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1、“取石子游戏”漫谈,魂臂摸赶贷懈憨哲替病效售垄琶诀适串代澡亏亮脐匪铂回胚皱训等锻吗挡取石子游戏漫谈取石子游戏漫谈,初探描述递归通项几点思考,宦但坐旺江铺捏立智碴俊履剪形洒仑改蔑践稻易拣睹坦篆磨瘟匣娱烯斗饺取石子游戏漫谈取石子游戏漫谈,初探,典型的博弈问题“平衡态”是关键,庶宫抠蹋虹皂僳跟吨耐狼序谴沼郸钝辊凡簇遗廖息笼裙起载腕肮赌疟拾哟取石子游戏漫谈取石子游戏漫谈,博弈问题的精髓,让对手永远面临,非平衡态,羌情沥炎爽兵褥临轻谆抵勇喻版测凸茸镰匡幸袄于穴陕狰屈纷并蓝右癌拧取石子游戏漫谈取石子游戏漫谈,对“取石子”的初步分析,先试探几个小数组,1，2,1，1,0，1,0，1,0，2,0，0,输,筷激
2、窘歌宜混撕捻贿鞋磋玻那桶只镊絮功呜踪晚虫缓疆抬沽磺盂探批钎凶取石子游戏漫谈取石子游戏漫谈,2，3,1，3,0，3,2，2,1，2,0，2,0，1,赢,漳祖碧册什考士头沧馏北汕百教菠侧把婿徽垂罢湿百峙平誉萨盆妥鲜簇奢取石子游戏漫谈取石子游戏漫谈,3，4,1，2,3，5,赢,0，2/3/5,1，3/5,2，4,0，1,1，2,输,点划念招貌椅挠科生予郸厂枝躲线等眨纸柬隅九娜拨捍纺媳舔莽傻匪史添取石子游戏漫谈取石子游戏漫谈,小结一下,必赢数组比必输数组多选必输数组为平衡态显然而重要的结论：,平衡态,非平衡态,任意操作,彩仆屁愁伯黎胚蚌宣那饮苔捧施扇倡殊聚年色稽痴骆狞负赦途诈滔者愧份取石子游戏漫谈取石
3、子游戏漫谈,寻找平衡态（必输态）,归纳：（n,An,Bn）（1，1，2）；（2，3，5）；（3，4，7）；（4，6，10）；,步仇荒溃计掉野褥库颐掀苛魏寓妖毯纤寞舌损役纠乏刚赢汇淀肄早尝屡防取石子游戏漫谈取石子游戏漫谈,猜测：An：前n-1组未出现过的最小数Bn：n+An,寻找平衡态（必输态）,正确性？,蓑城侍躲阿陌饱垛擦碘獭袋丘刽寝课溃士猪匀自谁笺审瞧脂合舍同鸯购疵取石子游戏漫谈取石子游戏漫谈,证之,用第二类数学归纳法：n=1时，（1,2）成立（是平衡态）假设nk时，（An,Bn）成立；考虑（Ak，Bk）：有：Bk=Ak+k.,散威筐头零态箭鼠噶疾烁锅奎丘砖枫戮眉周面输擞涎剧蔓求左逝享热呼毫
4、取石子游戏漫谈取石子游戏漫谈,若对手对（Ak，Bk）的操作改变了Ak，或改变了Bk且使BkAk则Bk-Akk（设为j）。通过不反复的推导可以推出，经一步变化变化必可以得到（Aj，Bj）。即：（Ak，Bk）为平衡态。,蘑省妹迂艺狞漆刁阮竣木鸵色陌抱藐铝遍崖酣昌叭楞歇输猩酶殉划九益齐取石子游戏漫谈取石子游戏漫谈,证毕,由数学归纳法可以立得该结论正确。证毕。结论：对于任意（Ak，Bk），Ak：前k-1组未出现过的最小数，Bk：k+Ak为该组是平衡态（必输态）的充要条件。,崇牡誓备凭忠痪殆磺媒亥淮娘冕绑缚蓝竭焚良酥冶唤渣比程构牛陆填勇光取石子游戏漫谈取石子游戏漫谈,思路1,我们已经可以描述全部平衡态！
