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1、浅谈如何利用GeoGebra实现圆锥曲线问题的动态可视化一一促进高中学生数形结合思想的提升摘要：圆锥曲线是高中数学的核心内容，是考查学生学科素养的重要载体，一直是高考的热点和难点。然而，大部分高中学生在学习圆锥曲线这一块内容时深感困难，不仅在于其繁杂的运算，还在于其题目的综合性与动态性。如何使学生对圆锥曲线的学习感兴趣，加深学生对数形结合思想的理解是高中数学教学中亟待解决的事。GeoGebra是一款功能强大的动态可视化软件，其独特的代数区与几何区使得圆锥曲线的教学更加直观易解，同时可以极大地培养学生的学习兴趣和数形结合思想。关键词：GeoGebra软件，圆锥曲线，动态可视化，高中学生，数形结合
2、引言：基于信息技术的教育资源和教学手段日新月异，正在改变着数学教与学的方式。应充分发挥信息技术的作用，通过计算机软件向学生演示方程中参数的变化对方程所表示的曲线的影响，使学生进一步理解曲线与方程的关系.U1.可见，新课标理念指导下的圆锥曲线教学，是以学生发展为本，以思维训练为核心，以丰富的信息资源为基础，以现代信息技术为支撑，教师通过动态可视化软件的逐步演示“数”与“形”的变化的关系，获得知识技能上的提高，满足兴趣、情感等方面的需要，最终提高高中学生的数学核心素养，促进高中学生数形结合思想的提升。GeoGebra(Geometry+A1.gebra)(简称GGB)是一款结合几何、代数、概率统计
3、和微积分的免费动态数学软件，于2002年由美国佛罗里达州亚特兰大学的数学教授MarkusHohenwarter所设计。其名称由Geo+Gebra而来，暗示其兼具几何(Geometry)与代数(AIgebra)两大功能，它具有同时处理几何与代数动态变化关系的功能.圆锥曲线是数形结合的重要内容，学习圆锥曲线一方面要注意几何关系的转化，另一方面要注意引参代数化及代数变化。因此可以从以下几个方面培养学生的学习兴趣和数形结合思想：GeoGebra可逐步展开圆锥曲线图形的生成过程，加深学生对圆锥曲线图形的理解；GeoGebra可探究圆锥曲线的性质，探究圆锥曲线的离心率效果显著；GeoGebra在高考圆锥曲
4、线探究问题中，有利于学生理解这类问题的解题思路,提升数形结合的思想。-.GGB可逐步展开圆锥曲线图形的生成过程，加深学生对圆锥曲线图形的理解1.椭圆的生成过程X2y2以椭圆9+5=1为例进行说明：(1)打开GGB经典6,在“工具栏”中找到圆锥曲线中的椭圆，在“代数区”x2y2中输入椭圆9+5=1;(2)在“工具栏”中找到描点，在椭圆上任找一点为A点，在“代数区”中输入B(-2,0),C(2,0)；X2以双曲线3-y2=1为例进行说明：(1)打开GGB经典6,在“工具栏”中找到圆锥曲线中的椭圆，在“代数X2区”中输入双曲线3-y2=1;(2)在“工具栏”中找到描点，在椭圆上任找一点为C点，在“工
5、具栏”中描点A(-2,0),B(2,0)；(3)在“工具栏”中找到线段，连结线段AC,BC；(4)点击“代数区”中C的动画按钮，即可得到双曲线图形.以抛物线X2=4y为例进行说明：(1)打开GGB经典6,在“工具栏”中找到圆锥曲线中的抛物线，在“代数区”中输入抛物线X2=4y,输入函数y=-1;(2)在“工具栏”中找到描点，在抛物线上任找一点为C点，在“工具栏”中描点A(0,1),B(-2,-1)；(3)在“工具栏”中找到线段，连结线段AC,BC；(4)点击“代数区”中C的动画按钮，即可得到抛物线图形.二.GGB可探究圆锥曲线的性质，探究圆锥曲线的离心率效果显著1 .探究椭圆离心率对椭圆的影响
6、以X轴上的左、右顶点分别为（-4,0）、（4,0）的椭圆进行说明（1）打开GGB经典6,在“工具栏”中找到滑动条，在“代数区”中设置滑动条b数值从1到3；X2y2（2）在“工具栏”中找到圆锥曲线的椭圆，在“代数区”中输入16+b216-b2（3）点击“代数区”中的滑动条b的动画按钮，会发现随着滑动条b的数值逐渐从3减小到1,离心率e逐渐从0.66增加到0.96,而对应的椭圆越来越扁。越来越扁。2 .探究双曲线离心率对双曲线的影响以X轴上的左、右焦点分别为(-4,0)、(4,0)的双曲线进行说明(1)打开GGB经典6,在“工具栏”中找到滑动条，在“代数区”中设置滑动条b数值从1到3；X2y2(2
7、)在“工具栏”中找到圆锥曲线的双曲线，在“代数区”中输入16.后J16+b2=Ie=9(3)点击“代数区”中的滑动条b的动画按钮，会发现随着滑动条b的数值逐渐从1增加到3,离心率e逐渐从1.03增加到1.25,而对应的双曲线的开口变得越来越大。通过GGB的动态图形的展示，“代数区”中数值的变化与“绘图区”中的图形的变化。我们很容易得出结论：随着双曲线离心率的逐渐增大，双曲线的开口变得越来越大。3 .抛物线离心率为1保持不变，不做考虑三.GGB在高考圆锥曲线探究问题中，有利于学生理解这类问题的解题思路，提升数形结合的思想圆锥曲线探究问题在高考中主要涉及存在性问题和恒成立问题两大类。存在性问题可以
