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1、湖北襄阳市47中 朱弟华 2013中考综合题（二季-直角三角形）（共八季）1.如图，在平面直角坐标系中，A、B为轴上两点，C、D为轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C2：（0）的顶点（1）求A、B两点的坐标；第28题图MCBOADBB（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得PBC的面积最大？若存在，求出PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当BDM为直角三角形时，求的值 (1)解：令=0，则 0， 解得：， A（，0）、B（3，0） 2分（
2、2）存在 设抛物线C1的表达式为（），把C（0，）代入可得 1： 4分设P（，） SPBC = SPOC + SBOP SBOC = 6分 0, 当时,SPBC最大值为 7分（3）由C2可知： B（3，0），D（0，），M（1，）BD2=， BM2=，DM2=， MBD90, 讨论BMD=90和BDM=90两种情况当BMD=90时，BM2+ DM2= BD2 ，=解得：, (舍去)9分当BDM=90时，BD2+ DM2= BM2 ，=解得：， (舍去) 11分综上 ，时，BDM为直角三角形12分2.如图10，在平面直角坐标系中，一动直线从轴出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向右平移，直线与直线
3、相交于点,以为半径的与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点.设直线的运动时间为秒 （1）填空：当时，的半径为 ， ， ； （2）若点是坐标平面内一点，且以点、为顶点的四边形为平行四边形.请你直接写出所有符合条件的点的坐标；（用含的代数式表示） 当点在直线上方时,过、三点的与轴的另一个交点为yy点，连接、，试判断的形状，并说明理由.lly=xy=xBBPPxOAxOA(备用图)(图10)yy=x(图10-3)（图10-1）x解:(1)，； 3分(2)符合条件的点有3个，如图10-1，分别为、；7分(3) 是等腰直角三角形.理由如下:当点在第一象限时,如图10-2,连接、.由(2)可知,点的坐标为,由
4、点坐标为,点坐标为,点坐标为，可知，是等腰直角三角形，又，进而可得也是等腰yxy=x（图10-2）直角三角形，则.，为的直径，、三点共线，又，,为的直径, 9分yy=x图10-3x过点作轴于点，则有，即解得或依题意，点与点不重合，舍去，只取即相似比为1，此时两个三角形全等，则 是等腰直角三角形. 当点在第二象限时,如图10-3,同上可证也是等腰直角三角形. 12分综上所述, 当点在直线上方时, 必等腰直角三角形. 13分3.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是梯形，其中A（6，0），B（3，），C（1，），动点P从点O以每秒2个单位的速度向点A运动，动点Q也同时从点B沿B C O的线路以
5、每秒1个单位的速度向点O运动，当点P到达A点时，点Q也随之停止，设点P、Q运动的时间为t（秒）.（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当点Q在CO边上运动时，求OPQ的面积与时间t的函数关系式；（3）以O、P、Q为顶点的三角形能构成直角三角形吗？若能，请求出t的值，若不能，请说明理由；（4）经过A、B、C三点的抛物线的对称轴、直线OB和PQ能够交于一点吗？若能，请求出此时t的值（或范围），若不能，请说明理由.4.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为（1，0），对称轴为直线x=2（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）点D是抛物线与y轴的交点，点C是
6、抛物线上的另一点已知以AB为一底边的梯形ABCD的面积为9求此抛物线的解析式，并指出顶点E的坐标；（3）点P是（2）中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E向上运动设点P运动的时间为t秒当t为2秒时，PAD的周长最小？当t为4或4或4+秒时，PAD是以AD为腰的等腰三角形？（结果保留根号）点P在运动过程中，是否存在一点P，使PAD是以AD为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题3801346分析：（1）根据抛物线的轴对称性可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）先根据梯形ABCD的面积为9，可求c的值，再运用待定系数法可求
