专题一:求函数值域十六法.doc

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1、求函数值域方法 求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一,也是考试的热点和难点之一。遗憾的是教材中仅有少量求定义域的例题、习题,而求值域或最值的例题、习题则是少得屈指可数。原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容,技巧性强,有很高的难度,因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步强化。本文谈一些求函数值域的方法,仅作抛砖引玉吧。一、 基本知识1 定义:因变量y的取值范围叫做函数的值域(或函数值的集合)。2 函数值域常见的求解思路: 划归为几类常见函数,利用这些函数的图象和性质求解。 反解函数,将自变量x用函数y的代数式形式表示出来,利用定义域建立函数y的不等式,解不等式

2、即可获解。 可以从方程的角度理解函数的值域,如果我们将函数看作是关于自变量的方程,在值域中任取一个值,对应的自变量一定为方程在定义域中的一个解,即方程在定义域内有解;另一方面,若取某值,方程在定义域内有解,则一定为对应的函数值。从方程的角度讲,函数的值域即为使关于的方程在定义域内有解的得取值范围。 特别地,若函数可看成关于的一元二次方程,则可通过一元二次方程在函数定义域内有解的条件,利用判别式求出函数的值域。 可以用函数的单调性求值域。 其他。3 函数值域的求法(1)、直接法:从自变量的范围出发,推出的取值范围。或由函数的定义域结合图象,或直观观察,准确判断函数值域的方法。 例1:求函数的值域

3、。 例2:求函数的值域。 例3:求函数的值域。解:,函数的值域为。(2)、配方法:配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如的函数的值域问题,均可使用配方法。例1:求函数()的值域。解:, ,函数()的值域为。(3)最值法:对于闭区间上的连续函数,利用函数的最大值、最小值求函数的值域的方法。 例1 求函数y=3-2x-x2 的值域。解:由3-2x-x20,解出定义域为-3,1。 函数y在-3,1内是连续的,在定义域内由3-2x-x2 的最大值为4,最小值为0。函数的值域是0,2例2:求函数,的值域。 例3:求函数的值域。 (4)、反函数法:利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系,通过求

4、反函数的定义域,得到原函数的值域。例1:求函数的值域。解:由解得,函数的值域为。(5)、分离常数法:分子、分母是一次函数得有理函数,可用分离常数法,此类问题一般也可以利用反函数法。小结:已知分式函数,如果在其自然定义域(代数式自身对变量的要求)内,值域为;如果是条件定义域(对自变量有附加条件),采用部分分式法将原函数化为,用复合函数法来求值域。例1:求函数的值域。解:,函数的值域为。(6)、换元法:运用代数代换,奖所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域,形如(、均为常数,且)的函数常用此法求解。例1:求函数的值域。解:令(),则,当,即时,无最小值。函数的值域为。(7)、判别

5、式法:把函数转化成关于的二次方程;通过方程有实数根,判别式,从而求得原函数的值域,形如(、不同时为零)的函数的值域,常用此方法求解。例1:求函数的值域。解:由变形得,当时,此方程无解;当时,解得,又,函数的值域为(8)、函数的单调性法:确定函数在定义域(或某个定义域的子集)上的单调性,求出函数的值域。例1:求函数的值域。解:当增大时,随的增大而减少,随的增大而增大,函数在定义域上是增函数。,函数的值域为。例2求函数在区间上的值域。分析与解答:任取,且,则,因为,所以:,当时,则;当时,则;而当时,于是:函数在区间上的值域为。构造相关函数,利用函数的单调性求值域。例3:求函数的值域。分析与解答:

6、因为,而与在定义域内的单调性不一致。现构造相关函数,易知在定义域内单调增。,又,所以:,。(9)、基本不等式法利用基本不等式和是求函数值域的常用技巧之一, 利用此法求函数的值域, 要合理地添项和拆项, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量, 同时, 利用此法时应注意取成立的条件. 例1 求函数的值域. 解答: , 当且仅当时成立. 故函数的值域为. 此法可以灵活运用, 对于分母为一次多项式的二次分式, 当然可以运用判别式法求得其值域, 但是若能变通地运用此法, 可以省去判别式法中介二次不等式的过程. 例2 求函数的值域. 解答: 此题可以利用判别式法求解, 这里考虑运用基本不等式法

7、求解此题, 此时关键是在分子中分解出项来, 可以一般的运用待定系数法完成这一工作, 办法是设: , (2)将上面等式的左边展开, 有: ,故而, . 解得, .从而原函数; )当时, , , 此时, 等号成立, 当且仅当. )当时, , , 此时有, 等号成立, 当且仅当. 综上, 原函数的值域为: . 不等式法利用基本不等式,求函数的最值,其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 例3. 求函数的值域。解:原函数变形为:当且仅当即当时,等号成立故原函数的值域为: 例4. 求函数的值域。解: 当且仅当,即当时,等号成立。由可得

8、:故原函数的值域为:(10)、有界性法:利用某些函数有界性求得原函数的值域。例1:求函数的值域。解:由函数的解析式可以知道,函数的定义域为,对函数进行变形可得,(,),函数的值域为形如可解出Yr 范围,从而求出其值域或最值。例2求函数的值域解析:函数的有界性由得例3:求函数的值域。 例4:求函数的值域。 (11)、数型结合法:函数图像是掌握函数的重要手段,利用数形结合的方法,根据函数图像求得函数值域,是一种求值域的重要方法。当函数解析式具有某种明显的几何意义(如两点间距离,直线的斜率、截距等)或当一个函数的图象易于作出时,借助几何图形的直观性可求出其值域。例1:求函数的值域。解: ,的图像如图

9、所示,由图像知:函数的值域为以上是我们学习函数之后,关于求函数值域的一些方法,随着以后学习的进一步深入,我们还会学到其它的一些有关求函数值域的方法。根据函数的结构特征,赋予几何图形,数形结合。例2:求函数的值域。点拨:将原函数变形,构造平面图形,由几何知识,确定出函数的值域。解:原函数变形为作一个长为4、宽为3的矩形ABCD,再切割成12个单位正方形。设HK=,则EK=2,KF=2,AK=,KC= 。由三角形三边关系知,AK+KCAC=5。当A、K、C三点共线时取等号。原函数的知域为y|y5。例3如例4求函数的值域。分析与解答:令,则,原问题转化为 :当直线与圆在直角坐标系的第一象限有公共点时

10、,求直线的截距的取值范围。由图1知:当经过点时,;当直线与圆相切时,。所以:值域为例4. 求函数的值域。解:将函数变形为:上式可看成定点A(3,2)到点P(x,0)的距离与定点到点的距离之差。即:由图可知:(1)当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时,如点,则构成,根据三角形两边之差小于第三边,有即:(2)当点P恰好为直线AB与x轴的交点时,有综上所述,可知函数的值域为:注:由例17,18可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使A、B两点在x轴的两侧,而求两距离之差时,则要使A,B两点在x轴的同侧。(12)、复合函数法:对函数,先求的值域充当的定义域,从而求出的值域的方法。例1、求函数 的

11、值域(复合函数法)设 ,则 例2:求函数的值域。 (13)、非负数法根据函数解析式的结构特征,结合非负数的性质,可求出相关函数的值域。例1、(1)求函数的值域。 (2)求函数的值域。解析:(1), 故 所求函数的值域为 。(2),原函数可化为 ,即 , 当时, ,解得又 , 所以 ,故 所求函数的值域为 。(不等式性质法)例2:求下列函数的值域: (1)y=; (2)y=; (3)y= (4)y=10-; (2)y=; (3)y=(14)、导数法 若函数在内可导, 可以利用导数求得在内的极值, 然后再计算在,点的极限值. 从而求得的值域.例1: 求函数在内的值域.分析:显然在可导,且. 由得的

12、极值点为. . . 所以, 函数的值域为. (15)、“平方开方法” 求函数值域的方法有很多种,如:“配方法”、“单调性法”、“换元法”、“判别式法”以及“平方开方法”等等.每一种方法都适用于求某一类具有共同特征的函数的值域.本文将指出适合采用“平方开方法”的函数有哪些共同的特征以及“平方开方法”的运算步骤,并给出四道典型的例题.1.适合采用“平方开方法”的函数特征设()是待求值域的函数,若它能采用“平方开方法”,则它通常具有如下三个特征:(1)的值总是非负,即对于任意的,恒成立;(2)具有两个函数加和的形式,即();(3)的平方可以写成一个常数与一个新函数加和的形式,即(,为常数),其中,新

13、函数()的值域比较容易求得.2.“平方开方法”的运算步骤 若函数()具备了上述的三个特征,则可以将先平方、再开方,从而得到(,为常数).然后,利用的值域便可轻易地求出的值域.例如,则显然.3.应用“平方开方法”四例能够应用“平方开方法”求值域的函数不胜枚举,这里仅以其中四道典型的例题来演示此法在解决具体问题时的技巧. 例1 求函数(,)的值域.解:首先,当时,;其次,是函数与的和;最后, 可见,函数满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是,对平方、开方得().这里,().对根号下面的二次函数采用“配方法”,即可求得的值域为.于是,的值域为.例2 求函数(,)的值域.解:显然,该题就是例1的推广

14、,且此题的也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是,对平方、开方得().这里,().对根号下面的二次函数采用“配方法”,即可求得的值域仍为.于是,的值域也仍为.例3 求函数()的值域.解:参照例1的验证步骤,显然,此题的也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是,对平方、开方得().这里,().易知,的值域为.于是,的值域为.例4 求函数()的值域.解:参照例1的验证步骤,显然,此题的也满足了采用“平方开方法”的三个特征.于是,对平方、开方得().这里,().易知,的值域为.于是,的值域为.例5 求函数 的值域解:(平方法)函数定义域为: 10xy平方法)函数定义域为: (16). 一一映射

15、法原理:因为在定义域上x与y是一一对应的。故两个变量中,若知道一个变量范围,就可以求另一个变量范围。 例1. 求函数的值域。解:定义域为由得故或解得故函数的值域为多种方法综合运用 例1 求函数的值域。解:令,则(1)当时,当且仅当t=1,即时取等号,所以(2)当t=0时,y=0。综上所述,函数的值域为:注:先换元,后用不等式法 例2. 求函数的值域。解:令,则当时,当时,此时都存在,故函数的值域为例3.求函数 的值域解:(图象法)如图,值域为例4.求函数 的值域解:(复合函数法)令,则 由指数函数的单调性知,原函数的值域为例5.求函数的值域解:(三角代换法) 设 小结:(1)若题目中含有,则可

16、设 (2)若题目中含有则可设,其中(3)若题目中含有,则可设,其中01(4)若题目中含有,则可设,其中(5)若题目中含有,则可设其中例6、求函数 的值域解法一:(逆求法) 2解法二:(复合函数法)设 ,则 解法三:(判别式法)原函数可化为 1) 时 不成立2) 时,综合1)、2)值域解法四:(三角代换法)设,则 原函数的值域为小结:已知分式函数 ,如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域;如果是条件定义域,用判别式法求出的值域要注意取舍,或者可以化为的形式,采用部分分式法,进而用基本不等式法求出函数的最大最小值;如果不满足用基本不等式的条件,转化为利用函数的单调性去解。注:此题先用换元法,后用配方法,然后再运用的有界性。总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。

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