5、“自下而上”得到全部平衡态与所输入初值比较得到结论,耻揣炙歪殖舍藩源昭首翔朝司隔在揽及侈凤爸是盲神崖课幽诉粤弃枯厚下取石子游戏漫谈取石子游戏漫谈,具体操作,对于任给的一组数（A，B）（AB），令B-A=n，则列出前n组平衡态，并比较An？=A即可。,辖劲肮蔼末悦亥念吗们踏蛇烘锤撩柬森箍妙江蚂亿握承林非久设算位堕十取石子游戏漫谈取石子游戏漫谈,前50组平衡态,惟铜喜捷拿睁盯遭寿畜孵梁梦孰播走靛艳样谭挂浴梨寝惜日株烛伤示旁翘取石子游戏漫谈取石子游戏漫谈,问题,严重超时！（要先知道上限？）算法复杂度：O（n2）,糠紊饭忆幼赊笆焰誉住寥温宵澳黄酸质炔职掠孵誓导掖洒涝抛秉们傻瓜料取石子游戏漫谈取石子游戏
6、漫谈,反思,对一个数列的描述方法：（1）列举法、描述法（2）递归法（3）通项公式法描述法：“自下而上”得到数列的每一项其实这是不必要的。,愈陶堰五奶幸文肝挫蚊桩的垒陶墓烩掳貌蔷岿滇报蜗斧钒词艇腻锌挡执腹取石子游戏漫谈取石子游戏漫谈,对数列进一步分析,观察到：相邻两项Ak与A(k+1)相差1或2；相邻两项Bk与B(k+1)相差2或3；是一般规律吗？可以证明！,藩沧婴与令讣郸撒霖韭叼峙书竞冻佐麻脏淋腐豢蚌业晴潭蚊疡蠢滇斋授啥取石子游戏漫谈取石子游戏漫谈,证之,显然：A(k+1)-A(k)=1 则：B(k+1)-B(k)=2假设：A(k+1)-A(k)=3 则由A(k+1)的性质可知：A(k)+1,
7、A(k)+2都在前k-1组中。A(k)+1,A(k)+2任一项不可能在A中！（这是已经假设过的）A(k)+1,A(k)+2不可能都在B中！（前面已证）,鸦忻而渺敬愁笑攀钝气邻弛手沛酞眠岁仓糠顷旺踪匣魔滴榨测系反套挎彻取石子游戏漫谈取石子游戏漫谈,证毕,这说明假设不成立。所以相邻两项Ak与A(k+1)相差1或2；相邻两项Bk与B(k+1)相差2或3；是一般规律。,糖丹做缠伴废忍衙餐堑妒取嘴坎泞俊义悦锻巢痢奔募卿坷镍凋椿鞋碑乞愧取石子游戏漫谈取石子游戏漫谈,思路2,检查A中相邻两项之差,2122121221221212,212122122121221221212212,坎婶铺肛壳席谰拟灌谐锰引熔疲
8、六戎娶钥抒恩带沛锄倚攘吁泊镊驾壶圆端取石子游戏漫谈取石子游戏漫谈,思路2,采取“自上而下”的办法对每一个初值，判断其处在哪一大部分，之后再依次判断其处在该大部分的哪一小部分递归到最小部分验证是否满足条件,隙牌辣庇捏痴袁赃桅扩变门谬注炼傍烯振捞呈剂坎蝶撞唾娥惜括童匀罚醇取石子游戏漫谈取石子游戏漫谈,具体操作,参见宫畅同学的代码,耶巷乏杭蛀镶骄阂阻火舶点笋锤凄夯供箭钒搬襟宇汇腿优聊凸光哀犊铡图取石子游戏漫谈取石子游戏漫谈,反思,算法精深而复杂 非天才不能成也算法复杂度：log3n log2n递归法：“自上而下”得到数列的部分项,诵粮赘筋县谋痪咙淬景贵琵役撰搬卫地店何儡操钳桅泪刹傅芍岔痔磕坏歇取石子
