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1、单摆模型的综合应用湖北省襄阳市第四中学 任建新 441021单摆模型是力学中十分典型和重要的模型之一，在复习过程中，在理解和掌握其运动学特征和动力学特征的基础上，更应注意单摆模型与牛顿定律、动量守恒定律、机械能守恒定律的综合应用，以及应用单摆模型的特点处理相似或相近模型，如类单摆模型等。1单摆与机械能知识的综合应用BOCA图甲F/Nt/s0.10.20.30.400.50220.4992图乙图1【例1】将一个力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力。图1甲中表示小滑块（可视为质点）沿固定的光滑的半球形容器内壁，在竖直平面内的A、C之间来回滑动。O点为半球形容器的球心，B点为运动中的最低位置
2、，AOBCOBq ；q小于5且是未知量。图1乙所示的是由计算机得到的滑块对器壁的压力大小F随时间t变化的曲线，且图中t0时刻为摆球从A点开始运动的时刻。试根据力学规律和题中（包括图中）所给的信息求：（1）滑块运动的周期T和器壁的半径R；（2）小滑块的质量m；（3）滑块运动过程中的最大速度；【解析】（1）由图可知滑块振动的周期T0.4（s），由T=，得：R0.4m。（2）在B点拉力的最大值为Fmax0.502N，此时滑块具有最大速度vmax，在B点，Fmaxmg= ；在A点或C点有，Fmin=0.499=mg cos ，由A到B过程，由机械能守恒，mgR（1cos）= ，联立解得，m=0.05k
3、g （3）式代入式解得滑块运动过程中的最大速度vmax0.126 m/s。2单摆与万有引力的综合应用单摆的运动具有周期性，其运动周期T的大小由L和g共同决定，而g却与单摆系统所处的物理环境有关（如单摆系统的运动状态、距地面或其他天体的高度等等），理解了这一特点，就能根据单摆所处的具体环境，解决相关问题。【例2】有人利用安装在气球载人舱内的单摆来确定气球的高度。已知该单摆在海平面处的周期是T0。当气球停在某一高度时，测得该单摆周期为T。求该气球此时离海平面的高度h。把地球看作质量均匀分布的半径为R的球体。【解析】设单摆的摆长为L，地球的质量为M，则据万有引力定律可得地面的重力加速度和高山上的重力
4、加速度分别为：，据单摆的周期公式可知，由以上各式可求得。3单摆与直流电路的综合应用【例3】如图2甲所示，ABCDabcd为一放于水平面上的长方体槽，上端面开口，ABba、CDdc面为两铜板，其它面为绝缘板，槽中盛满导电液体（设该液体导电时不发生电解）。现用质量不计的细铜丝在下端固定一铁球构成一单摆，铜丝的上端可绕O点摆动，O点槽中心的正上方，摆球振动平面与AB垂直。在两铜板上接上图示电源，电源内阻可忽略，电动势E=8V，将电源负极和细铜丝的上端点分别连接到记忆示波器的地和Y输人端（记忆示波器的输人电阻可视为无穷大）。假设摆球刚好在导电液中做简谐运动，示波器的电压波形如图2乙所示。t/sU/V0
5、6.04.02.02.01.51.00.5乙甲记忆示波器Y地ABCDabcdSEO图2（1）求单摆的摆长（2约等于10，取g=10m/s2）。（2）设AD边长为4cm，则摆动过程中摆球偏离CD板的最大距离和最小距离。（忽略铜丝对导电液中电场的影响）【解析】（1）由图乙可知单摆的周期T=1s，由T=得：l=0.25m。（2）摆动过程中电压最大为6V，该电压与摆球偏离CD板的距离l成正比，有：，其中lAD=4cm，U=6V，E=8V，解得：l=3cm。此即为摆球偏离CD板的最大距离。同理可得，摆球偏离CD板的最小距离为1cm。4单摆与直线运动的综合应用【例4】有两架走时准确的摆钟，一架放在地面上，
