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1、初二数学期中复习专题六(勾股定理与实际问题)转化的思想原苏联数学家雅诺夫卡娅在回答“解题意味着什么？”时说“解题就是意味着把所要解的问题转化为已经解过的问题”可以说，任何一个数学问题都是通过数或形的逐步转化，化归为一个比较熟悉、比较容易的问题，通过对新问题的解决，达到解决原问题的目的可见，转化是解数学问题的一种重要方法数学解题的过程实际就是转化的过程，换言之，解题就是把所要解决的问题转化为已经熟悉的问题的过程，通过对条件的转化，结论的转化，使问题化难为易，化生为熟，最终求得问题的解答【知识要点】1.理解勾股定理及逆定理的函意及作用; 2.运用勾股定理的前提是有直角三角形;若没有直角,可以作垂直
2、来构造直角三角形,有时需利用隐含的互余条件来得到直角;注意生活中的方位角;同时不要忘记平面直角坐标系中的两轴的垂直关系3.要注意勾股定理与直角三角形中的面积之间的相互关系【典型例题】（9分） 已知: 如图,四边形ABCD中,ADBC;AB=8,BC =15,AC=17,AD=9;试求CD长.(请同学们关注本题的解答格式与评分标准)解:依题意可过D点作BC垂线,垂足为H;(如图) 在ABC中,AC=17,AB=8,BC=15 则有:即: ABC是直角三角形.(3分) ABBC 又 ADBC BADA 则四边形ABHD是长方形, AB=DC=8(6分)那么 在直角三角形DHC中,DH=8,HC=B
3、C-BH=15-9=6 DC=(9分)【基础训练题】 一. 选择题1. 如图字母B所代表的正方形的面积是 ( ) A. 12 B. 13 C. 144 D. 194 2. 下列几组数中,不能作为直角三角形三边长度的是 ( ) A. a=7, b=24, c=25 B. a=1.5, b=2, c=2.5 C. a=, b=2, c= D.a=15,b=8, c=173. 如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是 ( )A. 25 B. 12.5 C. 9 D. 8.54. 如果梯子的底端离建筑物5米,13米长的梯子可以达到该建筑物的高度是 ( ) A. 12米 B. 13 C.
4、 14米 D. 15米5. 小强量得家里新购置的彩电荧光屏的长为58厘米,宽为46厘米,则这台电视机的尺寸是(实际测量的误差可不计) ( ) A. 9英寸(23厘米) B. 21英寸(54厘米) C. 29英寸(74厘米) D. 34英寸(87厘米)6 观察下列几组数据:(1) 8, 15, 17; (2) 7, 12, 15; (3)12, 15, 20; (4) 7, 24, 25. 其中能作为直角三角形三边长的有( )组 A. 1 B. 2 C. 3 D. 47. 等边三角形的三条高把这个三角形分成( )个直角三角形 A. 8 B. 10 C. 11 D. 128若等腰三角形中相等的两边
5、长为10cm,第三边长为16 cm,那么第三边上的高为 ( ) A. 12 cm B. 10 cm C. 8 cm D. 6 cm9三角形的三边长为（a+b）2=c2+2ab,则这个三角形是( ) A. 等边三角形; B. 钝角三角形; C. 直角三角形; D. 锐角三角形. 10. 直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边上的高为h,则下列各式中总能成立的是 ( ) A. ab=h2 B. a+b=2h C. += D. +=【基础训练题】二1.如图,正方形网格中的每个小正方形边长都为1,每个小正方形的顶点叫格点,以格点为顶点分别按下列要求画三角形和平行四边形使三角形的三边长为: 3, 使平行
6、四边形有一锐角为45度,且面积为4.2.小明家住在18层的高楼上,一天,他与妈妈去买竹竿,如果电梯的内空如图是长方体且长,宽,高分别为1.5米,1.5米,2.2米.你能估计出小明买的竹竿最长是多少米?C3. 如图，在边长为c的正方形中，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b.利用这个图试说明勾股定理? 4. 如图在Rt中，CD是AB边上的高，若AD=8，BD=2 ，试求CD的长.55在中，AB=15，AC=13，BC边上的高AD=12，试求的周长。 6. 如图，在四边形ABCD中，A=，B=D=，AB=2，CD=1.则BC和AD的长分别为多少？EACBDAC图3DBP7. 如图
7、在四边形ABCD中，AB=AD=8，A=，ADC=，已知四边形ABCD的周长为32，求四边形ABCD的面积.ABCD8.如图等腰ABC的底边长为8cm，腰长为5cm，一动点P在底边上从B向C以0.25cm/s的速度移动，请你探究：当P运动几秒时，P点与顶点A的连线PA与腰垂直.9. 如图在ABC中，AB=5，AC=13，BC边上的中线AD=6，求BC的长.ABCDE10. 已知：正方形ABCD中E为AD的中点，CF=3DF,求证：BEF为直角11. 已知：ABC中，AD是高，ABDC=AC+BD， 求证：AB=AC12. 如图，AB=AC=20，BC=32，DAC=90，求BD的长 13. 如
8、图，在ABC 中，AB=15，BC=14， AC=13，求ABC 的面积14. 在等腰三角形中，一边长为4，另一边长为6，求底边上的高15.AD 是ABC的高，AB=10，AD=8，BC=12，试说明ABC是等腰三角形16一辆装满货物的卡车，2.5米高，1.6米宽，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过厂门？说明理由.17. 在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里的水有多深？18. 如图，一个高3米，宽4米的大门，需要在对角的顶点间加一个加固木板求木板的长大约为多少米？【基础训练题】三.1.一根旗杆高10米
