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1、“十招”搞定空间图形中的轨迹问题湖北省襄樊市第一中学（441000） 王勇近几年的高考数学试题，设置了一些学科内的综合题，它们的新颖性、综合性，值得我们重视.在知识网络交汇点处设计试题是高考考试命题改革的一个方向，空间图形中的轨迹问题正是在这种背景下“闪亮登场”. 探求空间图形中的轨迹问题，要善于把立体几何问题转化到平面上，再联合运用平面几何、立体几何、空间向量、解析几何等知识去求解，实现立体几何到解析几何的过渡.由于这类题目涵盖的知识点多，数学思想和方法考查充分，考生求解起来颇感困难，考试时经常弃而不答，令人惋惜！本文结合典型例题为你破解此类问题“支招”.招数一：分解条件 交集求解动点通常要
2、符合若干个条件，我们若对条件进行分解，逐个求出符合分解条件的轨迹，那么这些轨迹的交集便是所求动点的轨迹.例1 已知平面平面，直线，点，平面，间的距离为8，则在内到点的距离为10且到直线的距离为9的点的轨迹是（ ）A.一个圆 B.两条直线 C.四个点 D.两个点图1分析：如图1，轨迹上的点符合三个条件：到P点的距离为10；到直线的距离为9；在平面内.符合条件的点的轨迹是以P为球心，半径为10的球面；符合条件的轨迹是以为轴、底面半径为9的圆柱面.因为所求轨迹又要符合条件，故所求轨迹在球面被平面所截得的圆上，也在圆柱面被平面所截得的两条平行直线上.解析：如图1，设点在平面上的射影是，则是平面，的公垂
3、线段，=8.在内到点的距离等于10的点到点的距离等于6，故点的集合是以为圆心，以6为半径的圆.在内到直线的距离等于9的点的集合是两条平行直线，它们到点的距离都等于，所以直线，与这个圆均相交，共有四个交点，因此所求点的轨迹是四个点.故应选C.点评：本题的思考方法相当于解析几何中的交轨法，首先想象出符合条件、的点集分别与平面的交集，化归到平面后，再确定交集的位置关系，体现了分解与组合的思想.招数二：降维切入 转化引路将三维空间问题降为二维平面问题来思考是一种明智的思考方法，可收到化难为易的效果.另外，初中所学的平面几何知识也有了用武之地.例2 若三棱锥A-BCD侧面ABC内一动点P到底面BCD的距
4、离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与组成的图形可能是（ ）分析：本题是将空间问题降维为平面问题来处理，充分利用平几知识并辅以“排除法”可达到求解目的.图2解析：如图2，在三棱锥中作底面于，连结，在棱上找一点，使到底面的距离等于到棱的距离.在中作于，在中作于，.在线段上任取一点，作底面于，棱于，.即线段上任一点到底面的距离等于到棱的距离，于是可排除又，于是又可排除.故应选D.点评：本题考查空间点线、点面距离的知识及空间想象和转化能力.此类问题利用空间几何的性质转化为平面几何，再利用平面几何的性质比较容易解决.图3例3 、是两条异面直线，在、之间有一平面，与、都平行，且与、距离相等，求证：平面
5、上与、距离相等的点的轨迹是两条相交直线.分析：先将空间几何的有关元素“集中”到平面内，再利用平面几何知识可顺利求解.解析：如图3，设MN为、的公垂线，交平面于点O.因为、与平行且距离相等，所以点O为MN的中点且MN平面.设P为所求轨迹上一点，则P到、的距离PA、PB相等.设MA、MO确定的平面与的交线为，必过O点.在此平面内作，则平面，为AP在平面内的射影.由/得，根据三垂线定理的逆定理知，.再设NB、NO确定的平面与的交线为，在此平面内作，同理可证（为在平面内的射影）.点的轨迹是及其外角的平分线.故平面上与、距离相等的点的轨迹是两条相交直线.点评：本题所采用的思考方法就是“平面化”思考，其思
6、考方法与例2同出一辙.招数三：分类讨论 各个击破分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种常用的解题方法，可将所给问题肢解为若干个子问题，解决了每个子问题，所给问题便迎刃而解.例4 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，在正方体的表面上与点A距离为的点的集合形成一条曲线，则该曲线的长度为（ ）A. B. C. D. 分析：由于正方体有6个面，因此应逐一的、全面的考查动点的不同位置，进而探求轨迹，最后再计算曲线的长度.图4解析：当P点在面内时，点轨迹为面上以为圆心，为半径的一段圆弧.当点在面内时，点轨迹是以为圆心的弧，其半径.如图4，由对称性可知，点在正方体表面的轨迹是由6段圆弧组成的封闭
