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1、2.2.1 综合法与分析法,例1求证：,证明：因为,所以,左式=log195+2log193+3log192=log19(53223)=log19360.,因为log19360log19361=2，,所以,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法,用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论.由因导果,则综合法用框图表示为:,1、综合法：,综合法是由一个个推理组成的,例2如图，设四面体PABC中,ABC=90，PA=PB=PC，D是AC的中点，求证：PD垂直于ABC所在的平面。,证明：连接PD，BD
2、，因为BD是RtABC斜边上的中线，所以 DA=DB=DC，又因为 PA=PB=PC，,而PD是PDA、PBD、PCD的公共边,所以PDAPBDPCD，,于是PDA=PDB=PDC，而PDA=PDC=90，可见PDAC，PDBD，由此可知，PD垂直于ABC所在的平面.,这个证明的步骤是：（1）由已知BD是RtABC斜边上的中线,推出DA=DB=DC，记为P0(已知)P1;（2）由DA=DB=DC，和已知条件，推出三个三角形全等，记为P1P2；,（3）由三个三角形全等，推出PDA=PDB=PDC=90,记为P2P3;（4）由PDA=PDB=PDC=90,推出PD垂直于ABC所在的平面，记为P3
3、P4(结论)；,这个证明步骤用符号表示就是P0(已知)P1P2P3P4(结论).,例3求证：,证明：因为 都是正数，,所以为了证明,只需证明,展开得,即,只需证明2125，因为2125成立，,所以不等式 成立。,从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止，这种证明的方法叫做分析法,特点：,这个明显成立的条件可以是：,已知条件、定理、定义、公理等,执果索因,即：,要证结果Q，只需证条件P,2分析法,分析法证明的逻辑关系是：B(结论)B1 B2 Bn A(已知).,在分析法证明中，从结论出发的每一个步骤所得到的判断都
4、是结论成立的充分条件，最后一步归结到已被证明的事实。因此从最后一步可以倒推回去，直到结论，但这个倒推过程可以省略。,例4.如图,SA平面ABC,ABBC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求证 AFSC,证明:要证AFSC,只需证:SC平面AEF,只需证:AESC,只需证:AE平面SBC,只需证:AEBC,只需证:BC平面SAB,只需证:BCSA,只需证:SA平面ABC,因为:SA平面ABC成立,所以.AFSC成立,已知条件,定义,公理,定理,推理论证,结论出发,充分条件,定理,定义,公理,所要证明的结论,已知条件,定义,公理,定理,3小结：,分析法和综合法是思维方向相反
5、的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由因导果，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。,例5求证：当一个圆与一个正方形的周长相等时，这个圆的面积比正方形的面积大,证明：设圆和正方形的周长为L，依题意，圆的面积为,正方形的面积为,因此本题只需证明,为了证明上式成立，只需证明,两边同乘以正数,得,因为上式是成立的，所以,这就证明了如果一个圆与一个正方形的周长相等，那么这个圆的
6、面积比这个正方形的面积大。,练习A,1已知n是大于1的自然数，求证：,证明：因为,所以要证原式成立，只需证明,而,所以原不等式成立。,2已知a，b，c表示ABC的边长，m0，求证：,证明：因为,所以,所以原不等式得证。,B组,1求证：,证明：欲证,需证,两边平方得,即需证,即,由于该式成立，所以原不等式成立。,2如果3sin=sin(2+)，求证：tan(+)=2tan.,证明：3sin=sin(2+)，,3sin(+)=sin(+)+，,3sin(+)cos3cos(+)sin=sin(+)cos+cos(+)sin，,即2sin(+)cos=4cos(+)sin，,所以tan(+)=2tan,