7、抛物线的解析式，转化为顶点式可求顶点E的坐标；（3）根据轴对称最短路线问题的求法可得PAD的周长最小时t的值；根据等腰三角形的性质可分三种情况求得PAD是以AD为腰的等腰三角形时t的值；先证明APNPDM，根据相似三角形的性质求得PN的值，从而得到点P的坐标解答：解：（1）由抛物线的轴对称性及A（1，0），可得B（3，0）（2）设抛物线的对称轴交CD于点M，交AB于点N，由题意可知ABCD，由抛物线的轴对称性可得CD=2DMMNy轴，ABCD，四边形ODMN是矩形DM=ON=2，CD=22=4A（1，0），B（3，0），AB=2，梯形ABCD的面积=（AB+CD）OD=9，OD=3，即c=3把
8、A（1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx+3得，解得y=x2+4x+3将y=x2+4x+3化为顶点式为y=（x+2）21，得E（2，1）（3）当t为2秒时，PAD的周长最小；当t为4或4或4+秒时，PAD是以AD为腰的等腰三角形存在APD=90，PMD=PNA=90，PDM+APN=90，DPM+PDM=90，PDM=APN，PMD=ANP，APNPDM，=，=，PN23PN+2=0，PN=1或PN=2P（2，1）或（2，2）故答案为：2；4或4或4+5.如图1，平面之间坐标系中，等腰直角三角形的直角边BC在x轴正半轴上滑动，点C的坐标为（t，0），直角边AC=4，经过O，C两点做抛物线
9、y1=ax（xt）（a为常数，a0），该抛物线与斜边AB交于点E，直线OA：y2=kx（k为常数，k0）（1）填空：用含t的代数式表示点A的坐标及k的值：A（t，4），k=（k0）；（2）随着三角板的滑动，当a=时：请你验证：抛物线y1=ax（xt）的顶点在函数y=的图象上；当三角板滑至点E为AB的中点时，求t的值；（3）直线OA与抛物线的另一个交点为点D，当txt+4，|y2y1|的值随x的增大而减小，当xt+4时，|y2y1|的值随x的增大而增大，求a与t的关系式及t的取值范围考点：二次函数综合题3718684分析：（1）根据题意易得点A的横坐标与点C的相同，点A的纵坐标即是线段AC的长度
10、；把点A的坐标代入直线OA的解析式来求k的值；（2）求得抛物线y1的顶点坐标，然后把该坐标代入函数y=，若该点满足函数解析式y=，即表示该顶点在函数y=图象上；反之，该顶点不在函数y=图象上；如图1，过点E作EKx轴于点K则EK是ACB的中位线，所以根据三角形中位线定理易求点E的坐标，把点E的坐标代入抛物线y1=x（xt）即可求得t=2；（3）如图2，根据抛物线与直线相交可以求得点D横坐标是+4则t+4=+4，由此可以求得a与t的关系式解答：解：（1）点C的坐标为（t，0），直角边AC=4，点A的坐标是（t，4）又直线OA：y2=kx（k为常数，k0），4=kt，则k=（k0）（2）当a=时，
11、y1=x（xt），其顶点坐标为（，）对于y=来说，当x=时，y=，即点（，）在抛物线y=上故当a=时，抛物线y1=ax（xt）的顶点在函数y=的图象上；如图1，过点E作EKx轴于点KACx轴，ACEK点E是线段AB的中点，K为BC的中点，EK是ACB的中位线，EK=AC=2，CK=BC=2，E（t+2，2）点E在抛物线y1=x（xt）上，（t+2）（t+2t）=2，解得t=2（3）如图2，则x=ax（xt），解得x=+4，或x=0（不合题意，舍去）故点D的横坐标是+t当x=+t时，|y2y1|=0，由题意得t+4=+t，解得a=（t0）6如图1，已知二次函数（其中）的图象与轴的交于点，其顶点为
12、；直线轴、且与抛物线的对称轴交于点，交抛物线于另一点(1)试用含的代数式表示的值；(2)如图2，连接与，我们把称为抛物线的伴随三角形当为直角三角形时，求出此时值；若的面积记为，当抛物第23题图图1图2线的对称轴为直线时，请写出伴随三角形面积与的函数关系式解：(1)解法一：的顶点纵坐标为，又直线轴与抛物线的对称轴交于点，且，； 1分在中，设，可得：，解得，2分； 3分解法二：的顶点纵坐标为，又直线轴与抛物线的对称轴交于点，且，； 1分又的对称轴为，且， 2分； 3分（2）直线是抛物线的对称轴，直线轴，点与点关于直线对称，是等腰三角形，又是直角三角形，是等腰直角三角形，又由（1）可知，5分当时，是
13、直角三角形；6分（3）由（1），伴随的面积，8分又抛物线的对称轴为直线，9分 10分7.如图，抛物线y x2+ x4与x轴相交于点、，与y轴相交于点，抛物线的对称轴与x轴相交于点。是抛物线在x轴上方的一个动点（点、不在同一条直线上）。分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、，连接、。(1)求点、的坐标（直接写出结果），并证明是等腰三角形；(2)能否为等腰直角三角形？若能，求此时点的坐标，若不能，说明理由；（3）若将“是抛物线在x轴上方的一个动点（点、不在同一条直线上）”改为“是抛物线在x轴下方的一个动点”，其他条件不变，能否为等腰直角三角形？若能，求此时点的坐标（直接写出结果），若不能，说明理由。
