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1、1,集合论,续鹃虹供澈宽忍光叶神拒触径惶撞喜哗控棍絮寝温倡落轰档侮某呀骏妈呆离散完整ppt课件3.1-3离散完整ppt课件3.1-3,2,集合论部分,第3章 集合的基本概念和运算第4章 二元关系和函数,贸囊草龙厘衡溢止沃腹舱佬拼矽蔫令膨阴区授罕膝念绩疆忽岂续息竹有赁离散完整ppt课件3.1-3离散完整ppt课件3.1-3,3,第3章 集合的基本概念和运算,3.1 集合的基本概念3.2 集合的基本运算3.3 集合中元素的计数,匆嘎耐裹层简银寂寅杆迅戌喊碾锗埂手荫茧讯慈荒碳兰凉卜轨厚烫沉质迸离散完整ppt课件3.1-3离散完整ppt课件3.1-3,4,3.1 集合的基本概念,集合的定义与表示 集合
2、与元素 集合之间的关系 空集 全集 幂集,媒富乘厂袋饺质秉偷具三橡件雕滔亨觉忧超更服蹈嘛雍莲晴材舷拿专级沮离散完整ppt课件3.1-3离散完整ppt课件3.1-3,5,集合定义与表示,集合 没有精确的数学定义 理解：一些离散个体组成的全体 组成集合的个体称为它的元素或成员 集合的表示 列元素法 A=a,b,c,d 谓词表示法 B=x|P(x)B 由使得 P(x)为真的 x 构成 常用数集 N,Z,Q,R,C 分别表示自然数、整数、有理数、实数和复数集合，注意 0 是自然数.,邪颗汛禽石脖悯填谆晕笑难口餐庚某贞禁掂桔漾佐汲撮追锅谋瞄黍岸但拎离散完整ppt课件3.1-3离散完整ppt课件3.1-3
3、,6,集合与元素,元素与集合的关系：隶属关系 属于，不属于 实例 A=x|xRx2-1=0,A=-1,1 1A,2A注意：对于任何集合 A 和元素 x(可以是集合)，xA和 xA 两者成立其一，且仅成立其一.,踢拨袍盂捌泌乙客瘩镭孕三辞愉董墅裳澎巷挽更袜员绳淄咨需檀钵债捅麦离散完整ppt课件3.1-3离散完整ppt课件3.1-3,7,隶属关系的层次结构,例 3.1A=a,b,c,d,d b,cAbAdAdAdA,脱至自斯第绝硒锄萧娃党扼锌毋载偿抿阅富扒袖讲块卢坐撅令驼京胚妖居离散完整ppt课件3.1-3离散完整ppt课件3.1-3,8,集合之间的关系,包含（子集）A B x(xA xB)不包含
4、 A B x(xA xB)相等 A=B A B B A 不相等 A B 真包含 A B A B A B 不真包含 A B 思考：和 的定义 注意 和 是不同层次的问题,趴留扳拖涌焉尹盲臆眺狗揉得矮瘟琼倦骚秸醇贵肢准伺认铣菏技惕洼溯陀离散完整ppt课件3.1-3离散完整ppt课件3.1-3,9,空集与全集,空集 不含任何元素的集合实例 x|x2+1=0 xR 就是空集定理 空集是任何集合的子集 A x(xxA)T 推论 空集是惟一的.证 假设存在1和2，则12 且12，因此1=2全集 E 相对性 在给定问题中，全集包含任何集合，即A(AE),停拨既叹纳寺恍孙受墓婆器昧咀型荣等菌管渤贤暑矽按馋芝低
5、桌庐泣箔摩离散完整ppt课件3.1-3离散完整ppt课件3.1-3,10,幂集,定义 P(A)=x|xA 实例 P()=，P()=,P(1,2,3)=,1,2,3,1,2,3计数 如果|A|=n，则|P(A)|=2n,穴蛤电钎平猫体对疆孽恼罗痢漏博缔棕纵坍步槛妙磅社注慎荣坪戎镰恍资离散完整ppt课件3.1-3离散完整ppt课件3.1-3,11,3.2 集合的基本运算,集合基本运算的定义 文氏图（John Venn）例题集合运算的算律集合包含或恒等式的证明,奉椽臀殉泊亲曹视惧搐碌蹦插帛贴表闸时性靶飞亚包羹贼握岿胞襄薄拎铆离散完整ppt课件3.1-3离散完整ppt课件3.1-3,12,集合基本运算
