正四棱柱中，已知，、分别为、上的点，且（）求证：平面；（）求点到平面的距离.分析：题中几何体易找到共点且相互垂直的三个
3、基向量，故可通过建立空间直角坐标系来达到解题目的。解：()以为原点，以、的正向分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则于是且 平面 （）由()知，为平面的一个法向量，向量在上的射影长即为到平面的距离，设为，于是故点到平面的距离为如果题中几何体不是长方体或正方体，则考察几何体中的线线垂直、线面垂直及面面垂直关系。 配套练习：图61、在三棱椎中，是边长为4的正三角形，平面平面，为的中点.（1） 求证 ；（2）求二面角的大小；（3）求点到平面的距离.图7 分析: 如图6，以中点为坐标原点, 以、的正向分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系即可得出各相关点的坐标 2、把正方形沿对角线折起成直二面角，点，分别是，的中点，点是原正方形的中心，求（）的长；（）折起后的大小分析：如图7，以点为坐标原点，以、的正向分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，并设正方形边长为即可得出各相关点的坐标 - 3 -