6、另一架放入探空火箭中假若火箭以加速度a=8g竖直向上发射，在升高时h=64km时，发动机熄火而停止工作试分析计算：火箭上升到最高点时，两架摆钟的读数差是多少？（不考虑g随高度的变化，取g=10m/s2）【解析】火箭上升到最高点的运动分为两个阶段：匀加速上升阶段和竖直上抛阶段。地面上的摆钟对两个阶段的计时为 ， ，即总的读数（计时）为t=t1t2=360s ，放在火箭中的摆钟也分两个阶段计时。第一阶段匀加速上升，a=8g，钟摆周期 ，其钟面指示时间 ，第二阶段竖直上抛，为匀减速直线运动，加速度竖直向下，a=g，完全失重，摆钟不“走”，计时可见放在火箭中的摆钟总计时为 。所以，火箭中的摆钟比地面上
7、的摆钟读数少了。图3EO5电场中的单摆模型【例5】将质量为m的重球与较长的细丝线组成单摆，小振幅振动（摆角小于5）时周期为T。使小球带电量为q的正电后，置于水平向右的匀强电场中，当把它拉至悬点O右方等高处，使线展开并自由释放，它摆至左方当丝线与竖直方向夹角=30时速度恰为零，如图3所示。求：（1）匀强电场的电场强度。（2）使小球进行小角度摆动时的平衡位置及周期。【解析】（1）设单摆的摆长为L，整个过程，由动能定理， ， E=mg/3q （2）设小球在平衡位置时，摆线与竖直方向的夹角为。根据上述确定平衡位置的方法，知=30；根据单摆周期公式，其中g为等效加速度，等于摆球静止在平衡位置时摆线张力与
8、摆球质量之比。即：g=，=。6磁场中的单摆模型磁场中的单摆模型的主要特点有：（1）是垂直于v，对回复力无贡献，故此单摆的周期与重力场中的周期相等。；（2）周期：；（3）与无磁场时相比：磁场中的单摆在运动过程中，对悬线的拉力将有所变化。图4【例6】如图4所示，在磁感应强度为B的匀强磁场中，有一个与磁场方向垂直且水平放置的、长为L的摆线，一端悬挂在O点，一端拉着一个质量为m，带有q电量的摆球，摆球由最高点静止释放，求摆球向左和向右分别通过最低位置时摆线所受到的拉力。【解析】这是一个摆球受洛仑兹力作用的动力学问题，通过分析受力、运动状态，利用牛顿定律列方程，可求出结果。摆球在磁场中摆动时受重力、绳子
9、拉力和洛仑兹力作用。由于只有对重力对摆球做功，故其机械能守恒。所以小球向左、右通过最低点时，速率相等，设为v。图6图5由最高点到最低点，由机械能守恒定律： ，在最低点的洛伦兹力： ，摆球向左摆过最低点时，洛仑兹力f1方向竖直向下，受力分析如图5所示，由向心力公式得： ，由解得，摆球向左摆过最低点时摆线的拉力： ，当向右摆过最低点时，洛仑兹力f2竖直向上，受力分析如图6所示，有： ，由解得，摆球向右摆过最低点时摆线的拉力：。可知，摆球向左、向右通过最低点时，线上拉力大小是不相等的。7单摆模型特点的拓展应用【例7】如图7所示，一光滑绝缘圆环竖直放在水平向左的匀强电场E中，环上套一质量为m，带正电q
10、的小球，qEmg，AC是环在水平方向的直径，BD是环在竖直方向的直径，把小球从A点由静止释放，则图7AEBCDA小球对环压力最大的位置在B点B小球对环压力最大的位置在BC间某处C小球所能达到的最高点在D点D小球所能达到的最高点在CD间某处【解析】qEmg，小球必然到不了最高点D，（小球能到达D点的条件是v0，即qErmgr，与题设条件相矛盾），则小球所能达到的最高点必然在CD间某处，D正确；小球在匀强电场中虽然做的不是简谐运动，但我们在判断小球对环压力最大的位置时，假若与单摆的振动过程相类比，则A点和小球所能达到的最高点就相当于单摆运动过程中的两个最大位移处，A点和该点之间沿着圆环的中间位置就相当于平衡位置，此位置线速度最大，小球对环压力最大。由分析可知，此位置位于BC间某处，B正确；【答案】BD。