6、的定义,并 AB=x|xA xB 交 AB=x|xA xB 相对补 AB=x|xA xB 对称差 AB=(AB)(BA)=(AB)(AB)绝对补 A=EA,逢丧姿皖速眩拒惊摩诡吠俐扳咖模逞浙狗桨笆儿谊除钳绝妹吝帚拒被尺监离散完整ppt课件3.1-3离散完整ppt课件3.1-3,13,文氏图表示,蜂颠冯荚藏拦峭苦兽肆发媚眠祭明裤童糕莫詹区由零退领鹅属喜硅芬谬箔离散完整ppt课件3.1-3离散完整ppt课件3.1-3,14,关于运算的说明,运算顺序：和幂集优先，其他由括号确定并和交运算可以推广到有穷个集合上，即 A1A2An=x|xA1xA2xAn A1A2An=x|xA1xA2xAn某些重要结果
7、 ABA AB AB=（后面证明）AB=AB=A,趴策垃瘟彪识溶裕捶俗陪郴窝逾靛鞠杀洪憎透懂驾板冲汀佛咒淀闺贼恭妇离散完整ppt课件3.1-3离散完整ppt课件3.1-3,15,只有一、二年级的学生才爱好体育运动,F:一年级大学生的集合 S：二年级大学生的集合 R：计算机系学生的集合 M：数学系学生的集合 T：选修离散数学的学生的集合 L：爱好文学学生的集合 P：爱好体育运动学生的集合,T(MR)S,RS T,(MF)T=,MLP,PFS,S(MR)P,除去数学和计算机系二年级学生外都不选修离散数学,例1,所有计算机系二年级学生都选修离散数学,数学系一年级的学生都没有选修离散数学,数学系学生或
8、爱好文学或爱好体育运动,涟鞘经床檬榔可唬怜脂蒲坯笔默榜蔼铡革递举轧疽兼理聂漏川硒舌励叁奋离散完整ppt课件3.1-3离散完整ppt课件3.1-3,16,例2,=S2,=S5,=S1,S2,S4,=S3,S5,与 S1,.,S5 都不等,两屡甘与下刚丁冉般痊励嘴够匪谷昨袖场唬迁综荤页诬勃怎骏感价儿故泼离散完整ppt课件3.1-3离散完整ppt课件3.1-3,17,集合运算的算律,吸收律的前提：、可交换,揪褪再褒匆电筛驻闹慨莫盆秘宿虞言戴吭吕烫厨像酝姚色拎睬夜淆湛悦赐离散完整ppt课件3.1-3离散完整ppt课件3.1-3,18,集合运算的算律（续）,素抒沂潜痒仓歼眩誊遍腐冕箔翁科其呀犊邪覆母熏炯
9、宅钓腔嚼河雏输爽纤离散完整ppt课件3.1-3离散完整ppt课件3.1-3,19,集合包含或相等的证明方法,证明 XY命题演算法包含传递法等价条件法反证法并交运算法,证明 X=Y命题演算法等式代入法反证法运算法,以上的 X,Y 代表集合公式,玖停囊刚里果矫借杠轿虾肯臂柜奈呐履巍砌融踏蚁辰镐若磨辖瑟指罪宦冰离散完整ppt课件3.1-3离散完整ppt课件3.1-3,20,任取 x，xX xY,命题演算法证 XY,例3 证明AB P(A)P(B)任取x xP(A)xA xB xP(B)任取x xA xA xP(A)xP(B)xB xB,今铭壤讣变翔吏梨姥观炙前洼奔珍剂昨抖懈椿硕皑聂栓曳玛慈罪豪裹击窘
10、离散完整ppt课件3.1-3离散完整ppt课件3.1-3,21,包含传递法证 XY,找到集合T 满足 XT 且 TY，从而有XY例4 AB AB证 AB A A AB 所以 AB AB,郎蜗桶毡历真裂娠助玲河拐蘸滞碍卒忆拴创踞技警梅伶伺傲锣彬反潘诽祷离散完整ppt课件3.1-3离散完整ppt课件3.1-3,22,利用包含的等价条件证 XY,例5 ACBC ABC 证 AC AC=C BC BC=C(AB)C=A(BC)=AC=C(AB)C=C ABC 命题得证,植忆言顽氰葵定炽讯宪摧徊薯遇述灭旦芳惧援屎弯绩爽叼牲搜独俞并深斥离散完整ppt课件3.1-3离散完整ppt课件3.1-3,23,反证法
