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1、类比余弦定理解题 数学解题，关键在于转化构造几何模型，化数为形，以形的直观性使问题解决，就是一种重要的转化方法下面例析将问题转化为三角形问题，再利用余弦定理来解决 一、三角求值 例1 求的值. 分析：原式可化为.从形式上看,酷似余弦定理公式，从角度分析第三角是特殊角.因此,可以构造三角形利用正、余弦定理求解.解：原式可化为.构造.由正、余弦定理可得:.把A、B、C的值分别代入上式,即得:=.=. 评注：更一般地，在ABC中，有sin2Asin2Bsin2C2sinBsinCcosA 二、解方程组 例2 已知x，y、z为正数，且满足方程组，试求z的值 分析：由于方程组中每条方程的结构类似余弦定理
2、，故可构造三角形来解决 解：原方程组可化为 以上第二、三式结构类似余弦定理，且右边常数有72242252的特征，于是可构造RtABC，使C90，AC7，BC24，则AB25在RtABC斜边AB上取一点D，使ADC60，BDC120，则ADy，CDz，BDx，(如图1) yzsin60zxsin120724， 即z(xy) 112得z 评注：由于所求的值几何意义恰是面积，于是利用面积和整体来解决 三、证明不等式 例3 试证：对任何正实数a，b，c，都有，当时，等号成立 分析：由三个被开方式，如a2b2ab与余弦定理为类似，变形得，表示以a，b为边，夹角为60的三角形的另一边长，于是可构造三角形来解题 解：由表达式的结构形式，可构造如图2所示的几何图形，使ABa，BDb，BCc，ABDCBD60，由余弦定理得 AD 同理，CD，CA 因为ADDCAC， 所以原不等式成立 当A，D，C三点共线时，等号成立此时，即 acsin120absin60bcsin60 整理，得，以上步步可逆，命题得证 评注：对于形如“a2b2kabc2(a，b，c0，|k|2)”的结构，这时可类比余弦定理，进行几何代换，从而把代数问题转化为三角形问题来解决 2
