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1、第八讲 等差数列1等差数列的判断方法：定义法或。等差数列的证明须用定义证明，值得注意的是，若给出一个数列的前项和，则其通项为若满足则通项公式可写成.已知数列满足，令（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式。2等差数列的通项： an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。如(1)等差数列中，则通项（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是_3等差数列的前项和：，。当d0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a10），Sn=na1是关于n
2、的正比例式。如（1）等差数列anbn的前n项分别为Sn与Tn,若 ,则=_（2）数列 中，前n项和，则，（3）已知数列 的前n项和，求数列的前项和 （4）4等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。提醒（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为，（公差为）；偶数个数成等差，可设为，,（公差为2）5.解答有关数列问题时，经常要运用各种数学思想.善于使用各种数学思想解答数列题，是我们复习应达到的目标. 函数思想：等差等比数列的通
3、项公式求和公式都可以看作是的函数，所以等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解.如：求的最大值分类讨论思想：用等比数列求和公式应分为及；已知求时，也要进行分类；如：已知：求整体思想：在解数列问题时，应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势，运用整体思想求解. 如：已知等比数列an，求三等差数列的性质：1当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，斜率为公差；前和是关于的二次函数且常数项为0.2若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。3当时,则有，特别地，当时，则有.如（1）等差数列中，则_（2）在等差数列中，且，是其前项和，则A、都小于0，都大于0B、都小于0，
4、都大于0C、都小于0，都大于0D、都小于0，都大于0(3)已知等差数列的公差是正数，且，求数列的前20项的和S20。4若、是等差数列，则、 (、是非零常数)、 ，也成等差数列，而成等比数列；若是等比数列，且，则是等差数列. 如等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。5在等差数列中，当项数为偶数时，；项数为奇数时，（这里即）；。如（1）在等差数列中，S1122，则_（2）项数为奇数的等差数列中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数6若等差数列、的前和分别为、，且，则 .如设与是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么_7“首正”的递减等差数列中，前
5、项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组确定出前多少项为非负（或非正）；法二：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如（1）等差数列中，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（2）若是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大正整数n是 8 如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究.如：已知两个数列3，7，11，139与2，9，16，142，则它们所有公共项的个数为（ ）例1.已知数列的前项和为，若，证明数列为等差数列，并求其通项公式；令，当为何正整数值时，：若对一切正整数，总有，求的取值范围.来4
