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1、曲边梯形的面积知识与技能：了解定积分的某些实际背景，了解定积分的概念，明确定积分的几何意义过程与方法：从实际背景出发从中抽象出问题的本质，以分割、以直代曲，作和、逼近的具体操作过程来探求曲边梯形的面积。情感态度与价值观：（1）通过学习积分体会数学的博大精深（2）培养学生辨证地看待问题，从静止中认识运动，从有限中认识无限。 教学重点：求曲边梯形的面积教学难点：分割、以直代曲，作和、逼近的思想教学过程一、引入新课1 曲边梯形的面积 我们已经学会了正方形，三角形，梯形等面积的计算，这些图形有一个共同的特征：每条边都是直线段。但我们生活与工程实际中经常接触的大都是曲边图形,他们的面积怎么计算呢？我们通
2、常用一些小矩形面积的和来近似它。abxyoabxyo（四个小矩形）（九个小矩形）上面用九个小矩形近似的情况显然比用四个小矩形近似的情况精度高，但这样得到的仍然是曲边图形面积的近似值。如何求取曲边图形的准确面积呢？比如举世瞩目的长江三峡溢流坝，其断面形状是根据流体力学原理设计的，如图1所示，上端一段是是抛物线，中间部分是直线，下面部分是圆弧。建造这样的大坝自然要根据它的体积备料，计算它的体积就需要尽可能准确的计算出它的断面面积。该断面最上面抛物线所围的那BACD 长江三峡溢流坝断面一块面积该怎样计算呢？在介绍微分定义时我们已经知道，直与曲虽然是一对矛盾，但它们可以相互转化，早在三国时代，我代数学
3、家刘徽就提出了“割圆术”，以“直”代“曲”把圆的面积近似看成多边形面积来计算。现在我们我们来计算一下溢流坝上部断面面积。假设抛物线方程为 将 等分成n等份，抛物线下面部分分割成n个小曲边梯形第i个小曲边梯形用宽为，高为 的矩形代替， 它的面积 所求的总面积由此可知，分割越细，越接近面积准确值 。 再看一个变力做功的问题。设 质点 m 受力 的作用，沿直线由A点运动到B 点，求变力作的功F(x)ABF 虽然是变力，但在很短一段间隔内，F的变化不大，可近似看作是常力作功问题。按照求曲边梯形面积的思想，1） 对作分割 当每个小区间的长度都很小时，小区间 上的力 在 上，力F作的功 2）求 和 力F在
4、 上作的功分割越细，近似程度，分割无限细时，即分割细度 ，3）取极限 对上面和式取极限，极限值,就是力在 上作的功。从上面两个例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算变力作的功，它们都归结为对问题的某些量进行“分割、近似求和、取极限”，或者说都归结为形如 的和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分下一个定义：（简要定义见教材，这里给出严格定义，供参考）定义 设 是定义在区间上的一个函数，在闭区间上任取n-1个分点 把 a,b 分成 n个小闭区间，我们称这些分点和小区间构成的一个分割，用T表示, 分割的细度用表示，在分割T所属的各个小区间内各取一点称为介点，作和式 (*)总结步骤：例题讲解：例1：火箭发射后ts的速度为v（t）（单位：m/s），假定0t10,对函数v（t）按(*)式所作的和具有怎样的实际意义?例2:有两个点电荷A,B,电量分别为q和Q,固定电荷A,将电荷B从距A为a处移到距A为b处,求库仑力对电荷B所做的功.小结： 4 / 4
