《圆锥曲线的应用问题.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《圆锥曲线的应用问题.doc（6页珍藏版）》请在三一办公上搜索。
1、圆锥曲线的应用问题襄樊市第八中学 王 毅摘要：随着课程改革理念的深入，以圆锥曲线在生活和生产实际中的应用为背景的应用问题，本文试图通过具体问题的解决使学生解决类似应用题的水平达到一个新的高度关键词：课改 圆锥曲线 建筑 声速 光学 天文 应用 随着课程改革理念的深入，一些以圆锥曲线在生活和生产实际中的应用为背景的应用问题已经进入了我们的教材。运用数学知识，分析日常生活中的现象，解决日常生活中的问题是学生增强数学应用意识，提高数学应用能力的重要途径，也是教学改革的要求。理论联系实际，注重学生创新精神的培养和实践活动的参与，既是对所学内容的实际应用，又对学生探究和解决问题具有较好的训练价值。解决实
2、际生活中的问题与应用题教学有着密切的联系，两者都要通过对背景材料观察、分析、抽象，将问题转化为数学问题，最后建立数学模型加以解决，亲自动手去解决日常生活中的实际问题，能更好地培养学生的创新意识和探究能力。这种能力的形成，反过来又促进了教师对应用题的教学，使得学生在做题时，遇到陌生的没模式可套的问题，能创造性地运用所学的知识加以解决，从而使解应用题的水平达到一个新的高度，同时又加深了学生对所学知识掌握的深度和广度。与曲线有关的应用题较多，如物体运动轨迹、拱型桥的建造、通风塔的建造、探照灯（太阳灶）的光学原理、工艺图形的设计等等。此类问题一般需要应用二次曲线的知识求解，本 文就自己的一些做法谈一谈
3、一点浅显的认识。一、圆锥曲线在建筑中的应用问题圆锥曲线因其方程简单，线型多变美观，且具有某些很好的力学性质，因此在建筑方面也不乏应用。图4问 题1 公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25米，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的人任一平面上抛物线路径如图1所示。为使水流形状较为漂亮，设计成水流在到OA距离为1米处达到距水面最大高度2.25米，如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？A O 水面图2图1简 解 建立如图2所示的直角坐标系，则点A、B
4、的坐标分别为A（0，1.25）、B（1，2.25）。水流所呈现的抛物线方程为y=a(x-1)2+2.25因 A 在抛物线上，故得a=-1抛物线方程为y=-(x-1)2+2.25令y=0，得x1=2.5，x2=-0.5（不合题意）。故水池半径至少要2.5米，才能使水流不落到池外。图4图3问 题2 发电厂的通风塔曲面是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，为什么用这样的方法制作呢？试解释其中的原理。分 析：如图3将细木棒绕着一半径为R圆面紧密地排列，要求每根细木棒与圆面所在的平面垂直，再将各细木棒倾斜，使之与圆面的垂线成角。这样由无数条细木棒构成的曲面具有什么形状呢？下面讨论这个问题。简 解：如图
5、3OQ垂直于O所在平面，PA为其中的一细木棒，PA=1，作PB垂直O所在平面，垂足为B，PQOQ，则AB=lsin，OQ=PB=lcos，OB=R2+AB2=R2+l2sin2.以OB为x轴，OQ为y轴建立直角坐标系，并设P（x，y），则x=OB= R2+l2sin2y=OQ=lcos.将l=，代入上式，得x2=R2+sin.即 x2cos2=R2 cos2+ y2sin2,于是有 -=1可知点P在双曲线上，即在双曲线-=1绕其虚轴旋转而成的曲面上。由上可知，这一曲面是由一根根“细木棒”直线组成的，因而这一曲线面也叫双曲直纹面。由于物体沿直线运动时，所受阻力最小，因此这种形状的通风塔的通风效果
6、是最好的。二、圆锥曲线中“声速”的应用问题科学家在对声速的研究中发现可以利用圆锥曲线的方程求解某些方位问题。物体方位往往与距离、声速（或光速）、时间等问题有关，通过分析题目的具体情况（如时间差）判断物体的具体位置，再解决与之有关的问题，它可以应用在军事、海洋研究中。此类问题可考虑建立直角坐标系，转化为解析几何问题。问 题3 A、B、C是我方3个炮兵阵地，A在B的正东，相距6千米，C在B的北偏西30，相距4千米，P为敌炮兵阵地，某时刻，A处发现敌炮兵阵地的某信号，由于B，C两地比A距P地远，因此4秒后，B，C才同时发现这一信号（该信号传播速度为1千米/秒），A若炮击P地，求炮击的方位角。 解：如
7、图6所示，以BA所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，则B（-3，0），A（3，0），C（-5，2）。由于B，C同时发现这一信号（该信号传播速度为1千米/秒），所以P在线段BC的中垂线PD上，求得直线PD的方程为：y-=（x+4）.又PB-PA=4，故P必须在以A、B为焦点的双曲线的右支上，可以求得双曲线的方程为-=1（x2）.图6图8联立得方程组y-=(x+4)，-=1(x2)，解之得x=8或x=-（舍）.所以y=5，即P（8，5），所以kPA=，即直线PA的倾斜角为60，故A炮击P地的方位角为东偏北60.问 题4 在相距2km的F1、F2两哨所，听到炮弹爆炸的时间相差4s，