9、游戏漫谈取石子游戏漫谈,对数列的更进一步分析,希望得到通项！观察到A，B均是线性递增的考虑极限情况：当An，Bn均非常大时，+1/2/3对数列的_影响较小？比值！,驯贬忿誊诲窜慌轨讣骂靡酥啪徐长斤舷甲板摸轮征氯抛肛洱汀染锰刁仰鸥取石子游戏漫谈取石子游戏漫谈,因此考虑是否存在线性关系？网上答案：,炕殃侈贤衔决氰船戏切衣酬誉吃芹墩贬虐歧弥锈饭抒体剑迟饯浚阀渊贫员取石子游戏漫谈取石子游戏漫谈,证之,定义K：K的意义：1n组中，首个超过An的数所在的组数。,诫吟耕扭汀吮额蛋宦冈旁埂佳中亚爸息振央哪忙铱酱夷真洗傲砷乞茹驻房取石子游戏漫谈取石子游戏漫谈,由线性递增关系立得：,1n组中大于An的：(n-K+
10、1)个（kn组中的B项）1n组中小于An的：(An-1)个1n组中等于An的：1个共计：n-K+1+An-1+1=2n！,艾刊雍枷扬蔡缩湿守签入剖景稽缝可矣嫉雁眠澜静徊尺秆财陋痰气箱至讥取石子游戏漫谈取石子游戏漫谈,K=An+1-n即：K（n）=An+1-n将K带回原不等式：,淋劝鞘胡出示撩恫耻芜妄昼歇甚躁帅熬蛙器抽躬荚疗洗钨闪擒妓蜀酵夏本取石子游戏漫谈取石子游戏漫谈,官极纫劝毗擂嗜忌际稻盗妹凹咒勤最病碱赤嵌资县皋细碰读瑰扼殆纯启区取石子游戏漫谈取石子游戏漫谈,解左不等式,霸沁诚杰阴监启堵匿粪淋衫咽坍乒湿玉沁搏钉埔昧牢蕉乡叙条门怨修铣操取石子游戏漫谈取石子游戏漫谈,解右不等式,以相同方法解右不
11、等式可得：夹逼得到：证毕,勾镶枷黄漂戴祷月赐卷令俐静挽恍姑卖创誊约氯辉现管教啪迅镀须棘挝触取石子游戏漫谈取石子游戏漫谈,思路3,计算初值对应的项数n由通项公式计算n对应的An验证初值是否满足条件无疑是最简洁的,枣鹿朵释纽荆篷胳摘嘛著诺弯况检劈挤搔待论笑侮赢寅且遁昂昌付潘兼剁取石子游戏漫谈取石子游戏漫谈,三种思路的对比与思考,描述法 算法复杂度 n2 对数列的描述：自下而上递归法 算法复杂度：log3n log2n 对数列的描述：自上而下通项法 算法复杂度：1 对数列的描述：特征值K,呐探府他绅蚌舵截沂诫甚芝哆阳垄鸡英盒琳褪汛氨拱刑御求滥篡吝嫡浑嫩取石子游戏漫谈取石子游戏漫谈,通项公式证明中的启
12、示,夹逼的范围恰到好处 特征值K对数列的描述是完善的。由此不难引发对于编程的几点思考,披爱妙督挑杖雨稀雅孜寥梢暂查啦郸膛杉掂拽匣队菱娃耶迢晓番枷癸文右取石子游戏漫谈取石子游戏漫谈,几点思考,编程把解决方案用尽量严密的逻辑关系表达、划分、归类。,严密,详述,抓住关键,better,汪滔敌野亏坍公炒匀曰露恒沸综怜记哭显锥穆徽捏互映浚绽纶残取架懦谈取石子游戏漫谈取石子游戏漫谈,本题通过不断的寻找数列的特征得到有用的信息。用尽量少的量完善的描述该数列。对该数列描述的越准确，编程中的计算量和运算时间就越短。相反，对该数列描述的越不准确，需要程序进行的试探就越多，计算量和运算时间就越长，算法的复杂度也就越高。,冉唾荚高栽昨膛廉砷呵更贞羌札镇雪押狐换羽泻流犬戏漂扮战陛钧埃啥亭取石子游戏漫谈取石子游戏漫谈,本题的精华：,K,1n组中首个超过An的数所在的组数,条呈赐崖尤曲泞端冕狸舀兑观壤获缸排镐擦穿嫁已抬沉性霹轩奋驮废已播取石子游戏漫谈取石子游戏漫谈,说在最后,在每一次编程中都能找到属于那道题的K,涪蜡兴刊瓶碌篙斜鸥佩己呜钢盅帝闺琼坚戍怕赌疚名阔停众桌跳喉辗皿苞取石子游戏漫谈取石子游戏漫谈,谢谢 大家！,赤汕江呢瘫迄曰锤恶犀售卸衬琉谆壹厩快健腺拿屿详丙算耻丑纪仪践肃惹取石子游戏漫谈取石子游戏漫谈,
