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1、难度系数：0.500.60不等式的综合应用例析湖北省襄樊市第一中学特级教师 王 勇关键词：不等式 综合应用 例析纵观近年来的高考试题，关联不等式的理论应用题和实际应用题是每年高考的必考内容之一.这两类应用题极富思考性和挑战性，是考查学生数学素养和数学能力的极好素材.下面精选两例并予以深刻剖析，旨在探索题型规律，提示解题方法. 1. 不等式的理论应用例1. 设函数，且存在，使得成立.（1）若，当且时，试比较与的大小；（2）若直线与分别与的图象交于M、N两点，且M，N两点连线被直线平分，求出的最大值.点拨：由题设条件易得和，由方程根的意义可构造一个两根分别为的一元二次方程，再借助韦达定理发现与对称
2、轴的关系.最后运用二次函数的单调性可判断出与的大小.第（2）问建立是的函数关系式，再运用均值不等式可求得的最大值.解：（1）由题意，. .是方程的两根，当时，是方程的两根.，而，.的对称轴为，又，.（2）设，则的中点的坐标为.由，的中点的坐标为，代入直线方程，得.当且仅当时，.评注：解此题需要较强的观察力，能从中观察出，是某一个一元二次方程的两根，从而得出这样有用的关系式，否则会使解答陷入困境.利用一元二次方程、二次函数、不等式等知识是顺利解决此题的关键.2不等式的实际应用例2有一种变压器，铁蕊的截面呈正十字形，为了保证所需的磁通量，要求正十字形的面积为，为了使用来绕铁蕊的铜线最省，即正十字形
3、的外接圆周长最短，应如何设计正十字形的长和宽？点拔：要使铜线最省，即就是要使外接圆的周长最小，故可建立周长与正十字形的长或宽的函数模型，然后利用均值不等式求最小值.解：如图所示，设正十字形宽，长，其外接圆直径为d，正十字形的面积为S，外接圆周长为C，根据正十字形的对称性有：由有，代入得，要使C最小，由知，只须达到最小，亦只须达到最小.=当且仅当即时，有，且当正十字形铁蕊宽为2cm，长为时，其外接圆周长最短，所用铜线最省.评注：利用均值不等式解某些实际问题时，有的侧重点是应用均值不等式的结论，有的侧重点是应用均值不等式时等号成立的条件，也有的两方面都需要应用.3牛刀小试1一批货物随17列货车从A市以Vkm/h匀速直达B市，已知两地铁路线长为400km，为了安全，两列货车的间距不得小于（货车的长度忽略不计），那么这批货物全部运到B市，最快需要（ ）A.6h B.8h C.10h D.12h2设函数定义在R上，对于任意实数恒有，且当（1）求证：且当（2）求证：在R上单调递减；（3）设集合，集合若，求的取值范围.4答案1B 2.（1）略；（2）略；（3）.（湖北省襄樊市第一中学）通讯地址：湖北省襄樊市第一中学邮政编码：441000手 机：13507271807邮 箱：wy19651965身份证号：4206011965090976134
