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1、异面直线及所成的角,一、基础知识,2、空间两条直线的位置关系：,异面直线,1、异面直线的定义：,不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线,空间两条直线,连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线,3、异面直线的画法：平面衬托法,4、异面直线的判断,（1）、异面直线的判定定理（2）、反证法,5、异面直线成的角,（1）、定义：（2）、取值范围（00，900（3）、作法：平移法或补形法,(4)两条直线互相垂直 相交直线的垂直 异面直线的垂直,分别平行于两条异面直线的两条相交直线所成的锐角（或直角）叫做这两条异面直线所成的角,设图中的正方体的棱长为a，,图中哪些棱所在的
2、直线与BA1成异面直线,求异面直线A1B与C1C的夹角的度数,图中哪些棱所在的直线与直线AA1垂直,例题1,例题2、,.下面两条直线是异面直线的是（）A.不同在一个平面内的两条直线；B.分别在某两个平面内的两条直线；C.既不平行又不相交的两条直线；D.平面内的一条直线和平面外的一条直线,C,例题3.若a,b是异面直线，b,c是异面直线，则a,c的位置关系是（）A.相交、平行或异面B.相交或平行C.异面D.平行或异面,例4、如图：a,b,c为不共面的三条直线,且相交于一点O,点M,N,P分别在直线a,b,c上,点Q是b上异于N的点,判断MN与PQ的位置关系,并予以证明。,解：,例5(法一)、在棱
3、长是a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E,F分 别是BB1,CC1的中点，求直线AE与BF所成的角.,例5(法二)、在棱长是a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E,F分 别是BB1,CC1的中点，求直线AE与BF所成的角.,解：,例5(法三)、在棱长是a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E,F分 别是BB1,CC1的中点，求直线AE与BF所成的角.,解：,变式一、M，N为A1B1，BB1的中点,求AM与CN所成的角,变式二、求AE与BD1所成的角,直三棱柱ABCA1B1C1 中角ACB900，D1，F1分别是A1B1与A1C1的中点。若BCCACC1，求BD1 与AF1这两
4、条异面直线所成的角。,A,A1,C,B,B1,C1,F1,D1,分析：恰当的平移是将异面直线所成的角转化为平面中的角的关键。,例6,思路一：取BC中点G，连结F1G，则角AF1G（或其补角）为异面直线所成的角；解三角形AF1G可得。,A,B,C,A1,B1,C1,D1,F1,G,B,思路二、延展平面BAA1B1，使A1ED1A1，则将BD1平移到AE，角EAF1（或其补角）即为BD1与AF1所成的角。,A,A1,C,B1,F1,D1,E,例7A为正三角形BCD所在平面外一点，且AB=AC=AD=BC=a，E、F分别是棱AD、BC的中点，连结AF、CE，如图所示，求异面直线AF、CE所成角的余弦
5、值。,G,解：连结DF，取DF的中点G，连结EG，CG，又E是AD的中点，故EG/AF，所以GEC（或其补角）是异面直线AF、CE所成的角。,异面直线AF、CE所成角的余弦值是,例7A为正三角形BCD所在平面外一点，且AB=AC=AD=BC=a，E、F分别是棱AD、BC的中点，连结AF、CE，如图所示，求异面直线AF、CE所成角的余弦值。,P,另解:延长DC至P,使DC=CP，E为AD中点，AP/EC。,故PAF(或其补角)为异面直线AF、CE所成的角。,异面直线AF、CE所成角的余弦值是,注意,补形平移,直接平移，,中位线平移，,、平移：,、若用余弦定理求出cos，则异面直线所成的角为,如：若求出,则异面直线所成的角的余弦值为,求异面直线所成角的步骤,3、解三角形，求出,2、找出角，证明即为所求角,1、平移(作平行线),三、小结,空间两条直线的位置关系异面直线及所成的角，重点是角求解方法,