8、包罗万象，比如是否存在一点，使得图像满足一定的数量关系或位置关系；恒成立问题包括定点问题、定值问题等等。GGB在研究圆锥曲线问题可实现问题动态可视化，可以帮助我们提出猜想，发现规律，获取思路，提升学生数形结合的思想。1.圆锥曲线中的定点问题(2022年全国乙卷)20.已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为X轴、轴,且A(0,限q,1.6两点.过?e(A(1)求E的方程；(2)设过点P(1,2)的直线交于机N两点，过材且平行于X轴的直线与uuuruuur线段力少交于点7,点满足MT=TT1.证明：直线过定点.X2我y2们容易求出椭圆C的方程为3+4二1.研究第(2)题可以先画出几X2何动图，构图过
9、程是这样的：打开GGB经典6,在“代数区”中输入椭圆3+y234=1,点A(0,-2),B(2,-1)(1,-2),连接AB,在椭圆上任找一点N,直线PN与椭圆相交另一点为M,过M作直线与X轴平行交线段AB于点T,连接向量MT,使向量TH与向量MT相等，连接直线NH0要证明直线NH过定点我们似乎不知如何入手，点击B的按钮。我们会发现整个图动了起来，但在图动的过程中，我们会发现直线NH经过定点A(0,一2).因此，本题的解题思路大致可描述为：求出直线NH经过定点A(0,-2)o下面附上本题的解答过程供参考：32(2)A(0,2),(,1)所以ABy+=x,.+j-=-=1,若过点P(1,2)的直
10、线斜率不存在，直线X=I.代入34可得知(1方y=I-2,可得T-6+-)，由UmI得到H-(26+.).求得用V方VV=(226x.2，过点(0,2).nkx-y-(k+2)=联立,“2% O,得(3 2-1 kx2 - 6 (2 + kx4)+3(kk+4) = O ,.X可得J.8(2+.y I +y =3(4+ 2) 1S.xy2+ xy2=1 11.yy 2224 k4(4+44-2/riy=y3y联立，-，可得7(,+3iy)H(3y+-xy).122.二n=f2可求得此时HNy-y2 =将(0,2),代入整理得2(X+)-6(y+y2)+xy+xy-3yy2-12=O,12I12
11、211将(*)代入，得24%+Y+48-2A-48-48A+24&2-36G-48=0,显然成立,综上，可得直线V过定点(0,2).(2020年新高考I卷(山东卷)22.已知椭圆+*=1.)的离心aa2b2J率为2,且过点J(2,1).2(1)求。的方程：点M,N在。上，且AM1.ANfAD1.览,为垂足.证明：存在定点。，使得1。1为定值.x2我y?._们很容易求出椭圆C的方程为6+3=建研究第题，我们可以先画出几何动图，构图过程如下：打开GGB经典6,在“代数区”中输入椭面6y2+3=1,在椭圆上任取一点M,输入点A(2,1),连接AM；再过点A作线AM的垂涎交椭圆于点N,连接MN接着过点
12、A作直线MN的垂线交MN于点D,21输入点E(3,-)点，不妨记为点Eo虽然DE并不是定值，但图中目前有两个定点一一点A和点E,因而D在以AE为直径的圆上运动，因此，点D到圆心AE的中点的距离为定值。当点D与点E重合时，点D也在以AE为直径的园上。综上所述，AE的中点就是我们要找的点Q.3因此，本题的解题思路大致可描述为：先求出直线MN经过的定点E,再求出线段AE的中点Q,下面附上本题的解答过程：(2)设点MXy)Nx(,y2).ZCy2-1=0,因为加AMAN=C，即(-2)(x-2)(y-1.)6二0小入福阊方程消于V珏数抽徨.(+9V21r24mr+FM2-,(k2+1X2+-Ar-2)
13、(x+x)(w-1.)+=O、(km,2+1将代入，（i02）统0-1)+=0,于是J介的方程1.x所以直线过定点直线过定点代入(x-2)(x22)(-1力2-1)=。得(X-2)+-y2=0,2,1Qae41ge33.02 .圆锥曲线中的线段最值问题X22二(2022年浙江卷)21如图，已知椭设43是椭圆上异于圆.(1)求点到椭圆上点的距离的最大值;(2)求ICZ)I的最小值.我们可以先画出几何动图，构图过程如下：打开GGB经典6,在“代数X21区”中输入椭圆2+y2=1.,点P(0,1),点Q(O在椭圆上任找一点B,连接BQ交椭圆于另一点A；输入直线y二+、，连接直线pPB父直线V一；一X
14、+3于点C,D；连接线段CD,BPo通过点击B按钮，我们会发现整个图动了起来。在图动的过程中，“代数区”中的线段BP,线段CD也发生了相应变化，线段BP有最大值，线段CD有最小值。kx+ 1因此，本题的大致思路可描述为：(1)设”(Jf3cos,sin)是椭圆上任意椭线1工+3方程与PA、PB的方程分别一点,再根据两点间的距离公式求出IP2,(2)设直AB+x圆方程联立可得RXxI.21联立，可解得点。的坐标,出再根据两点间的距离公式求o下面附本题的解答过程:(1)设H (33 cos ,si)是椭圆上任意一点，尸(0,1),P2212COsBg+ -(1 sin )2131 Isin11.
