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1、要点梳理1.几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_ _(_或_)成比例,则称这样的概率模型为几何 概率模型,简称为_.2.几何概型中,事件A的概率计算公式 P(A)=.,高三复习几何概型,长,度,面积,体积,几何概型,基础知识 自主学习,襄阳三中 苏春艳,3.要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点:(1)无限性：在一次试验中,可能出现的结果有无限 多个；(2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性.4.几何概型的试验中,事件A的概率P(A)只与子区域A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比,而与A的位 置和形状无关.5.求试验中几何概型的概率,关键是求得事件所占区 域和整个区
2、域 的几何度量,然后代入公式即可求 解.,题型一 与长度有关的几何概型【例1】有一段长为10米的木棍,现要截成两段,每段 不小于3米的概率有多大？从每一个位置剪断都是一个基本事件,基 本事件有无限多个.但在每一处剪断的可能性相等,故是几何概型.,思维启迪,题型分类 深度剖析,解 记“剪得两段都不小于3米”为事件A,从木棍的 两端各度量出3米,这样中间就有10-3-3=4(米).在中间的4米长的木棍处剪都能满足条件,所以 从该题可以看出,我们将每个事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点,该区域中每一点被取到的机会都一样.而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点,这
3、样的概率模型就可以用几何概型来求解.,探究提高,知能迁移1 平面上有一组平行线,且相邻平行线间 的距离为3 cm,把一枚半径为1 cm的硬币任意平抛在 这个平面上,则硬币不与任何一条平行线相碰的概率 是()A.B.C.D.解析 如图所示,这是长度型几何概型问题,当硬币 中心落在阴影区域时，硬币不与任何一条平行线相 碰,故所求概率为,B,题型二 与面积(或体积)有关的几何概型 在边长为2的正ABC内任取一点P,则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率 是_.解析 以A、B、C为圆心,以1为半 径作圆,与ABC交出三个扇形,当P落在其内时符合要求.,题型三 与角度有关的几何概型【例3】在Rt
4、ABC中,A=30,过直角顶点C作射 线CM交线段AB于M,求使|AM|AC|的概率.如图所示,因为过一 点作射线是均匀的,因而应把在 ACB内作射线CM看做是等可能 的,基本事件是射线CM落在ACB内任一处,使|AM|AC|的概率只与BCC的大小有关,这符合 几何概型的条件.,思维启迪,解 设事件D为“作射线CM,使|AM|AC|”.在AB上取点C使|AC|=|AC|,因为ACC是等腰三角形,所以 几何概型的关键是选择“测度”,如本例以角度为“测度”.因为射线CM落在ACB内的任意位置是等可能的.若以长度为“测度”,就是错误的,因为M在AB上的落点不是等可能的.,探究提高,知能迁移3 在圆心
5、角为90的扇形AOB中,以圆心O 为起点作射线OC,求使得AOC和BOC都不小于 30的概率.解 如图所示,把圆弧AB三等分,则 AOF=BOE=30,记A为“在扇 形AOB内作一射线OC,使AOC和 BOC都不小于30”,要使AOC和BOC都不小 于30,则OC就落在EOF内,题型四 可化为几何概型的概率问题【例4】甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一人一刻钟,过时即可离去.求两人能会面的概率.在平面直角坐标系内用x轴表示甲到达 约会地点的时间,y轴表示乙到达约会地点的时间,用 0分到60分表示6时到7时的时间段,则横轴0到60与纵 轴0到60的正方形中任一点的坐
6、标(x,y)就表示甲、乙两人分别在6时到7时时间段内到达的时间.而能会 面的时间由|x-y|15所对应的图中阴影部分表示.,思维启迪,解 以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间,则两人能够会面的充要条件是|x-y|15.在如图所示平面直角坐标系下,(x,y)的所有可能结果是边长为60的正方形区域,而事件A“两人能够会面”的可能结果由图中的阴影部分表示.由几何概型的概率公式得：所以,两人能会面的概率是,探究提高(1)甲、乙两人都是在67时内的任意时 刻到达会面地点,故每一对结果对应两个时间,分别用 x,y轴上的数表示,则每一个结果(x,y)就对应于图中正方形内的任一点.(2)找出事件A
7、发生的条件,并把它在图中的区域找出来,分别计算面积即可.(3)本题的难点是把两个时间分别用x,y两个坐标表示,构成平面内的点(x,y),从而把时间是一段长度问题转化为平面图形的二维面积问题,进而转化成面积型几何概型的问题.,1.几何概型也是一种概率模型,它与古典概型的区别 是试验的可能结果不是有限个.它的特点是试验结果 在一个区域内均匀分布,所以随机事件的概率大小与 随机事件所在区域的形状位置无关,只与该区域的大 小有关.2.几何概型的“约会问题”已经是程序化的方法与技 巧,必须熟练掌握.,方法与技巧,思想方法 感悟提高,几何概型具有无限性和等可能性两个特点.无限性是指在一次试验中,基本事件的