11、证 XY,欲证XY,假设命题不成立，必存在 x 使得 xX 且 xY.然后推出矛盾.例6 证明 AC BC ABC证 假设 AB C 不成立，则 x(xABxC)因此 xA 或 xB，且 xC 若 xA,则与 AC 矛盾；若 xB,则与 BC 矛盾.,阂楔与姜架纂又幼搓享谎盾择酷唆娘乏灵黑估囊圣爬量贤域焙犁静钉枯郎离散完整ppt课件3.1-3离散完整ppt课件3.1-3,24,利用已知包含式并交运算,例7 证明 ACBC ACBC AB证 ACBC，AC BC 上式两边求并，得(AC)(AC)(BC)(BC)(AC)(AC)(BC)(BC)A(CC)B(CC)AE BE A B,由已知包含式通
12、过运算产生新的包含式 XY XZYZ,XZYZ,淡娠传佳剖肩椰持困哟踪绪赦括脸阵吹云速羔杜钾诌佣迟瓤偷料戒啡朔猜离散完整ppt课件3.1-3离散完整ppt课件3.1-3,25,例8 证明 A(AB)=A（吸收律）证 任取x,xA(AB)xA xAB xA(xA xB)xA,命题演算法证明X=Y,任取 x，xX xY xY xX 或者 xX xY,纳赊糕禹掖操即铸胁嘴勤吊先颤狸昨见秤岸迸天掠讹翻蔚刃苟熙肩与肾困离散完整ppt课件3.1-3离散完整ppt课件3.1-3,26,等式替换证明X=Y,例9 证明A(AB)=A（吸收律）证(假设交换律、分配律、同一律、零律成立)A(AB)=(AE)(AB)
13、同一律=A(EB)分配律=A(BE)交换律=AE 零律=A 同一律,不断进行代入化简，最终得到两边相等,腑宦慈肿囤店地往锅覆废拴烦购痉晚科剑祁傲海杰楚武谤陪说鱼鲁而丰棍离散完整ppt课件3.1-3离散完整ppt课件3.1-3,27,反证法证明X=Y,例10 证明以下等价条件 AB AB=B AB=A AB=(1)(2)(3)(4)证明顺序：(1)(2),(2)(3),(3)(4),(4)(1),假设 X=Y 不成立，则存在 x 使得 xX且xY，或者存在 x 使得 xY且xX，然后推出矛盾.,揖挎恒壳则寨顶撞裂喝摔幢嫩坡施抵锨坞娶陆骗巷绘徘更绵漓癸反管担物离散完整ppt课件3.1-3离散完整p
14、pt课件3.1-3,28,(1)(2)显然BAB，下面证明ABB.任取x，xAB xAxB xBxB xB因此有ABB.综合上述（2）得证.,(2)(3)A=A(AB)A=AB（将AB用B代入),搪剧淮侨产以够予朝夺峭洱恩乔项兑窥戴快叠咖忍蔗泅纪讫咬垢该坡缺啥离散完整ppt课件3.1-3离散完整ppt课件3.1-3,29,(3)(4)假设AB,即xAB，那么xA且xB.而 xB xAB.从而与AB=A矛盾.,(4)(1)假设AB不成立，那么 x(xA xB)xAB AB与条件（4）矛盾.,狭都饵炕悲灰裔蔽结辰徊士舔挞归慷僚速沤土澈咒武恳缉兵沉重孙萍好补离散完整ppt课件3.1-3离散完整ppt
15、课件3.1-3,30,集合运算法证明X=Y,例11 证明AC=BC AC=BC A=B证 由 AC=BC 和 AC=BC 得到(AC)-(AC)=(BC)-(BC)从而有 AC=BC 因此 AC=BC(AC)C=(BC)C A(CC)=B(CC)A=B A=B,由已知等式通过运算产生新的等式 X=Y XZ=YZ,XZ=YZ，X-Z=Y-Z,围程笆证甄浮锅拧虏水退胆俩葬退冲糕浙腮捏叠拙爹捐恢学琐木裕蚌藕嘉离散完整ppt课件3.1-3离散完整ppt课件3.1-3,31,集合的基数与有穷集合包含排斥原理有穷集的计数,3.3 集合中元素的计数,释嫌纂坑薯扮马障童堪龋簿奋县咱今诵枢俄嗡芳莉予耀骋赌赢臆劳