7、曲线.其中所在圆的半径为，所在圆的半径为.曲线的总长度为.故应选B.点评：本题主要考查空间想象能力和分类讨论的数学思想.确定6段圆弧的半径和圆弧所对圆心角的大小，进而计算出弧长是圆满解决此题的前提.招数四：空间向量 顺理成章空间向量是解决立体几何问题的锐利武器，可降低思维难度，解题思路几乎程序化，给人一种全面的、高观点的启迪.例5 一定长线段AB的两个端点，沿互相垂直的两条异面直线，运动，求它的中点的轨迹.图5lAMOPBNm分析：新教材引入空间向量后，给解决立几问题带来很大的方便，本题计算出，进而得出P点在MN的垂直平分面上是求解的关键.解析：如图5，设，的公垂线，连结，则，.分别记，的中点
8、为O，则.，点必在的垂直平分面上.，=， ，即.所以点在以为圆心，以为半径的圆上，故点的轨迹是的垂直平分面内的一个圆.点评：求空间动点的轨迹，按立体几何的传统方法几乎无从着手，空间向量不仅巧妙地解决了这一难题，而且给人以启迪. 招数五：剖析图形 合理想象将所给图形进行充分地剖析，在此基础上展开丰富而合理的想象并结合有关几何性质思考是制服空间轨迹的“法宝”.例6 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，且，点是平面ABCD内的动点，且点到直线的距离与点到点M的距离的平方差为1，则点的轨迹为（ ）图6A.抛物线 B.双曲线 C.直线 D.以上都不对解析：如图6，过点作，则，
9、过点，连结由三垂线定理可知：，则之长就是点到的距离.由已知条件知，在中，即.点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线.故应选A.点评：根据题目信息，利用空间几何性质定性分析，可使所求问题迎刃而解.主要考查抛物线定义、线面关系及空间想象能力和运用知识解决问题的能力. 招数六：建系设点 直击本质用代数方法研究几何问题是解析几何的本质，通过建立直角坐标系，设出动点坐标，借用坐标运算定量分析，是探求空间图形中的轨迹问题常用的方法.图7例7 如图7所示，在四棱锥中，侧面为正三角形，底面为正方形，侧面底面，为底面内的一个动点，且满足.则点在正方形内的轨迹为下图中的（ ） A B C D图8解析：如图8所示，取
10、边的中点，连结、，则底面，由，可得，即在底面中，.在平面内，以点为坐标原点，射线分别为轴、轴的非负半轴，建立平面直角坐标系.设正方形的边长为2，则，化简得.又点的中点的坐标均满足方程因此动点在底面内的轨迹是线段.故应选A.点评：本题利用立体几何知识和题设条件得出后，通过建立直角坐标系得知点的轨迹方程为直线方程，注意直线经过的特殊点而得出答案.图9例8 如图9，四棱锥中，面，面，底面为梯形，满足上述条件的四棱锥的顶点的轨迹是（ ）A.圆 B.不完整的圆 C.抛物线 D.抛物线的一部分图10解析：面，面，面面，故动点在过且与面垂直的平面内.面，面，且，又，故，有.在平面内，以所在直线为轴，的中点为
11、坐标原点，建立如图10所示的直角坐标系，则、，设，则，化简得.注意到点不在直线上，点的轨迹方程为，点的轨迹为一个不完整的圆.故应选B.点评：本题主要考查线面垂直、圆及平面几何的基本知识.求解本题既用到例2的思考方法又用到例7的思考方法，颇具思考性和挑战性.招数七：合情推理 理性思考严格按数学中的有关定理、公式和性质进行推导和变形，注重思维的深刻性和批判性，强调解题“细节”是圆满解决空间轨迹问题的有力保证.图11例9 如图11所示，已知二面角的平面角为于，于，且设到二面角的棱的距离分别为当变化时，点的轨迹是下列图形中的（ ） A B C D图12解析：设平面与棱交于点，由题意得，所以平面如图12
12、所示，连结则在和中，可得即考虑到故点的轨迹为双曲线在第一象限内的部分.故应选D.点评：本题以二面角、线面垂直关系等为背景考查点的轨迹问题，运算正确并注意所求轨迹的纯粹性和完备性是求解的关键. 招数八：空间降维 坐标探求把空间问题转化为平面问题是解立几题最行之有效的手段.空间动点变化多端，若将动点降维到某一平面内，建立适当的坐标系，依靠解析几何的知识、方法，其轨迹将会变得容易把握.例10 设异面直线、成60角，它们的公垂线段为，且，线段的长为4，两端点、分别在，上移动，求的中点的轨迹.图13分析：首先，考查空间动点P的运动大致范围在哪里？由立几知识和直觉可知：P点应集中在、之间的某个平面内.由立