15、2 14 14411 sin 1 a 4 +aeU 11 11，当且仅当Sinq =的最大值是:时取等号,故(2)设直线AM+1y = kx1联立,可得12Te0,设AXy(1 14qk +2当且仅,3时取等号,当故3 .圆锥曲线中三角形面积最值问题(2020新高考II卷(海南卷)21.已知椭圆H=Ia)过点C：a2b2(1)求。的方程;点W为椭圆上任意一点，求用仰的面积的最大值.我们很容易求出椭圆C的方程为16+y212=1.0研究第(2)题，我们可以先画出几何动图，构图过程如下：打开GGB经典6,在“代数区”中输入椭圆16+y212=1,点A(-4,0),M(2,3)；在椭圆上任找一点为N
16、,连接N,A,M三点构成三角形NAM；过N点作直线平行于线段AMo通过点击N按钮，我们会发现整个图动了起来。在图动的过程中，“绘图区”中的三角形NAM的面积也发生了相应的变化。由于线段AM的长度的固定不变的，所以当过点N的直线与椭圆相切于右下方时，所得到的三角形NAM的面积最大。因此，本题的解题思路大致可描述为：在椭圆上找到与线段AM平行的直线与椭圆相切的切点，取直线与椭圆相切于右下方的点。下面附上本题的解答过程：(2)设与直线4平行的直线方程x-2y=mfA1._如下图所示，当直线与椭圆相切时，与力财距离比较远的直线与椭圆的切点为N,此时川邠的面积取得最大值.1612可得：3(m+2y)2+
17、4y2=48,彳上简可得：16y2+12my+3m2-48=0所以D=1442-4163(m2-48)=0,即Zffi=64,解得f8,与4V距离比较远的直线方程：x-2y=8,直线AM方程为：x-2y=-4,点N到直线4犷的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可彳或4+4125由两点之间距离公式可AM= 得所以AAZV的面积的最大值：1，352(2+2=35.v12518（2021年高考全国乙卷理科）21.已知抛物Cx2=2P）N0）的焦点为F线（,且厂与圆M:炉+（、+4）2=1上点的距离的最小值为4.求；若点尸在M上，PA尸B是C的两条切线，AB是切点，求APAB面积的最大
18、值.我们很容易求出抛物线C的方程为X2=4yo研究第（2）题，我们可以先画出几何动图，构图过程如下：打开GGB经典6,在“代数区”中输入抛物线X2=4y,圆X2+（y+4）2=1;在圆上任找一点为P,过P作抛物线的切线切点分别为A,B,连接P,A,B三点构成三角形PAB；过P点作直线PC垂直于线11段AB交于点C,连接线段PC；则三角形的面积S=2PC*AB,即S=2p*io图区”中的三角形PAB的面积也发生了相应的变化，在“代数区”中s的数值也同步发生变化。再观察中，我们会发现当P点运动到（0,-5）时，“代数区”中s的数值显示最大。此时，既是三角形PAB的面积最大值。点的坐标。常将圆锥曲线
19、的最值问题转化为二次函数或三角形的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值.下面附上本题的解答过程：（2）抛物线C的方程为E=4y,即匕;*，对该函数求导得/二；，设点AXy）、Bx,乃）、Px,）,由于点P为这两条直线的公共点，贝心”“2,21.I-Iv1.&1.，1，-X-H-1.I-Ji-T1.tiy_2y=O联立._,可得/-2C+4y=0,v=aCC点P到直线AB的距离为d=I5参考文献1中华人民共和国教育部，普通高中数学课程标准：2017年版2020年修订M.一一2版.一一北京：人民教育出版社，2020.5：99,452徐敏霞，基于GeoGebra的高中数学探究教学研究一一苏州大学硕士学位论文，2016：23吴中才，信息技术在数学教学中的应用M.上海：华东师范大学出版社,2021：1504中国高考报告学术委员会编，高考试题分析.数学M.北京：现代教育出版社,2021.1（2021.12重印）：207