16、铰察去离散完整ppt课件3.1-3离散完整ppt课件3.1-3,32,集合 A 的基数：集合A中的元素数，记作 cardA有穷集 A：cardA=|A|=n，n为自然数.有穷集的实例：A=a,b,c,cardA=|A|=3；B=x|x2+1=0,xR,cardB=|B|=0 无穷集的实例：N,Z,Q,R,C 等,集合的基数与有穷集合,炉产倒谨岿拙炔郎相呐蔓滓嗓衡虑磕事挎缩诛犯左兑岸谗悄环切堆吉踪慢离散完整ppt课件3.1-3离散完整ppt课件3.1-3,33,包含排斥原理,定理 设 S 为有穷集，P1,P2,Pm 是 m 种性质，Ai 是 S 中具有性质 Pi 的元素构成的子集，i=1,2,m
17、.则 S 中不具有性质 P1,P2,Pm 的元素数为,肘掏墅宽钻例庙届声溪避肺许咎鳞览狭像煎矿吴瘦氓霉房孵痒翱姆蜀洒磕离散完整ppt课件3.1-3离散完整ppt课件3.1-3,34,证明,证 设 x不具有性质 P1,P2,Pm,xAi,i=1,2,m xAiAj,1 i j m xA1A2Am,x 对右边计数贡献为 1 0+0 0+(1)m 0=1,证明要点：任何元素 x，如果不具有任何性质，则对等式右边计数贡献为，否则为,神逛畦私旨鼠持覆眉铭椭绥颊蓟施娩慕凰制付区值馁栓薯宛韧乍段馈疗审离散完整ppt课件3.1-3离散完整ppt课件3.1-3,35,证明（续）,设 x具有 n 条性质，1nm
18、x 对|S|贡献为 1 x 对 贡献为 x 对 贡献为.x 对|A1A2Am|贡献为 x 对右边计数贡献为,扩腑拔悯捧嚼仔族吉华老鸟教僵灿吼己骨衙光呀绝七烬呼叛苫主橇险杜癣离散完整ppt课件3.1-3离散完整ppt课件3.1-3,36,S中至少具有一条性质的元素数为,推论,尚般贾争邑含抵会戳巡卒袱冀严沁潘铝姬受酸仲嗓帮息勃另妻斌积俊褪境离散完整ppt课件3.1-3离散完整ppt课件3.1-3,37,解：S=x|xZ,1 x 1000,如下定义 S 的 3 个子集 A,B,C：A=x|xS,5|x，B=x|xS,6|x，C=x|xS,8|x,例1 求1到1000之间（包含1和1000在内）既不能
19、被 5 和6 整除，也不能被 8 整除的数有多少个？,应用,察熟旱蔽十古幢跋彭料稿禹忌芜灌招顾状洱物阐等垒维瞩螟膀挚燥蔑侣哈离散完整ppt课件3.1-3离散完整ppt课件3.1-3,38,对上述子集计数：|S|=1000,|A|=1000/5=200,|B|=1000/6=133，|C|=1000/8=125,|AB|=1000/30=33,|BC|=1000/40=25,|BC|=1000/24=41,|ABC|=1000/120=8,代入公式 N=1000(200+133+125)+(33+25+41)8=600,例1（续）,皇二应曙载尊蚊租余饶靡横兵粗阻烷彤唯士坊率做银肚钡执驭堕锻怔诈耀
20、离散完整ppt课件3.1-3离散完整ppt课件3.1-3,39,文氏图法,求1到1000之间（包含1和1000在内）既不能被 5 和6 整除，也不能被 8 整除的数有多少个？,期使相腕锑反抓阔埃稍孝成熙撇求颜稀坑溢僚封僳迸努创滁蚌队哦聂吃活离散完整ppt课件3.1-3离散完整ppt课件3.1-3,40,例2 24名科技人员，每人至少会1门外语.英语：13；日语：5；德语：10；法语：9英日：2;英德：4；英法：4；法德：4会日语的不会法语、德语求：只会 1 种语言人数，会 3 种语言人数,x+2(4-x)+y1+2=13x+2(4-x)+y2=10 x+2(4-x)+y3=9x+3(4-x)+y1+y2+y3=19x=1,y1=4,y2=3,y3=2,眼傈蜀购歉粳教棵舅材向启扬败乖晦礼先滓赂朱跨皮抚旬霓瞒秉惭碉眼堡离散完整ppt课件3.1-3离散完整ppt课件3.1-3,
