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1、一道抛物线背景中考压轴题的命制与反思农学宁（南宁市教育科学研究所）摘要：压轴题在中考试卷中凸显选拔功能，位于试卷的最后部分，属于跨领域问题，思维层次较高，区分度较大，需综合运用多方面知识解决，往往涉及分类讨论，数形结合等数学思想，对学生的数学素养提出了较高的要求，需要学生抓住变化中的不变量，注重对学生动手能力和自主探索能力的考查。数与代数部分的核心内容是函数，图形与几何部分的核心内容是图形，函数模型是对数量与图形对应关系刻画，用函数的思想刻画图形的变化规律是初中数学最核心的内容，这也反映出函数的本质。近几年来，中考题大多是以二次函数的图象即抛物线为背景的压轴题，现就2013年南宁市中考题26题
2、的编制过程与思考。关键词：抛物线；压轴题；命制与反思义务教育数学课程标准(2011年版)在课程总体目标中明确提出了“四基”；基础知识，基本技能，基本思想和基本活动经验，突出了培养学生创新精神和实践能力，这也是中考命题必须遵循的准则，利用函数刻画动态几何图形的综合问题，具有较好的区分度，运动的图形问题集代数、几何知识于一体，综合考查学生利用函数模型解决图形变化问题的能力。一、试题呈现题目（2013年广西南宁卷第26题）如图14，抛物线经过C（2，0）、D（0，-1）两点，并与直线交于A、B两点直线过点E（0，-2）且平行于轴，过A、B两点分别作直线的垂线，垂足分别为点M、N（1）求此抛物线的解析
3、式；（2）求证：AOAM；（3）探究：当时，直线与轴重合，写出此时的值；试说明无论取何值，的值都等于同一个常数【解析】（1）将点C（2，0），D（0，-1）代入得： 解得：抛物线的解析式为：（2） 过点A作AG垂直于y轴，垂足为点G.设点A的坐标为，则AO、AM的值均为正数AO=AM（3） 当k=0时，直线AB与x轴重合，且ABMN，则AM=2，BN=2当k0时，延长AG，交BN于点H由（2）可知AO=AM，同理可证：BO=BN设AO=AM=m，BO=BN=nBNOE AGOAHB 即整理得：m+n=mnm0，n0，两边同除以mn得： 即：当k0时，同理可证：综上所述，无论k取何值，的值都等于
4、同一个常数二、 命制的过程（一）编制题目的最初动机近几年来，全区各地的中考压轴题均是以抛物线为背景的形式出现，主要的命题方向是动点问题，函数的最值问题、三角形与四边形的动态分类问题。主要考查二次函数的求解析式，求二次函数的最值，基本几何图形的性质。从而体现数形结合与分类讨论的思想。然而这样“架构”的试题已经是铺天盖地，通过之前的调研笔者发现，不少学校都已经进行了这类题型的模式化训练。所以如果今年的中考题仍然是以这类题型出现的话，势必会使得教师们在以后的教学中有一种题海战术的导向，同时压轴题的选拔性也就不能充分的体现出来。另外，由于南宁市的中考肩负着毕业与升学的两项任务，因此在试题的命制上就要考
5、虑到基础知识的掌握和初高中的衔接问题。（二）编制题目的陈题起点 编制试题的起点主要是受到以下两道高考题的启发：题目1：（2000年全国高考卷第11题）过抛物线y=ax2 的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与PQ的长分别是p、q，则等于（ ）(A)2a(B)(C)4a(D)题目2：（2001年全国高考卷第20题）设抛物线y2 =2px (p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴证明直线AC经过原点O（三）编制题目的策略与方法编题之初的主要思路是：避开近年来在抛物线背景下的常见题型，如动点问题，面积或周长的最值问题，由动点而产生的图形分类
6、问题等。这些类型的问题在学生的平时训练中必然已经进行了大量的强化训练，如果还是这种类型的问题，则这道就失去了选拔的意义。另外，对于定值型问题的设问，在本市的中考中还没有出现过，具有一定的数学思维价值。将高考数学试题改编这中考试题，最重要的是解题的方法与策略，使它既可以用高中的知识与方法解决问题，同时也可以用初中范围内的知识与方法解题，不能超出课标的要求。以下的两道高考题可能会在以下几个方面引起学生的解题困难。1.高考题的语言陈述一般比较简洁，学生没有学过“抛物线y=ax2 的焦点”和“开口向右的抛物线”的知识。这会给学生造成一定的理解题意的困难。.高考题中运用的核心知识点是：抛物线的定义，这在
7、初中是没有的知识点。所以要解决最终的问题就要先证明“抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等”这一结论。.定值问题常常是数学中的变与不变的问题，在高中的知识点里是可以通过设元的方法解决的，而这种方法会用到二次函数的判别式和韦达定理，把几何问题通过代数运算而得以解决。二次函数的判别式和韦达定理这两个知识点在初中的教材学习中要求已经削弱了，这样使得学生只能用几何证明的方法去解，则会使学生有比较大的难度。试题改编的方法：首先，给出两个特殊点求解析式，这样主要是考查学生比较熟悉的待定系数法，从而可以降低试题的难度，也使学生有一定的信心去接触后面的问题。其次，设制第（2）问目的是，为第（3）问的探究铺
