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1、第二节函数的单调性与最值,【知识梳理】1.函数的单调性(1)增函数、减函数:,f(x1)f(x2),f(x1)f(x2),区间D,区间D,上升的,下降的,(2)单调性、单调区间:若函数y=f(x)在区间D上是_或_,则称函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,_叫做y=f(x)的单调区间.,增函数,减函数,区间D,【考点自测】1.(思考)给出下列命题:如图所示的函数f(x)的图象,则函数f(x)的单调增区间是(-,0(0,+);,若定义在R上的函数f(x),有f(-1)f(3),则函数f(x)在R上为增函数;函数y=|x|是R上的增函数;函数y=f(x)在1,+)上是增函数,则函数的单
2、调递增区间是1,+);在闭区间上单调的函数,其最值一定在区间端点取到.其中正确的是()A.B.C.D.,考点1 确定函数的单调性(区间)【补充例1】函数y=f(x)(xR)的图象如图所示,则函数y=f(x)(xR)的单调减区间是()A.0，B.(-，0)C.(-，0)，+)D.(-，0)和，+),典例1(2)试讨论函数f(x)=,x(-1,1)的单调性(其中a0).,补充例题2.函数f(x)=2x-在1，2上的单调性为_.答案：单调增函数,补充例题3.(2014石家庄模拟)函数 的递减区间为()A.(1，+)B.(-,C.(,+)D.,+)选A.,【小结】确定函数单调性或单调区间的常用方法(1
3、)图象法：若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调性或单调区间.(2)定义法：先求定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论.,(3)导数法：先求导，再确定导数值的正负，由导数的正负得函数的单调性或单调区间.(4)转化法：转化为已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，再根据“增+增得增”“减+减得减”“同增异减”得待确定函数的单调性或单调区间.,小结.求复合函数y=f(g(x)的单调区间的步骤(1)确定定义域.(2)将复合函数分解成基本初等函数：y=f(u),u=g(x).(3)分别确定这两个函数的单调区间.(4)若这两个函数同增同减，则
4、y=f(g(x)为增函数；若一增一减，则y=f(g(x)为减函数，即“同增异减”.,补充例题4.(2014武汉模拟)已知函数f(x)对于任意x,yR,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x0时,f(x)0.求证:f(x)在R上是减函数.,小结.抽象函数单调性的判断方法与技巧对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应条件，对任意x1,x2在所给区间内比较f(x1)-f(x2)与0的大小或 与1的大小(f(x)0).有时根据需要，需作适当的变形：如，x1=x2 或x1=x2+x1-x2等.,2.函数的最值,f(x)M,f(x0)=M,f(x)M,f(x0)=M,
5、最大,最小,5.函数f(x)=在1，2上的最大值和最小值分别是_.,【考点自测】,考点2 确定函数的最值(值域),【典例2】(2)若函数f(x)=在，2上的值域是，2，则实数a的值为_.,【典例2】(1)(2013辽宁高考)已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2，g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设H1(x)=maxf(x),g(x),H2(x)=minf(x),g(x)(maxp,q表示p,q中的较大值,minp,q表示p,q中的较小值).记H1(x)的最小值为A,H2(x)的最大值为B,则A-B=()A.16 B.-16C.a2-2a-16 D.a2+2a-16,【小结】求
6、函数最值(值域)的常用方法(1)单调性法:易确定单调性的函数,一般用单调性法在区间端点处取得.(2)图象法:能作出图象的函数,用图象法,观察其图象最高点、最低点,求出最值.,4.已知函数f(x)为R上的减函数,若a”或“f(m),则实数m的取值范围是.,考点3 函数单调性的应用【考点自测】,【典例3】(1)(2014北京模拟)设偶函数f(x)的定义域为R,当x0,+)时,f(x)是增函数,则f(-2),f(),f(-3)的大小关系是()A.f()f(-3)f(-2)B.f()f(-2)f(-3)C.f()0且a1),如果对任意x1x2,都有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0成立,则a的取值
7、范围是.,【小结】函数单调性的应用一般结合函数的图象以及函数其他性质，考查求最值，比较函数值大小,解含“f”符号不等式,以及求解析式中参数的值或取值范围问题.,补充练习1.(2014福州模拟)已知函数y=f(x)满足:f(x)=f(4-x)(xR),且在2,+)上为增函数，则()A.f(4)f(1)f(0.5)B.f(1)f(0.5)f(4)C.f(4)f(0.5)f(1)D.f(0.5)f(4)f(1)【解析】选C.,补充练习2.(2014西安)已知f(x)=是(-,+)上的减函数,那么a的取值范围是()A.(0,1)B.(0,)C.)D.【解析】选C.,【变题】变式训练,能力迁移(2014西安模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x+y)=f(x)+f(y)+1,当x0时,f(x)-1.(1)求f(0)的值,并证明f(x)在R上是单调增函数.(2)若f(1)=1,解关于x的不等式f(x2+2x)+f(1-x)4.,
