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1、第4讲二次函数,1.通过对实际问题情境的分析，体会二次函数的意义.2.会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象了解二次,函数的性质.,3.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为 ya(xh)2 k(a0)的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标、开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题.,4.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.,(续表),增大,减小,小,(续表),(续表),(续表),向左,向上,yax2的图象_ya(xh)2的图象_10 ya(xh)2k的图象,(续表),二次函数的图象和性质,图 3-4-1,例1：二次函数yax2bxc(a0)的图象如图341，下列结论
2、：b24ac0；4ac2b；(ac)2b2；ax2bxab.其中结论正确的是_.,答案：,【试题精选】1.(2015年贵州黔南州)二次函数yx22x3的图象如图,3-4-2，下列说法中错误的是(,),A.函数图象与 y 轴的交点坐标是(0，3)B.顶点坐标是(1，3)C.函数图象与 x 轴的交点坐标是(3,0)，(1,0),图 3-4-2,D.当 x0 时，y 随 x 的增大而减小答案：B,2.(2013 年湖北鄂州)小轩从如图 3-4-3 所示的二次函数 yax2bxc(a0)的图象中，观察得出了下面信息：ab0；,其中正确信息的个数有(,),图 3-4-3,A.2 个,B.3 个,C.4
3、个,D.5 个,答案：D,名师点评：本类题考查的是二次函数的系数符号，先看 a，c，的符号，再结合对称轴推出 b 的符号；同时含有a，b，c的代数式，尽量找到特殊点；此外，还可以把图中的已知点代入帮助解题.,确定二次函数的关系式例 2：(2015 年黑龙江龙东地区)如图 3-4-4，抛物线 yx2bxc 交 x 轴于点 A(1,0)，交 y 轴于点 B，对称轴是 x2.(1)求抛物线的解析式；(2)点 P 是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点 P，使PAB 的周长最小？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，,请说明理由.,图 3-4-4,思路分析(1)根据抛物线经过点A(1,0)，对称轴是x
4、2 列出方程组，解方程组求出 b，c 的值即可.(2)因为点 A 与点 C 关于 x2 对称，根据轴对称的性质，连接BC 与x2 交于点P，则点P 即为所求，求出直线BC 与x2 的交点即可.解：(1)由题意，得,抛物线的解析式为yx24x3.,(2)点 A 与点 C 关于 x2 对称，,连接 BC 与 x2 交于点P，则点P 即为所求(如图3-4-5).根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为(3,0)，yx24x,3 与 y 轴的交点为(0,3)，,图3-4-5,设直线 BC 的解析式为 ykxb，由此可得,直线 BC 的解析式为 yx3.则直线 BC 与 x2 的交点坐标为(2,1).点 P
5、 的交点坐标为(2,1).,【试题精选】3.(2015年广东茂名模拟)已知二次函数yx2的图象向右平,移 3 个单位后，得到的二次函数解析式是(,),B.y(x3)2D.yx23,A.y(x3)2C.yx23答案：A,4.已知二次函数的图象如图 3-4-6，根据图中的数据：(1)求二次函数的解析式；,(2)设此二次函数的顶点为 P，求ABP 的面积.,图 3-4-6,名师点评求二次函数的解析式，要根据问题中所给的条件，合理地选择二次函数的三种表达式(一般式、顶点式、交点式)进行假设，对快速解决问题有很大的帮助.,易错陷阱注意掌握抛物线的平移规律，即“上加下减，,左加右减”，此规律容易记混.,二
6、次函数的综合运用,例3：如图347(1)，抛物线yx2bxc与x轴交于A，B 两点，与 y 轴交于点 C，点 O 为坐标原点，点 D 为抛物线的顶点，点 E 在抛物线上，点 F 在 x 轴上，四边形 OCEF 为矩形，且 OF2，EF3.,(1)求抛物线所对应的函数解析式；(2)求ABD 的面积；,(3)将AOC绕点C逆时针旋转90，点A的对应点为点G，,问点 G 是否在该抛物线上？请说明理由.,(1),(2),图 3-4-7解：(1)四边形 OCEF 为矩形，OF2，EF3，点 C 的坐标为(0,3)，点 E 的坐标为(2,3).把C(0,3)，E(2,3)分别代入yx2bxc，得,抛物线所
7、对应的函数解析式为 yx22x3.,(2)yx22x3(x1)24，抛物线的顶点坐标为 D(1,4).ABD 中AB 边的高为 4.,令y0，得x22x30，解得x11，x23.AB3(1)4.,(3)如图347(2)，AOC绕点C逆时针旋转90，CO落在,CE 所在的直线上，,由(1)(2)，可知：OA1，OC3.点 A 的对应点 G 的坐标为(3,2).,当 x3 时，y3223302，点 G 不在该抛物线上.,【试题精选】,5.(2014 年广东广州节选)已知平面直角坐标系中两定点A(1,0)，B(4,0)，抛物线 yax2bx2(a0)过点 A，B，顶点为 C，点 P(m，n)(n0)
8、为抛物线上一点.(1)求抛物线的解析式和顶点 C 的坐标；(2)当APB 为钝角时，求 m 的取值范围.,(2)如图 D10，以 AB 为直径作圆 M，则抛物线在圆内的部,图 D10,P 是抛物线与 y 轴交点，OP2.,P 关于抛物线对称轴的对称点为(3，2).当1m0 或 3m4 时，APB 为钝角.,1.(2014年广东)二次函数yax2bxc(a0)的大致图象,),如图 3-4-8，关于该二次函数，下列说法错误的是(图 3-4-8,A.函数有最小值,D.当1x2 时，y0答案：D,(1)求 c 的取值范围；,(2)试确定直线 ycx1 经过的象限，并说明理由.,3.(2013年广东)已
9、知二次函数yx22mxm21.,(1)当二次函数的图象经过坐标原点 O(0,0)时，求二次函数,的解析式；,(2)如图 3-4-9，当 m2 时，该抛物线与 y,轴交于点 C，顶点为点 D，求 C，D 两点的坐标；,(3)在(2)的条件下，x 轴上是否存在一点 P，使得 PCPD 最短？若点 P 存在，求出点 P 的坐标；若点P不存在，请说明理由.,图 3-4-9,解：(1)二次函数的图象经过坐标原点O(0,0)，代入二次函数yx22mxm21，得m210.解得m1.二次函数的解析式为yx22x或yx22x.(2)m2，由二次函数yx22mxm21，得yx24x3(x2)21.抛物线的顶点为D(2，1).当x0时，y3.C点坐标为(0,3).C(0,3)，D(2，1).,(3)如图 D11，当 P，C，D 共线时 PCPD 最短，图 D11过点 D 作 DEy 轴于点 E，,(3)设在(2)的条件下(不考虑点 P 与点 O，点 C 重合的情况)，连接 CM，BN，当 t 为何值时，四边形 BCMN 为平行四边形？问对于所求的 t 值，平行四边形 BCMN 是否菱形？请说明理由.,图 3-4-10,