8、路。因为少了第（2）问的转化思想，第（3）问就会无法入手。再次，第（3）问就不是直接的证明，而是设一个小问，先求出的值，然后再进一步的证明，给学生在寻找问题的结果中一个梯度和引导。（四）改编试题过程中出现的问题与解决办法问题：为了使试题应有一定的梯度，第一小题还是要考查求二次函数的解析式。构造y=ax2过于简单，同时也会和其他中考题相类。解决办法：原题中的y=ax2只含有一个参系数，太简单。解决的办法是把抛物线向下平移，构造出函数，这时求抛物线的解析式难度不大，同时抛物线的焦点在原点位置，图形和解析式都比较简洁，为后面的设问减少运算量打下基础。问题：第（3）小题要用到抛物线的定义，而在初中学生
9、没有学习。解决办法：在第二小题里就要对这一结论先进行证明。但证明的方法不能用高中解析几何中的解析法，因为初中对二次函数的判别式及韦达定理都已经弱化了。但是笔者考虑到用数形结合的思想，设元则用到了抛物线上的点的性质，以及勾股定理也可以证明，这也是初中解决二次函数相关问题的常用方法，所以认为难度比较适中。另外，第（2）小题本身的结论应是两个结果，即AOAM，BOBN。但是证明过程用的是相同的方法，所以只要证明其中之一就可以了。若学生用的是连接OM，并想通过证明等腰三角形的方法来证明，则不易证明出来。问题3：第（3）小题中原来是：试证明无论取何值，的值都等于同一个常数这样设问有可能一下子跳跃性太强，
10、造成难度过大，学生一下子可能找不到这其中的关系，得分的机率也就大大降低了。另外，如果只是求出的值，则学生会运用特殊值的方法让直线运动到与x轴重合的位置，从而很容易就求出的值，这样这一问也就失去了意义。解决办法：把这一小题改为一个探究性的问题。先“当时，直线与轴重合，写出此时的值；”，然后再证明，并且证明的方法可以用相似三角形的性质，而不仅限于高中的几何法。从而使这一小题有探究的意味，同时也有一定的梯度，形成比较合理的区分度。三、得分情况1.本题零分卷较多，约占总数65，其中空白卷又约占80。本题第（1）问属于基础知识基本技能送分类，但仍有大部分学生丢分。原因：心理因素，认为最后的压轴都是难题，
11、没有信心读题答题；学生答题速度慢，按部就班答题，没有掌握答题得分技巧，以致没有足够时间做到最后一题；基本运算能力太差，用待定系数法求二次函数解析式出错导致做了解答但不得分。2.运算出错率较高，约为70。主要原因没有养成良好的运算习惯，算式简单则麻痹轻视，忽略运算顺序、计算法则导致计算出错，如第（3）问中：+=，+=；算式复杂，又因为厌烦、畏难等情绪及运算能力不强导致错误。如：第（3）问中：用含有k的式子表示出是解题的关键，也是本题的难点，计算量较大，需要考生具备谨慎细致审题、认真规范答题及较强运算能力才能避免出错。又如，第（3）问中解法三，求一元二次方程x24kx4=0的根，由于一次项为字母系
12、数，用求根法表示点A、B坐标的出错率非常高。3.思维定势。如：第二问中“求证：AO=AM”，约55的学生看到证明线段相等只想到用几何方法，故连接OM，想方设法去证AMO=AOM,实在证不下去只能放弃，浪费太多时间，以致第（3）问都没做。四、命制后的反思1.这道试题的编制旨在通过避开老师们复习教学中题型模式教学的思维定势，通过改编高考题，从初、高中知识衔接的角度，考查学生的探究综合能力。这也是中考试题编制的一种常用方法。高考试题是中考命题的一个资源库，但绝不能直接用高考题作为数学中考题，因为这样做显然不符合数学课程标准的要求，而且会对初中数学教学产生负面的导向作用。所以在中考命题时，我们可以从高
13、考数学题中提取素材，用其立意，编制出情境生动、立意深远、思维价值高的数学中考试题。2.从解题方法上讲，第（3）小题的技巧性比较强，虽然有运用二次函数根与系数的关系和运用相似三角形的比例性质两种方法，但是学生没有学习二次函数根与系数的关系，而运用相似三角形的比例性质的方法，技巧性比较强，造成这一小题的整体难度比较大，区分度也就不高。所以，在解题的方法上还要进一步的考虑适合于初中的通法更多一点为好。3.教学的导向问题。从考试后的情况和老师们的反馈来看，一方面由于这道题涉及高中的知识，使得老师们想到在以后会在平时的教学中，向学生加入高中的学习内容，从而加重了学生的学习负担。另一方面，对于学习程度比较
14、好的学生，在原有知识的基础上进行一定的拓展，有一点学习的前瞻性也无可厚非。这样的问题讨论则有待进一步的探讨。不过，在命题的原型上，还是尽可能的从教材的原题出发，充分利用教材，以使教师们在平时的教学中更多的深入研究教材，避免陷入新的题海战术中来。4.变式（1）如图1连接AE，BE，还证明AEBE（2）如图2连接OM，ON，可证明OMON参考文献：1肖川，欧阳新龙.义务教育数学课程标准(2011年版)解读湖北教育出版社:2012(2).1朱建明.一道中考试题编制过程的思考J.中国数学教育：初中版，2007（4）.2郝志刚.中考压轴题新走向：例析在抛物线上“架构”几何图形J.中国数学教育：初中版，2010（5）.3王宗信.双曲线背景压轴题的命制及思考J.中国数学教育：初中版，2012（11）.姓名：农学宁性别：男籍贯：广西南宁出生年月：1971年11月学历：大学本科职称：中学高级工作单位：南宁市教育科学研究所联系电话：13481038305电子邮箱：694678508邮寄地址：广西南宁市兴宁区民乐路14-3号南宁市教育科学研究所5