13、几知识和平几知识，易知的中点在过的中点且与、平行的平面内，于是将空间问题转化为平面问题.解析：取的中点，过作，则，确定平面，则在内的射影必在上，在内的射影必在上，的中点必在上.如图13所示. 又，易得.现求线段在移动时，其中点的轨迹.我们以的平分线为轴，为原点，建立直角坐标系.如图14所示.不妨令，图14在中，. 设的中点的坐标为，则 可解得 代入，消去、，可得. 于是得到的是椭圆夹在内的弧，在另外的情形中，同样得到椭圆的其余弧，故点的轨迹是的中垂面上以点为中心的椭圆.点评：本题以立几为背景，考查空间想象能力及建立适当的坐标系求轨迹方程的能力. 招数九：动中求静 以静制动事物的发展总是辩证的，
14、运动和变化的元素能给我们解决问题提供方便，但无规则的运动又给解题带来麻烦.因此，求动点轨迹时，要充分挖掘点、线、面的位置关系，尽力使动点处于某个静态位置上，以静制动.例11 如图15，是平面的斜线段，为斜足，若点在平面内运动，使的面积为定值，则动点的轨迹为（ ）图15A椭圆 B圆 C一条直线 D两条平行直线解析：直接判断点的轨迹难以入手，必须探寻点运动过程中的不变性.由于面积为定值，因此点到的距离必为定值，而空间中到定直线距离为定值的点必在以为轴的圆柱面上，这样无论动点如何变化，它始终处于静态的背景圆柱面中.而点又在面内，于是圆柱面被面截得的曲线必为的轨迹.又与斜交，因此截线必为椭圆.故应选A
15、.点评：找到了点运动变化中的不变性，把点放到静态的背景中去观察，那么对问题的理解便想通悟透，豁然开朗了.图16例12 如图16所示，已知直平行六面体的各条棱长均为，长为2的线段的一个端点在上运动，另一端点在底面上运动，则的中点的轨迹（曲面）与共一顶点的三个面所围成的几何体的体积为（ ）A. B. C. D.分析：本题将柱体和球体融为一体考查，给人耳目一新之感，题目设计得小巧玲珑、韵味十足，开创了全新的命题考查方向，引领学生在数与形的运动变化中体会数学的严密与科学.图17解析：要求该几何体的体积，关键是要确定点的轨迹（曲面）.连结、，因为是直平行六面体，则，故.所以点的轨迹（曲面）是以为球心，1
16、为半径的一个球面，故所求几何体可看作是球体的一部分.设曲面与、的交点分别为、，如图17所示，因为，所以，因此所求几何体的体积.故应选A.点评：本题利用动态的观点给出了一个球面，由题目条件得到P点到D点的距离恒为1，所以P点在以D点为球心，半径为1的一个球面上且在直平行六面体的内部. 招数十：依托轨迹 有效传接例13 平面两两垂直，点点到的距离都是3，是上的动点，到的距离是到点距离的2倍，则点轨迹上的点到平面的距离的最小值是（ ）A B C D图18解析：如图18，点轨迹是以点为焦点，离心率为的椭圆，建立如图18所示的平面直角坐标系，设椭圆方程为由及解得故所求距离的最小值是故应选A.点评：本题抓
17、住“题眼”（点到平面的距离是到点距离的2倍）确定出点的轨迹类型，在此基础上通过建立坐标系求出点的轨迹方程，再利用数形结合思想很容易求出正确结果.例14 如图19，在棱长为1的正方体中，分别为线段的中点，是正方形的中心，过作直线与直线交于点与直线交于点图19（1）求线段的长度；（2）将侧面无限延展开来得到平面设平面内有一动点它到直线的距离的平方减去它到点的距离的平方，其差为1.请建立适当的直角坐标系，求出动点所构成的曲线的方程；（3）在（2）的条件下，请说明以为直径的圆与曲线是否有交点？如果有，请求出此点的坐标；如果没有，请说明理由.图20解析：（1）如图20，连结并延长交于，连结延长交于，连结
18、交于，则为所求的线段，易得 在中，故（2）过作于，过作于平面故在中，故点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线.图21以过点且垂直的直线为轴，以点到的垂线段的中点为原点，建立如图21所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为由于点到的距离为故曲线的方程为（3）假设抛物线与圆有交点，设交点为则为直角.易得且点在抛物线内部，故而过作于，则那么与矛盾，故交点不存在，于是以为直径的圆与曲线没有交点.点评：首先根据立几知识确定点的位置，再将到的距离转化为到的距离，使之与在同一平面内，从而巧妙地与抛物线定义挂钩，然后在平面内建立平面直角坐标系求出轨迹方程，其余问题利用平面几何、解析几何、不等式等知识不难解决.上述各例以空间直线与平面的位置关系为依托，研究平面解析几何中点的轨迹问题，立意新颖、构思精妙、极富思考性和挑战性，有利于培养学生综合运用多学科知识的能力，也有利于培养学生讨论、化归等数学意识及创新精神.通信地址：湖北省襄樊市第一中学邮 编：441000移动电话：13507271807E-mail：wy19651965第11页（共11页）