9、;折断后顶端落地离底端8米处;则旗杆折断处离地面有( )米. 2.已知圆柱的底面半径为6cm,高为10cm;一蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为( )cm. 3. 已知直角三角形中30角所对的直角边长是cm，则另一条直角边的长是（ ）3.ABC中，AB15，AC13，高AD12，则ABC的周长为（） A42 B32 C42 或 32 D37 或 334.一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动( ) A. 9分米B. 15分米C. 5分米 D. 8分米5 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走
10、出了一条“路”他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草 第4题图6. 在ABC中，C90，（1）已知 a2.4，b3.2，则c ；（2）已知c17，b15，则ABC面积等于 ；（3）已知A45，c18，则a .7 一个矩形的抽斗长为24cm，宽为7cm,在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是 8 在RtABC中，C90，BC12cm，SABC30cm2，则AB .9等腰ABC的腰长AB10cm，底BC为16cm，则底边上的高为 ，面积为 . 10. 一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 11一天，小明买了一张底面是边长为260cm的正方形，厚30cm的床垫回家到了家
11、门口，才发现门口只有242cm高，宽100cm你认为小明能拿进屋吗？ 【基础训练题】四1. 利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图观察图形，验证：c2a2b2. 3m 4m 20m 3m 4m 20m2如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m，高3m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积.4.下面是数学课堂的一个学习片段, 阅读后, 请回答下面的问题:学习勾股定理有关内容后, 张老师请同学们交流讨论这样一个问题: “已知直角三角形ABC的两边长分别为3和4, 请你求出第三边.”同学们经片刻的思考与交流后, 李明同学举手说: “第三边
12、长是5”; 王华同学说: “第三边长是.” 还有一些同学也提出了不同的看法（1）假如你也在课堂上, 你的意见如何? 为什么?（2）通过上面数学问题的讨论, 你有什么感受? (用一句话表示)5蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）DACCBAD 5m13m6.如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m，宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱? 13有一只小鸟在一棵高4m的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高20m的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至
13、少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？A小汽车小汽车BC观测点14“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过km/h.如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为m，这辆小汽车超速了吗？1209015将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为320cm， 在无风的天气里，彩旗自然下垂，如右图. 求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.彩旗完全展平时的尺寸如左图的长方形（单位：cm）.【基础训练题】五. 1. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形AB
14、C中，边长为无理数的边数是（ ）ABCD7cmABCA. 0 B. 1 C. 2 D. 3第1题图第4题图第2题图2. 如图所示，在ABC中，三边a,b,c的大小关系是（ ）A.abc B. cab C. cba D. bac3等边ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为 .4如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为_cm2.5在ABC中，C=900,，BC=60cm,CA=80cm,一只蜗牛从C点出发，以每分20cm的速度沿CA-AB-BC的路径再回到C点，需要 分的时间.6第七届国际数学教育大会的会徽主
