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1、中考数学二次函数的三个热点问题重庆市北碚区江北中学 刘伟（400714）二次函数是中学阶段最重要的内容之一，二次函数是每年中考必考和重点考查的内容。命题的形式有选择、填空、解答题，选择题常考查二次函数的图象问题，而解答题形式多样，但多以求二次函数解析式为基础。常考的知识点是二次函数的概念、图象、性质和应用，其中的三个热点问题是图象和系数之间的关系，利用待定系数法求二次函数解析式及二次函数的应用问题。一、二次函数yax2bxc（a0）的系数符号与图象抛物线yax2bxc之间的关系二次函数yax2bxc（a0）的系数符号与抛物线yax2bxc有着密切关系根据抛物线的形状来判断a、b、c的符号，也可
2、以根据系数a、b、c的符号可确定抛物线yax2bxc的大致形状抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：（1）的符号：取决于开口方向；（2）的符号：取决于对称轴的位置和的符号；（3）的符号：取决于抛物线与y轴的交点位置；（4）的符号：取决于抛物线与x轴的交点个数；（5）a+b+c的符号：由x=1时抛物线上的点的位置确定；（6）a-b+c的符号：由x=-1时抛物线上的点的位置确定利用以上知识主要解决以下几方面问题：（1）由a,b,c,的符号确定抛物线在坐标系中的大致位置；（2）由抛物线的位置确定系数a,b,c,等符号及有关a,b,c的代数式的符号。例1 已知a0，b0，c0，那么抛物线y=ax2+b
3、x+c的顶点在（） A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限解析：由a，b，知，又由c0，知4ac-b20，所以，所以抛物线的顶点在第一象限内，故选A例 2 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图3所示，则下列关于a，b，c间关系的判断正确的是（）Aab0Bbc0Ca+b+c0Da-b+c0解析：由对称轴在y轴左侧，可知，进而可知ab0，故可首先排除A；由抛物线的开口向下，可知a0，再结合对称轴在y轴左侧可知b0，由抛物线与y轴交于负半轴，知c0，进而可知bc0，故可排除B；由x=1时，抛物线在x轴的下方，知当x=1时，y=a+b+c0，故可排除C；由x=-1时，抛物线在x轴的下方，知当x=
4、-1时，y=a-b+c0，故应选D二、用待定系数法求二次函数解析式求二次函数的解析式是解决函数综合应用题的基础和关键。二次函数解析式的确定一般有以下三种：1、一般式：已知x、y的三对对应值或给出三个点的坐标，可以将其中代入二次函数的一般形式，从而得出关于a、b、c的三元一次方程组，解之，再将求得的a、b、c代入一般式，即得二次函数的解析式；2、顶点式：已知抛物线顶点的坐标和x、y的一对对应值，可以将代入y=a（x+h）2+k，再将解得的a值和顶点坐标代回y=a（x+h）2+k，把它整理成二次函数的一般形式，即得到所求的解析式；3、交点式：已知相应方程两根和x、y的一对对应值，可将其代入：y=
5、a（xx1）（xx2），再将求得的a值和两根代回来，把它整理成二次函数的一般形式，即得到所求的解析式。对于所给题目，需要具体问题具体分析，灵活选择合适的方法，可以使问题快速得到解决。例3、根据下列条件，求出二次函数解析式：（1）图象经过（1，9），（1，3）和（3，5）；（2）图象的顶点坐标为（3，1），并且经过（4，1）（3）抛物线与x轴两交点之间的距离为2，且过（2，1），（1，8）两点。解：（1）设二次函数解析式为y=ax2+bx+c由于抛物线的图象经过（1，9），（1，3）和（3，5）三点 ab+c=9 a=1 所以 a+b+c= 3 解之得： b=3 9a+3b+c=5 c=5所以，
6、所求得的函数解析式为：y=x2+3x5（2）抛物线的顶点坐标为（3，1），设二次函数解析式为y= a（x3）21又抛物线经过（4，1）点，1= a（43）21a=2所求得的函数解析式为：y=2（x3）21即：y=2x212x+17（3）抛物线与x轴两交点之间的距离为2，设这两个交点为(x1,0)、(x1+2，0)，将其代入解析式y= a（xx1）（xx2）得：y= a（xx1）x(x1+2)把（2，1），（1，8）两点代入，得： a（2x1）2（x1+2）=1 a（1x1）1（x1+2）= 8，解得： x1=1 或者： x1= a=1 a= y=（x1）（x3）=x2+4x3，或y=（x）（x
7、）=x2+x因此，所求的二次函数解析式为y=x2+4x3或y=x2+x说明：解决这类问题的关键是根据已知条件，合理选择恰当的待定形式，计算就比较简捷。记住二次函数的基本形式，并能灵活一应用，对我们解题是十分有益的三、二次函数的应用问题从近几年各地的数学中考试卷来看，函数类应用题所占的比例相当大，函数类应用题，已成为各地中考命题的热点。这类问题通常是从函数图象或图表中得出需要的信息,然后利用待定系数法求出函数解析式，再利用解析式解决问题。例4某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱（1）求平均每天销售量（箱）与销售价（元/箱）之间的函数关系式（2）求该批发商平均每天的销售利润（元）与销售价（元/箱）之间的函数关系式（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解：（1）化简得：（2）（3），抛物线开口向下当时，有最大值又，随的增大而增大当元时，的最大值为元当每箱苹果的销售价为元时，可以获得元的最大利润点拨：通过分析题中的数量关系直接得出函数解析式，再进行应用，这种数量关系型的函数应用题在近几年的中考试卷中也经常出现。.