8、个数可以是无限的；等可能性是指每一个基本事件发生的可能性是均等的.因此,用几何概型求解的概率问题和古典概型的思路是相同的,同属于“比例解法”,即随机事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的图形长度(面积或体积)”与“试验的基本事件所占总长度(面积或体积)”之比来表示.,失误与防范,一、选择题1.在长为12 cm的线段AB上任取一点M,并以线段AM 为边作正方形,则这个正方形的面积介于36 cm2与 81 cm2之间的概率为()A.B.C.D.解析 面积为36 cm2时,边长AM=6,面积为81 cm2时,边长AM=9,A,定时检测,2.在区域 内任取一点P,则点P落在单 位圆x2+y2=
9、1内的概率为()A.B.C.D.解析 区域为ABC内部(含边界),则概率为,D,3.在面积为S的ABC的边AB上任取一点P,则PBC 的面积大于 的概率是()A.B.C.D.解析 由ABC,PBC有公共底边BC,所以只需P位 于线段BA靠近B的四分之一分点E与A之间,这是一个 几何概型,C,4.已知正三棱锥SABC的底面边长为4,高为3,在正 三棱锥内任取一点P,使得VPABC VSABC的概率 是()A.B.C.D.解析 当P在三棱锥的中截面及下底面构成的正三 棱台内时符合要求,由几何概型知,A,5.ABCD为长方形,AB=2,BC=1,O为AB 的中点,在长方形ABCD内随机取一点,取到的
10、点到O 的距离大于1的概率为()A.B.C.D.解析 如图,要使图中点到O的 距离大于1,则该点需取在图中阴 影部分,故概率为,B,6.在区间 上随机取一个 数x,cos x的值介于0到 之间的概率为()A.B.C.D.解析,A,二、填空题 7.在平面直角坐标系xOy中,设D是横 坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域,E是到原点的距离不大于1的点构成的区域,向D中随 机投一点,则落入E中的概率为_.解析 如图所示,区域D表示边长 为4的正方形的内部(含边界),区 域E表示单位圆及其内部,8.已知函数f(x)=若a是从区间0，2上任取 的一个数,b是从区间0,2上任取的一个数,则此函 数
11、在1,+)递增的概率为_.解析 令t=ax2-bx+1,函数f(x)在1,+)上递增,根 据复合函数单调性的判断方法,则t=ax2-bx+1须在 1,+)上递增,由题意得 画出图示得 阴影部分面积.概率为 答案,9.点A为周长等于3的圆周上的一个定 点.若在该圆周上随机取一点B,则劣弧 的长度小 于1的概率为_.解析 圆周上使弧 的长度为1的点M有两个,设 为M1,M2,则过A的圆弧 的长度为2,B点落在 优弧 上就能使劣弧 的长度小于1,所以劣弧 的长度小于1的概率为,三、解答题10.如图所示,在单位圆O的某一直径上随机的取一点 Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的 概率.,解 弦
12、长不超过1,即|OQ|而Q点在直径AB 上是随机的,事件A=弦长超过1.由几何概型的概率公式得 弦长不超过1的概率为 答 所求弦长不超过1的概率为,11.投掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数字的 正方体玩具,它的六个面中,有两个面标的数字是0,两个面标的数字是2,两个面标的数字是4,将此玩具 连续抛掷两次,以两次朝上一面的数字分别作为点P 的横坐标和纵坐标.(1)求点P落在区域C：x2+y210内的概率；(2)若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的 多边形区域M,在区域C上随机撒一粒豆子,求豆子落 在区域M上的概率.,解(1)以0、2、4为横、纵坐标 的点P共有(0,0)、(0,2)、(
13、0,4)、(2,0)、(2,2)、(2,4)、(4,0)、(4,2)、(4,4)共9个,而这些点中,落在区域C内的点有：(0,0)、(0,2)、(2,0)、(2,2)共4个,所求概率为(2)区域M的面积为4,而区域C的面积为 所求概率为,12.甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船 的码头,它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的.(1)如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时,求它们中 的任何一条船不需要等待码头空出的概率；(2)如果甲船的停泊时间为4小时,乙船的停泊时间为 2小时,求它们中的任何一条船不需要等待码头空出 的概率.,解(1)设甲、乙两船到达时间分别为x、y,则0 x24,0y24且y-x4或y-x-4.作出区域设“两船无需等待码头空出”为事件A,(2)当甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时,两船不需等待码头空出,则满足x-y2或y-x4,设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B,画出区域,返回,