8、已知声速为340m/s，试问：炮弹爆炸点在怎样的曲线上？讨论：与问题3比较，有哪些相似的地方？又有哪些明显的不同？简 解：设爆炸点为M，则MF1-MF2=4340由双曲线的定义可知M点在双曲线的上。设爆炸点为M，由已知得MF1-MF2=4340=1360 1360F1F2=2000 M在以F1、F2为焦点的双曲线的一支上，以F1F2所在的直线为x轴，以线段的中垂线为y轴线建立平面直角坐标系（如图7）则F1（-1000，0），F2（1000，0）C=1000 2a=1360 a=680 b2=c2-a2=10002-6802=537600 炮弹爆炸点所在的双曲线方程为-=1（x0）图7三、圆锥曲
9、线光学性质的应用问题我们知道，在圆锥曲线定义中的定点称作为焦点，是源于它们的光学上聚集性质。1、椭圆的光学性质设一个镜面的轴截面的廓线是椭圆，那么当你把一个射线源置于定点F1处，所有射线通过椭圆反射后，都会集中到另一个定点F2；反过来也是一样（如图8）两个定点F1、F2为焦点。图8问 题5 一个跟踪聚热装置的设计是这样的：热源点固定于点F1，在标准工作情况时，加热点在F2F1F2=80cm，聚热的椭圆镜面的长半轴长为50cm。当加热点F2沿长轴微调一个距离d到F3时，若保持长半轴长不变，必须对椭圆镜面作怎样的改变，才能跟踪对F3加热？这里以d为正时，表示焦距加大，否则减小。简 解： 如图9，在
10、标准工作情况下，设椭圆镜面的中心在O，长轴热源端的顶点在A，则长半轴a=OA=50，半焦距c=OF1=40，椭圆的短半轴长b= a2-c2 =30.当加热点F2微调d到F3时，F1F3=80+d，半焦距c1=40+，此时椭圆的中心O将偏移至O1，因为椭圆的长半轴长不变，因此顶点A也必须偏移至A1，使O1A1=OA=50。图9为了跟踪对F3加热，应使F1、F3成为以O1为中心，A1为顶点的椭圆的焦点，为此，这个新椭圆的短半轴应相应改变，设改变量为b，则b满足（30+b）2=502-c12 =502-（40+）2,即 60b+（b）2=-40b-（）2.图9因为是微调，所以b、b是一个很小的量，故
11、可忽略等式两边的后一项，成为60b-40b，即b-b.所以当加热F2沿长轴微调一个距离b时，为了跟踪对F3加热，必须把椭圆顶点A同向移动b的二分之一，把短半轴长改变b的三分之二，并且当b0时是缩小，当b0时是放大。2、抛物线的光学性质平行于对称轴的射线经抛物线反射，必定聚集于焦点（见图10）。反之把射线源置于抛物线的焦点（它在有限位置处），经抛物线反射后，所有的射线也要聚到在无穷远处的那个焦点去，因此反射射线也只能是平行于对称轴的，即从焦点发出的射线，经抛物线反射后成为平行于对称轴的射线束。图10问 题6 某种碟形太阳能热水器的外形示意图如图11，其中F为加热点，碟形反向壁是抛物线绕对称轴旋转
12、而成的曲面，抛物线以cm为单位的设计尺寸如图12为了达到最佳加热效果，点F应距碟底多少？图11简 解 以碟形内壁底为原点，抛物线的对称轴为x轴，开口方向为x轴的正向，建立坐标系（如图12）。根据题意可以设抛物线方程为y2=2px，抛物线过坐标为（40，85）的点，代入得到852=2p40=80p，p90.3。所以F应距碟底约45.2cm。图123、双曲线的光学性质双曲线的光学性质同样也有聚集性质，但它是反向虚聚集，即置于双曲线一个焦点处的射线源，被双曲线反射后，其反射线的反向延长线，必定经过另一个焦点（如图13），双曲线这种反向虚聚集性质，在天文望远镜的设计等方面，也有相关的应用。这里不再一一
13、举例。图13四、圆锥曲线在天文计算中的应用问题我国的神舟5号顺利地实现了载人航天飞行，以及人造地球卫星的上天都与圆锥曲线相关。问 题7 我国发射的一颗通讯地球卫星的运行轨道，是以地心C为一个焦点的椭圆，近地点A距地面为439km，远地点B距地面为2348km，且A，C，B在同一直线上，地球半径为6371km，求卫星的运行轨道方程（精确到1km）图14简 解： 以AB的中点O为原点建立坐标系，使AB在x轴上（如图14）据设A，B是椭圆的两个顶点，长轴在x轴上。设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，则a-c=CA=6371+439=6810，a+c=BC=6371+2384=8755，解得a=7782.5，c=972.5，b= a2-c2 7721.5所以卫星的运行轨道方程近似为+=1小 结：通过以上7个问题讨论分析以及求解，归纳出求解圆锥曲线问题的几个步骤：（1）分析题意；（2）转化成数学问题，看看所给材料与哪种曲线有关；（3）建模：利用题目条件建立合适的坐标系；（4）解答（5）最后往往要结合题意验证结果是否正确。
