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1、3.1数系的扩充和复数的概念,普通高中课程标准实验教科书 数学选修2-2,襄阳三中 苏春艳,实数集R,负整数,分数,无理数,为了计数的需要,为了刻画具有相反意义的量,为了测量、分配等需要,正方形的边长度量它的对角线所得的结果无法用有理数表示,社会生活发展的需要,有理数集Q,整数集Z,自然数集N,一、知识回顾,毕达哥拉斯,希帕苏斯,一、知识回顾,一、数的概念的发展生于生产实践，并随着生产力和科学技术的发展而逐步扩展。,二、随着新的数的概念的建立，数集也得到扩展。形成了新的集合，而原数的集合是它的子集。,数系的发展,我们可以用下面一组方程来形象的说明数系的发展变化过程：,【问题1】在自然数集中方程
2、 有解吗?,【问题2】在整数集中方程 有解吗?,二、提出问题,【问题3】在整数集中方程 有解吗?,【问题4】在有理数集中方程 有解吗?,没有实数根,我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？,思考？,三、问题解决,数系每次扩充的基本原则：,第一、增加新元素；,第二、原有的四则运算性质仍然成立；,第三、新数系能解决旧数系中的矛盾.,三、问题解决,三、问题解决,扩充数集，使它在新数集里有解。,在有理数集上是无解的，但为了解决问题的需要，人们的做法是：,回想,扩充有理数集,x2=2,引入,x=,(x+1)2=2,x=-1,x2=8,x=,加法,乘法,是有理数,(x+1)2=
3、8,x=-1,乘法,加法,三、问题解决,有理数,无理数,实数 有理数可以分类如下：,实数,(b=0),(b 0),引入一个新数：,三、问题解决,在实数集上是无解的，但为了解决问题的需要，我们的想法是：,扩充数集，使它在新数集里有解。,三、问题解决,x2=2,x=,(x+1)2=2,x=-1,x2=8,x=,加法,乘法,有理数,(x+1)2=8,x=-1,乘法,加法,扩充有理数集,扩充实数集,x2=-1,引入i,x=i,(x+1)2=-1,x=-1i,x2=4,x=2i,加法,乘法,(i)2=-1,a+bi，a,b是实数,(x+1)2=-4,x=-1,乘法,加法,i2=-1,引入,数系扩充原则：
4、,第一：添加新元素；,第二：原有的运算性质仍成立；,第三：新数系能解决旧数系中的矛盾；,在实数集上的扩充,在有理数集上的扩充,待解决的方程,添加新符号,与实数的乘法,形式化表示,与实数的加法,i,a+i,bi,a+bi,a,b是实数,a+,b,x2=-1,x2=2,a+b a,b是有理数,(i)2=-1,四、新课讲解,复数：我们把集合C=a+bi|a,bR中的数，即形如a+bi（a,bR）的数叫做复数，其中 i 为虚数单位。,注：,数学代数表示：z=a+b i（a,bR）,i2=-1,全体复数所成的集合C叫做复数集。,实部,虚部,虚数单位,四、新课讲解,例1：判断下列哪些是否为复数？如果是，实
5、部是多少？虚部是多少？,实数,纯虚数,虚数,(a=0,b 0),（b=0）,（b 0）,复数：我们把集合C=a+bi|a,bR中的数，即形如a+bi（a,bR）的数叫做复数，其中 i 为虚数单位。,复数的分类：,非纯虚数,纯虚数,虚数,实数,四、新课讲解,自然数（N）,负整数,零,正整数,整数（Z）,分数,有理数（Q）,无理数,实数（R）（b=0）,虚数（b 0）,复数(C),数系的发展,例2：实数m取什么值时，复数 z=m+1+(m-1)i 是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？,解：,（1）当 m-1=0，即 m=1时，复数 z 是实数；（2）当 m-10，即m 1时，复数 z 是虚数；（3）当 m+1=0，且m-10 时，即m=-1时，复数 z 是纯虚数。,思考：实数m取什么值时，复数 z=m2-1+(m+1)i 是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？,五、例题讲解,我们收获了什么？,数系的扩充过程,虚数单位i的引入,复数有关概念,发现矛盾,归纳概括,六、课堂小结,P104练习:1，2，3.P106习题3.1A组:1，2.,七、布置作业,谢谢各位专家莅临指导！,
