《一道课本习题的探究.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一道课本习题的探究.doc（6页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、一道课本习题的探究历年来襄樊市中考数学试题对圆的考察呈现以课本例习题为基本题根，经过命题专家匠心独运、锐意创新、变换命题的视解和策略，精心变式与创新编拟而成。我下面从中考数学命题趋势，浅谈对一道课本习题的变式探究。如图：O的直径AB12cm，AM和BN是它的两条切线，DE切O于E，交AM于D，交BN于C，设ADx，BCy，求y与x的函数关系,画出它的图象。题目:（人教版九年级（上）第二十四章复习题24，第14题）OBCE析ADMN图一、解法探究 分析:本题是一道梯形与圆相结合的题目，运用梯形的有关知识、切线的判定与性质定理、切线长定理及方程的思想，解题方法以勾股定理的构造和相似为主要途径，考察
2、的知识和解题方法均是中考考察重点。解法：如图2过点D作DFBC于点FAM、BN是O切线 BAMABN90图2DFB90四边形ABFD为矩形DFAB12ADBFXCF=yxAD、DC、CB为O切线ADDEx CD=BC=y (切线长定理) 在RTDCF中DF2FC2CD2(x+y)2(xy)2=122y（x0）图象略解法：如图3连结OD、OC证明：AD、DC、CB为O切线ADOEDOECOBCO（切线长定理）ADDExBCCEyCD=AD+BC=x+yADBC图3ADO +EDO +ECO +BCO =180 EDO +ECO =90DOC=18090=90在RTAOD中，AO6ADxOD2=6
3、2+x2在RTOBC中，OB=6 BC=yOC= y2+62在RTCOD中，OD2+OC2=CD262+x2+ y2+62=(x+y)2y=（x0）图象略解法:如图4连结OD、OCDOC90（解法2已证）AODBOC90AOD+ODA=90图BOC=ODA又DAOOBC90DAOOBCy=（x0）图象略点评：解法（1）：运用直角梯形的常规辅助线“作垂线”将四边形问题转化为三角形构造勾股定理建立方程；解法（2）与解法（3）辅助线相同，同样构造直角三角形分别以勾股定理和相似为桥梁建立方程计算。三种解法各有特色，解法更具有简捷性。二、变式探究：变换条件与结论，图形不变DA变式：如图5，四边形ABCD
4、是直角梯形,以垂直于底的腰AB为直径的圆与腰CDE相切，已知AB的长为cm,梯形的周长是O28cm,求梯形的上底与下底的长。解：如图，设以AB为直径的圆O， ADxcm，BCycm，连结OD、OC，BC首先应用切线的判定证明AD、BC为O的切线，图5再利用切线长定理证明ADOBOC，(证明方法同解法2)ADOBOCAD：OBOA：BC，即x:44：y，xy=162x2y+8=28，即xy10。解联立的方程组得x2，y8。变式：已知，ADBC，ABC90，以AB为直径的O切CD于点E，这个梯形的周长为28，面积为40，求O的半径。解：如图6，首先应用切线的判定证明AD、BC为O的切线，则AD=D
5、E，BC=CE。设所求半径为r，则ADBC， S梯形ABCD，解得r1=4，r2=10(不合题意，舍去) OBCE析ADMN图6点评：这两个变式的题形中都能找到原题的影子，解题的过程中均用到原题的关键知识点、辅助线、解题思想，真可谓万变不离其宗。三、拓展探究如图7，的直径和是它的两条切线，切于E，交AM于D，交BN 于C设 （1）求证：；（2）求关于的关系式； （3）求四边形的面积S，并证明：（4）在直径AB上是否存在一动点P，使以A、D、P为顶点的三角形与BCP相似?若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由。证明：（1）AB是直径，AM、BN是切线， ， OADEMCBN图7F解：（2）过
6、点D作 于F，则 由（1），P四边形为矩形. ， DE、DA，CE、CB都是切线， 根据切线长定理，得， 在中， ，化简，得y=（3）由（1）、（2）得，四边形的面积，即，当且仅当时，等号成立，即（4）存在符合条件的P点设AP=m，则BP=2m，ADP与BCP相似，有两种情况： ADPBCP时， 即有，则m= ADPBPC时，即有（m）=m2m=1故存在符合条件的点P，此时AP=或1 点评：本题是由2009年肇庆市与鄂州市中考题改编而成，与原题相比，主要条件和图形变化不大，但结论设计了相关联的个问题。它涉及到平行线、圆的切线、勾股定理、相似三角形、函数等知道的考察，还有分类讨论的数学思想方法，
7、本题具有较强的综合性。四、动态探究（2009年呼和浩特）如图8，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC90，AB12cm，AD8cm，BC22cm，AB为O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度运动，P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一个动点也随之停止运动设运动时间为t(s)(1)当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？(2)当t为何值时，PQ与O相切？ABOCDPQ图8解：（1）如图9，直角梯形OAPDBQC当时，四边形为平行四边形图9由题意可知：当时，四边形为平行四边形OAPDBQCHE（2）如图
8、10，设与相切于点过点作垂足为直角梯形图10由题意可知：为的直径，为的切线在中，即：因为在边运动的时间为秒而（舍去）当秒时，与相切点评：本题是在原题的基础上，引进两个动点的运动，由静态转化为动态，探究与两动点连线所构成的四边形是平行四边形及动点连线与圆相切的时间条件。涉及平行四边形的判定、切线的性质、勾股定理、一元二次方程的解法等知识，把几何与代数综合在一起，具有一定创新性。总之，通过对课本习题的变式、拓展与综合探究，不仅能开拓学生的解题思路，激发学生学习数学的兴趣，而且能有效地训练学生思维的灵活性、变通性和深刻性，从而提升学生的思维品质。为了更好地对课本典型习题进行研究，这就要求数学教师，在平时的教学中，深挖教材，善于开发习题的生长点，努力提示习题间的内在联系，并注重引导学生进行解题反思，达到举一反三、融会贯通之效果。
