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1、中点类问题的探究一、中点类问题的界定我们在这里讲的中点类问题是指初中数学问题中含有线段中点这一已知条件，或在解决问题过程中利用线段中点这一条件构造数学模型从而解决问题。二、基本知识点在初中数学知识体系中与中点相关的知识路径主要有：1.与计算相关。2. 将过中点的线段延长一倍。3.等腰三角形顶角平分线、底边中线、底边上的高互相重合。4.三角形、梯形的中位线。5.直角三角形的斜边中线等于斜边的一半。三、基本数学模型应用与解析1.倍长模型。本质是构造两个中心对称的全等三角形，在实际解决问题的过程中主要会出现以下三种情况。基本模型：中线倍长。如图1，点D是线段BC的中点，连接AD并延长至点E使DE=A
2、D，连接CE。构造ABDCDE。说明：连接AD并延长至点E使DE=AD，连接BE可以构造另外一对三角形全等。在构建过程中也可以采用不同的辅助线叙述方式，例如过点C（或B）作CE(或BE)AB（或AC）交AD的延长线于点E。问题举例： 在ABC中，AB=5，AC=3,AD是BC边的中线，求AD的取值范围；基本模型：过中点的线段倍长。我们把基本模型中的点A看成是运动的点，那么点A的位置可以是平面内的任意一点，这样还会有如下基本模型。如图2、图3.其中其中图3中的点F也可以在三角形内部。问题举例 在ABC中，AB=AC，点D在AB的延长线上，点F在AC上，且BD=CF，连接CD、BF，取CD的中点E
3、，连接BE，请你探究BF与BE之间的数量关系，并证明你的结论； 在ABC中，点E在BC边上，点D是CE的中点，连接AD，作EFAB，且EF=AC。求证：AD平分BAC；基本模型：将过平行线间某线段的中点的线段倍长。如图4；DEAB，点C是AD的中点，延长BC交DE于点E，构造ABCCDE。 问题举例 已知正方形ABCD、CEFG，点B、C、D 在同一条直线上，连接AF，取AF的中点M，连接DM、GM。求证：DM=GM； 2.等腰三角形三线合一。 等腰三角形有一个重要的性质：“等腰三角形顶角平分线、底边中线、底边上的高互相重合”。而这一性质很多情况下是与其它知识点联合运用的。如图5，点C是线段A
4、B的中点，点D是除点C外线段AB上的任意一点，则有结论AD-BD=2CD。以上两个知识点的综合举例如下： 问题举例 如图，在ABC中，AB=BC，ABC=120，点E在线段AC上，连接BE，将线段BE绕着点B顺时针旋转60得到射线BD，过点C作CDBC交射线BD于点D。求证：CE-AE=CD；如图，在平面直角坐标系中，点A（-4,0）、B（8,0），抛物线经过点A、B，点C是抛物线的顶点。 求点C的坐标； 连接AC、BC，点E在AC上，点D在BC上，且AE=CD，连接BE、DE，设AE=t，BDE的面积为S，求S与t之间的函数关系式； 在的条件下，过点B作AC的平行线，过点E作AB的平行线交A
5、C的平行线于点F，EF交BC于点G，点H为EF的中点，连接DH，且DE=DH，求点D的坐标；3.三角形的中位线 三角形的中位线的基本数学模型如图6所示，它的基本结论是DEBC，DE=BC。但是在解决问题的过程中很少直接出现三角形的中位线数学模型，这就需要我们构造三角形的中位线数学模型来解决有关线段2倍的问题。三角形的中位线模型在构造过程中主要有两种方法，具体做法为取中点或作平行线。方法一：选择中点为切入点。如图7所示，点D是线段AB的中点，构造中位线我们可以从点D入手，过点D作AE、AC、BE的平形线均可。方法归纳为过中点作过端点的直线的平行线，或取相关线段的中点。如图7-1,图7-2，图7-
6、3. 方法二：选择含有中点的线段的端点为切入点。如图8所示，构造三角形的中位线可以从端点入手，过一个端点A作过中点D的线段CD、DE的平行线。如图8-1,图8-2.从另一个端点B入手方法相同。 问题举例 如图，在ABC中，AD平分BAC， 过点C作CEAD于点E，AB=AD。 请你探究AC、AB与DE之间的关系； 4.直角三角形斜边中线等于斜边的一半。基本数学模型如图9所示，但在具体问题的解决过程中有“直角”或“中点”这样的条件时我们就可以依托其中一个条件来构造。 问题举例 过ABC的顶点A作射线AD，作BEAD 于E，作CFAD于F，取BC的中点G，连接EG、FG。求证：EG=FG；习题精选
7、一、过中点的线段倍长1.在四边形ABCD中，ABDC，E为BC边的中点，BAE=EAF，AF与DC的延长线相交于点F试探究线段AB与AF、FC之间的等量关系，并证明你的结论2.以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE，BAD=CAE=90，连接DE，F是BC边中点，连接AF。探究：AF与DE的位置关系及数量关系二、等腰三角形三线合一1.如图：在ABC中，AB=AC，P为BC上任意一点，求证：AB-AP=PBPC； 2.如图：在ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、AC、BC上，连接DE，且BD=充分，CE=BF，过点F作FPDE。 求证：PD=PE；三、中位
8、线1.如图，在ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BDAB，E为AB中点，连结CE、CD，求证：CD=2EC 2.如图，D是ABC中AB边的中点，BCE和ACF都是等边三角形，M、N分别是CE、CF的中点.求证：DMN是等边三角形；连接EF，Q是EF中点，CPEF于点P. 求证：DPDQ.3.ABC和ADE都是等腰三角形，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE，连接CD，点F、H、G分别是DE、CD、BC的中点。求证：FH=GH；四、斜边中线1. 在正方形ABCD中,点E、F分别为BC和AB的中点，DE与CF交于点M，连接AM。 求证：AM=AD； 2.在ABC中，D为BC边的中点，在三角形内部取一点P，使得ABP=ACP过点P作PEAC于点E，PFAB于点F 求证：DE=DF； 3.已知：在如图所示的锐角三角形ABC中，CHAB于点H，点B关于直线CH的对称点为D，AC边上一点E满足EDA=A，直线DE交直线CH于点F(1) 求证：BFAC；(2) 若AC边的中点为M，求证：DF=2EM；
