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解答题专题复习 导数与不等式【例1】已知函数。讨论函数的单调区间和最值；若，证明：。【解答】，当时，；当时，故的单调递增区间为，单调递减区间为，无最大值。，令，则（*）令，当时，；当时，即，故原命题成立。设函数，令，则函数在上单调递增，在上单调递减，即总有。而，令则，移项后得证。【例2】已知。求的单调区间；时，使成立，求的取值范围；正数满足，求证：。解：（），当时，所以，当时，所以，所以的单调递减区间为，单调递增区间为；（II）在有实根，此问题等价于求在的值域，当时，所以在上递减，在上递增，又可以趋向，所以的值域为，所以的取值范围为；（III）由（）知在递减，在递增，所以，所以，即同理，相加得证明：令，故在上单调递增，当时，在上单调递减，故；当时，在上单调递增，故。故当时总有，同理，故，代入移项得证。【例3】已知函数。当时，求函数的单调区间及的最大值；令，若在定义域上是单调函数，求的取值范围；试比较与的大小并证明你的结论（其中。
