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1、数形结合应用举例数形结合既是一种重要的数学思想，也是一种常用的数学方法，根据条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何背景。通过数形结合，数形转化寻找最佳解题思路，使问题得到解决。一、求方程根的问题例1：方程有两个解，求的取值范围。解析：在同一坐标系内作出函数，的图象，如图所示，当直线在两条直线之间平行移动即可。由得，。练习：1、2009年重庆卷，已知以T=4为周期的函数。其中，若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（ ）。A、 B、 C、 D、2、讨论方程，（为常数）的解的个数。例2：设、分别是方程和的实根，则= 。解析：在同一坐标系中作出函数，的图象。记A、B分别是与，与的交点
2、，即A（，），（，），又与关于对称，由，得。又直线与直线垂直，。练习：1、2009年辽宁卷，若满足，满足，则（ ）A、 B、 C、 D、42、2009年湖北部分重点中学二联已知A、B、C均为正数，且满足，则、的大小关系为（ ）A、 B、 C、 D、二、解决不等式的问题例3：关于的不等式的解集为，则的取值范围为（ ）A、（0，1） B、（-1，0） C、（1，2） D、（-，-1）解析：由题意知恒成立。表示数轴上的点到1和2的距离和，由图可知：，由得，选B。例2：解不等式。解析：在同一坐标系中作出函数，的图像。由得。函数的图像在直线上方各点的横坐标集合就是所求不等式的解集，即。练习：1、2009
3、年天津卷已知函数若，则实数的取值范围是（ ）A、(-，-1)(2，+) B、（-1，2） C、（-2，1） D、(-，-2)(1，+)3、2008全国卷设奇函数在上为增函数，且=0，则不等式的解集为（ ）A、(-1，0)(1，+) B、(-，-1)(0，1)C、(-，-1)(1，+) D、(-1，0)(0，1)4、已知，比较，的大小。5、设函数，其中，试解关于的不等式。三、解决线性规划问题：例4：2008年陕西卷已知实数满足，如果目标函数的最小值为，则实数m=（ ）A、7 B、5 C、4 D、3解析：作出直线，。由图可知：，在轴上截取的最大值，应是过直线与的交点，所以与的交点（2，3）应在直线
4、上，即。练习：1、2008年安徽卷，若为不等式组表示的平面区域，则当从连续变化到1时，动直线扫过中的那部分区域的面积为 。2、2008年山东卷设二元一次不等式组所表示的区域为，使函数（且）的图象过区域的取值范围为（ ）A、 B、 C、 D、 3、已知点满足约束条件，点（），为坐标原点，则的取值范围为 。四、解决有关值域问题：例5：2009年襄樊元月调考已知函数的定义域为，部分对应值如下表：为的导函数，函数的图象中图所示，若两正数满足，则的取值范围是 。解析：由的图象可知：时，单调递增；时，单调递减。得约束条件，画出可行域：而表示可行域内（不包含边界）的点，与点所成直线的斜率。，。例6：2008
5、年辽宁卷，已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）A、 B、 C、 D、解析：如图作出抛物线，由抛物线定义知：，所以求最小，就是求抛物线上一点到点、点的距离之和最小，连即是所求：。练习：1、求函数的最小值。2、求函数的值域。3、已知（）为一定点，为双曲线的右焦点，在双曲线右支上移动，最小值为 ，此时的坐标为 。4、若满足条件，则的最小值为（ ）A、 B、 C、 D、5、2009年宁夏海南用表示三个数中最小值设，则的最大值为（ ）A、4 B、5 C、6 D、76、2009年浙江已知为常数，函数在区间上的最大值为，则= 。通过以上例题可以看出，数形结合的主要途径是：“形中觅数”，根据图形寻求数量关系，将几何问题代数化，以数助形，使问题获解。“数”上构“形”，本身是代数问题，但通过观察可发现它具有某种几何特征，可以发现数与形之间的新关系，从而将代数问题化为几何问题，使问题获解。5