14、8综合与探究：如图,抛物线与x轴交于A,B两点(点B在点A的右侧)与y轴交于点C,连接BC,以BC为一边,点O为对称中心作菱形BDEC,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q（1）求点A,B,C的坐标。（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD，BC于点M,N。试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由。（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点 Q，使BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。解析：（1）当y=0时，解得，点B在点A的右侧，点A,B的坐标分别为：（
15、-2，0），（8，0）当x=0时，y=-4点C的坐标为（0，-4），（2）由菱形的对称性可知，点D的坐标为（0，4）.设直线BD的解析式为ykxb，则.解得，k=，b=4. 直线BD的解析式为.lx轴，点M，Q的坐标分别是（m，），（m，）如图，当MQ=DC时，四边形CQMD是平行四边形.（）-()=4-(-4)化简得：.解得，m1=0，（舍去）m2=4.当m=4时，四边形CQMD是平行四边形.此时，四边形CQBM是平行四边形.解法一：m=4，点P是OB中点.lx轴，ly轴.BPMBOD.BM=DM.四边形CQMD是平行四边形，DMCQBMCQ.四边形CQBM为平行四边形.解法二：设直线BC的
16、解析式为y=k1x+b1，则.解得，k1=，b1=-4直线BC的解析式为y=x-4又lx轴交BC于点N.x=4时，y=-2. 点N的坐标为（4，-2）由上面可知，点M,Q的坐标分别为：（4，2），Q(4,-6).MN=2-（-2）=4，NQ=-2-（-6）=4.MN=QN.又四边形CQMD是平行四边形.DBCQ，3=4，又1=2，BMNCQN.BN=CN.四边形CQBM为平行四边形.（3）抛物线上存在两个这样的点Q，分别是Q1（-2，0），Q2（6，-4）.9.在平面直角坐标系O中，过原点O及点A(0，2) 、C（6，0）作矩形OABC，AOC的平分线交AB于点D.点P从点O出发，以每秒个单位
17、长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动.设移动时间为t秒.（1）当点P移动到点D时，求出此时t的值；（2）当t为何值时，PQB为直角三角形；（3）已知过O、P、Q三点的抛物线解析式为（）.问是否存在某一时刻t，将PQB绕某点旋转180后，三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由. 备用图第24题 解：（1）矩形OABC， AOC=OAB=90OD平分AOC AOD=DOQ=451分 在RtAOD中，ADO=45 AO=AD=2， OD= 2分 图1G 3分（2）要使PQB为直角三角形，显然只有PQB=90或
18、PBQ=90.解法1：如图1，作PGOC于点G，在RtPOG中，POQ =45， OPG =45 OP=，OG=PG=t, 点P(t，,t) 又Q（2t，0），B（6，2），根据勾股定理可得: ，4分若PQB=90，则有, 即：，整理得：，解得（舍去）， 6分若PBQ=90，则有, ， 整理得，解得. 图2QPQ当t=2或或时，PQB为直角三角形. . 8分解法2：如图2，当PQB=90时，易知OPQ=90，BQOD BQC=POQ=45 可得QC=BC=2 OQ=4 2t=4 t=2 5分如图3，当PBQ=90时，若点Q在OC上，作PNx轴于点N，交AB于点M，则易证PBM=CBQPMBQC
19、B ， 化简得，解得 6分图4MN 7分如图4，当PBQ=90时，若点Q在OC的延长线上，作PNx轴于点N，交AB延长线于点M，则易证BPM=MBQ=BQC PMBQCB ，化简得，解得 8分（3）存在这样的t值，理由如下：将PQB绕某点旋转180，三个对应顶点恰好都落在抛物线上，则旋转中心为PQ中点，此时四边形为平行四边形. 9分PO=PQ ，由P（t,t），Q（2t，0），知旋转中心坐标可表示为（）10分点B坐标为（6,2）， 点的坐标为（3t-6,t-2）， .11分代入，得： ，解得 12分（另解：第二种情况也可以直接由下面方法求解：当点P与点D重合时，PB=4，OQ=4，又PB OQ，四边形为平行四边形，此时绕PQ中点旋转180，点B的对应点恰好落在O处，点即点O.由（1）知，此时t=2. （说明：解得此t值，可得2分.）14