15、题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的. 设其中的第一个直角三角形OA1A2是等腰三角形，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=A8A9=1，请你先把图中其它8条线段的长计算出来，填在下面的表格中：OA2OA3OA4OA5OA6OA7OA8第6题图7如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，任意连结这些小正方形的顶点，可得到一些线段.请在图中画出这样的线段，并选择其中的一个说明这样画的道理.8有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高.9已知长方体的长为2cm、宽为1cm、高为4cm，一只蚂蚁如
16、果沿长方体的表面从A点爬到B点,那么沿哪条路最近,最短的路程是多少?DABCDABC 10勾股数又称商高数，它有无数组，是有一定规律的.比如有一组求勾股数的式子：a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2（其中m，n为正整数，且mn）.你能验证它吗？利用这组式子，完成下表，通过表格，你会发现勾股数有哪些规律？请查阅有关资料，相信你将有更多收获.勾 股 数nm 12345623456ADCB11. 如图所示的一块地，已知AD=4m，CD=3m， ADDC，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积.12. 分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）8，15
17、，17；（4）4，5，6.其中能构成直角三角形的有（ ）A.4组 B.3组 C.2组 D.1组2. 三角形的三边长分别为 a2b2、2ab、a2b2（a、b都是正整数），则这个三角形是（） A直角三角形 B钝角三角形 C锐角三角形 D不能确定3如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A.1倍 B. 2倍 C. 3倍 D. 4倍4. 下列各命题的逆命题不成立的是( )A.两直线平行,同旁内角互补 B.若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等C.对顶角相等 D.如果a=b,那么a2=b25五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角
18、形，其中正确的是（ ）13. 1、已知一个直角三角形的两条直角边分别是6、8，那么这个直角三角形斜边上的高为2、三角形的两边长为3和5，要使这个三角形为直角三角形，则第三边长是3、ABC中，AB10，BC16，BC边上的中线AD6，则AC4、如图所示，一个梯子AB长5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C间的距离为3米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得DB的长为1米，则梯子顶端A下落了 米5、如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆形水杯中，设筷子露在外面的长度为hcm，则h的取值范围是 二、选择题(每小题5分，共25分)6、在下列以线段a、b、c的长为三边
19、的三角形中，不能构成直角三角形的是（）A、a=9 、b=41 、c=40 B、a=b=5 、c= C 、abc=345 D a=11 、b=12 、c=157、在ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长是（）A、14 B、4 C、14或4 D、以上都不对8、2002年在北京召开的国际数学大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的最短边为a，较长直角边为b，那么(a+b)2的值为（）A、13 B、19 C、25 D、1699、如图，四边形AB
20、CD中，AB=3cm，BC=4cm，CD=12cm，DA=13cm，且ABC=90，则四边形ABCD的面积是( )cm2A、84B、36C、D、无法确定10、如图，已知矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于E，AD8，AB4，则DE的长为（）A、3B、4C、5D、6三、解答题（此大题满分50分）11、（8分）在RABC中，C90已知25，15，求；已知，A60，求、14已知：如图，四边形ABCD中，ADBC，ADDC， ABAC，B=60，CD=1cm，求BC的长。15. 如图所示,图中所有三角形是直角三角形, 所有四边形是正方有形, ,则= .17.如图六,圆柱的高为10,
21、底面半径为4,在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁,它想吃到上底面B处的食物,已知四边形ADBC的边AD、BC恰好是上、下底面的直径.问:蚂蚁至少要爬行多少路程才能食到食物?AB41.524.50.518. 如图所示,某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往东走4km，又往北走1.5km，遇到障碍后又往西走2km，再折回向北走到4.5km处往东一拐，仅走0.5km就找到宝藏。问登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是多少？19. 如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域.（1） A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2） 若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？
