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1、八年级下册第十八章勾股定理水平测试（1）一、试试你的身手（每小题3分，共24分）1三角形的三边满足a2b2c2，这个三角形是 三角形，它的最大边是 2在直角三角形ABC中， C90，BC24，CA7，AB 3在ABC中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是 4如图1所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，正方形A，B，C的面积分别是8cm2，10cm2，14cm2，则正方形D的面积是 cm25如图2，在ABC中，C90，BC60cm，CA80cm，一只蜗牛从C点出发，以每分钟20cm的速度沿CAABB
2、C的路径再回到C点，需要 分钟的时间6已知x、y为正数，且x2-4+(y2-16)20，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为 7在布置新年联欢会的会场时，小虎准备把同学们做的拉花用上，他搬来了一架高为2.5米的梯子，要想把拉花挂在高2.4米的墙上（设梯子上端要到达或超过挂拉花的高度才能挂上），小虎应把梯子的底端放在距离墙 米处8如图3是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大小正方形的面积分别为52和4，则直角三角形的两直角边分别为 和 （注：两直角边长均为整数）二、相信你的选择（每小题3分，共24
3、分）1下列各组数为勾股数的是（ ）A6，12，13B3，4，7C4，7.5，8.5D8，15，162要登上某建筑物，靠墙有一架梯子，底端离建筑物5m，顶端离地面12m，则梯子的长度为（ ）A12mB13mC14mD15m3直角三角形两直角边边长分别为6cm和8cm，则连接这两条直角边中点的线段长为（ ）A10cmB3cmC4cmD5cm4若将直角三角形的两直角边同时扩大2倍，则斜边扩大为原来的（ ）A2倍B3倍C4倍D5倍5下列说法中， 不正确的是（ ）A三个角的度数之比为134的三角形是直角三角形B三个角的度数之比为345的三角形是直角三角形C三边长度之比为345的三角形是直角三角形D三边长
4、度之比为94041的三角形是直角三角形6三角形的三边长满足关系：(a+b)2=c2+2ab，则这个三角形是（ ）A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等边三角形7某直角三角形的周长为30，且一条直角边为5，则另一直角边为（ ）A3B4C12D138如果正方形ABCD的面积为29，则对角线AC的长度为（ ）ABCD三、挑战你的技能（共60分）1（10分）如图4，你能计算出各直角三角形中未知边的长吗？2（10分）如图5所示，有一条小路穿过长方形的草地ABCD，若AB60m，BC84m，AE100m，则这条小路的面积是多少?3（10分）如图6，在ABC中，BAC120，B30，ADAB，垂足为A，C
5、D1cm，求AB的长 4（10分）小芳家门前有一个花圃，呈三角形状，小芳想知道该三角形是不是一个直角三角形，请问她可以用什么办法来作出判断？你能帮她设计一种方案吗？5（10分）如图7，在ABC中，ABAC25，点D在BC上，AD24，BD7，试问AD平分BAC吗？为什么？6（10分）如图8所示，四边形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且ABBC求证：ACCD四、拓广探索（本题12分）观察下列各式，你有什么发现？3245，521213，722425，924041，这到底是巧合，还是有什么规律蕴涵其中呢？（1）填空：132 + ；（2）请写出你发现的规律；（3）结合勾股定理有关知
6、识，说明你的结论的正确性一、试试你的身手（每小题3分，共24分）1一个三角形的三个内角之比为123，则三角形是 三角形；若这三个内角所对的三边分别为a、b、c（设最长边为c），则此三角形的三边的关系是 2已知等腰直角三角形的斜边长为2，则直角边长为 ，若直角边长为2，则斜边长为 3在RtABC中，C90，若AB41，AC9，则BC ； 若AC1.5，BC2，则AB 4已知两条线段的长分别为11cm和60cm，当第三条线段的长为 cm时，这3条线段能组成一个直角三角形 5如图1，将一根长24厘米的筷子，置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的长度至少为 厘米6如图2，
7、ACCE，ADBE13，BC5，DE7，那么AC 7等腰直角三角形有一边长为8cm，则底边上的高是 ，面积是 8如图3，一个机器人从A点出发，拐了几个直角的弯后到达B点位置，根据图中的数据，点A和点B的直线距离是 二、相信你的选择（每小题3分，共24分）1如图4，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（ ）A4B8C16D642小丽和小芳二人同时从公园去图书馆，都是每分钟走50米，小丽走直线用了10分钟，小芳先去家拿钱再去图书馆，小芳到家用了6分钟，从家到图书馆用了8分钟，小芳从公园到图书馆拐了个（设公园到小芳家及小芳家到图书馆都是直线）（ ）A锐角B直角C钝
8、角D不能确定3一直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边与斜边长的和是49cm，则斜边的长（ ）A18cmB20cmC24cmD25cm4如图5，四边形ABCD是正方形，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，则阴影部分的面积是（ ）A16B18C19D215在直角三角形中，斜边与较小直角边的和、差分别为18、8，则较长直角边的长为（ ）A20B16C12D86在ABC中，若AB15，AC13，高AD12，则ABC的周长是（ ）A42B32C42或32D37或337如图6，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）ACD、EF、
9、GHBAB、EF、GHCAB、CD、GHDAB、CD、EF8如图7，在ABC中，C90，D为BC边的中点，DEAB于E，则AE2-BE2等于（ ）AAC2BBD2CBC2DDE2三、挑战你的技能（共58分）1（11分）一个三角形三条边的比为51213，且周长为60cm，求它的面积2（11分）在数轴上作出表示的点3（12分）如图8，是一个四边形的边角料，东东通过测量，获得了如下数据：AB3cm，BC12cm，CD13cm，AD4cm，东东由此认为这个四边形中A恰好是直角，你认为东东的判断正确吗？如果你认为他正确，请说明其中的理由；如果你认为他不正确，那你认为需要什么条件，才可以判断A是直角？4（
10、12分）如图9，一游泳池长48米，小方和小朱进行游泳比赛，小方平均速度为3米/秒，小朱为3.1米/秒但小朱一心想快，不看方向沿斜线游，而小方直游，俩人到达终点的位置相距14米按各人的平均速度计算，谁先到达终点?5（12分）如图10（1）所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图10（2）所示已知展开图中每个正方形的边长为1求在该展开图中可画出最长线段的长度？这样的线段可画几条？四、拓广探索（本题14分）已知：在RtABC中，C90，A、B、C的对边分别为a、b、c，设ABC的面积为S，周长为l（1）填表：三边a、b、cabc3、4、525、12、1348、15、176（2）如果a
11、bcm，观察上表猜想： (用含有m的代数式表示)（3）证明（2）中的结论b 点击勾股定理之特色题本文将在各地课改实验区的中考试题中，涉及勾股定理知识内容的特色创新题采撷几例，供读者学习鉴赏一. 清新扮靓的规律探究题例1（成都市）如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，已知正方形ABCD的面积为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为，（n为正整数），那么第8个正方形的面积 _二. 考查阅读理解能力的材料分析题例2（临安）阅读下列题目的解题过程： 已知a、b、c为的三边，且满足，试判断的形状 解： 问：（1）上述解题过程
12、，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ；（2）错误的原因为： （3）本题正确的结论为： .三. 渗透新课程理念的图形拼接题例3（长春）如图，在RtABC中，C = 90，AC = 4，BC = 3在RtABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，如图所示要求：在答题卡的两个备用图中分别画出两种与示例不同的拼接方法，并在图中标明拼接的直角三角形的三边长（请同学们先用铅笔画现草图，确定后再用0.5毫米的黑色签字笔画出正确的图形） 示例图 备用图 【解析】：要在RtABC的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，关键是腰与底边的确定；要求在图中标
13、明拼接的直角三角形的三边长，这需要用到勾股定理知识下面四种拼接方法可供参考四. 极具“热点”的动态探究题例4（泉州）:如图，一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面的倾斜角为求AO与BO的长；若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行. 如图2，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC:BD=2:3，试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米?X k b1.c o m 勾股定理中的常见题型例析 勾股定理是几何计算中运用最多的一个知识点考查的主要方式是将其综合到几何应用的解答题中，常见的题型有以下几种：一、探究开放题例1如图1，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方
14、形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去（1）记正方形ABCD的边长为1，依上述方法所作的正方形的边长依次为，求出，的值（2）根据以上规律写出第n个正方形的边长的表达式分析：依次运用勾股定理求出a2，a3，a4，再观察、归纳出一般规律点拨：探究开放题形式新颖、思考方向不确定，因此综合性和逻辑性较强，它着力于考查观察、分析、比较、归纳、推理等方面的能力，对提高同学们的思维品质和解决问题的能力具有十分重要的作用二、动手操作题例2如图2，图（）是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两条直角边长分别为a和b，斜边长为c图（）是以
15、c为直角边的等腰直角三角形请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形（）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形；（）用这个图形证明勾股定理；（）假设图（）中的直角三角形有苦干个，你能运用图（）所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图（无需证明）三、阅读理解题例3 已知a，b，c为ABC的三边且满足a2c2b2c2=a4b4，试判断ABC的形状小明同学是这样解答的解：a2c2b2c2=a4b4， 订正： ABC是直角三角形 横线与问号是老师给他的批注，老师还写了如下评语：“你的解题思路很清晰，但解题过程中出现了错误，相信你再思考一下，一定能写出完整的解题过
16、程”请你帮助小明订正此题，好吗？ 点拨：阅读理解题它与高考中兴起的信息迁移题有异曲同工之巧解决的关键是抓住疑问点，补全漏洞四、方案设计题例5如图5，三个正方形形状的土地面积分别是74英亩、116英亩、370英亩，三个正方形恰好围着一个池塘现要将这560英亩的土地拍卖，如果有人能计算出池塘的面积，则池塘不计入土地价钱白白奉送，英国数学家巴尔教授曾经巧妙地解答了这个问题，你能解决吗？分析：巴尔教授解决这个问题时首先发现三个正方形的面积74、116、370相当于池塘的三条边的平方，因而联想到勾股定理，得74=52+72，116=42+102，370=92+172于是作出图6，运用勾股定理的逆定理，问
17、题就得以解决解：74=52+72，AB是两直角边分别为5和7的直角三角形的斜边，作出这个直角三角形，得RtABE同理，作RtBCF，其中BF=4，FC=10延长AE、CF交于D，则AD=9，CD=17，而AC2=370=92+172=AD2+CD2，ACD是直角三角形，ADC=90=点拨：本题的关键是运用勾股定理和它的逆定理构造新图形，用构造法解题的思想，有助于提高运用数学知识解决实际问题的能力勾股定理中的易错题辨析一、审题不仔细，受定势思维影响例1 在ABC中，的对边分别为，且，则（ ）（A）为直角 （B）为直角 （C）为直角 （D）不是直角三角形例2 已知直角三角形的两边长分别为3、4，求
18、第三边长.二、概念不明确，混淆勾股定理及其逆定理例3 下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）（A）1、2、3 （B） （C） （D）例4 在B港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东方向以每小时8海里的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15海里的速度前进，2小时后，甲船到M岛，乙船到P岛，两岛相距34海里，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？灵活应用勾股定理勾股定理在几何计算或验证中，均有十分广泛的应用，请看以下几例一计算问题例1一个零件如图所示，已知AC=3厘米AB=4厘米BD=12厘米，求CD的长2如图在四边形ABCD中，已知四条边的比AB:BC:CD:DA2：2：3：1，且B90，则DAB的度数二推理验证1如图在长方形ABCD中，AB=5厘米在CD边上找一点E，沿直线AE把ABE折叠，若点D恰好落在BC边上点处，且ABF的面积是30平方厘米，求DE的长三折纸问题近年来出现的折纸问题往往考察学生对轴对称勾股定理等知识的理解及应用能力下面举例说明：例4（山东初中数学竞赛）如图，矩形ABCD中，AB8，BC4，将矩形沿AC折叠，点D落在D处，则重叠部分AFC的面积为解：DCA和DCA关于AC对称，DCA=DCA又DCABDCA=CABCAB=DCAAF=CF设AF=x则CFX,BF=8X在RtBCF中，由勾股定理得x2=42+（8x）2从而解得x=5
