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1、幂的运算一、知识网络归纳二、学习重难点学习本章需关注的几个问题：在运用（、为正整数），（，、为正整数且），（、为正整数），（为正整数），（，为正整数）时，要特别注意各式子成立的条件。上述各式子中的底数字母不仅仅表示一个数、一个字母，它还可以表示一个单项式，甚至还可以表示一个多项式。换句话说，将底数看作是一个“整体”即可。注意上述各式的逆向应用。如计算，可先逆用同底数幂的乘法法则将写成，再逆用积的乘方法则计算，由此不难得到结果为1。通过对式子的变形，进一步领会转化的数学思想方法。如同底数幂的乘法就是将乘法运算转化为指数的加法运算，同底数幂的除法就是将除法运算转化为指数的减法运算，幂的乘方就是将乘
2、方运算转化为指数的乘法运算等。在经历上述各个式子的推导过程中，进一步领悟“通过观察、猜想、验证与发现法则、规律”这一重要的数学研究的方法，学习并体会从特殊到一般的归纳推理的数学思想方法。一、同底数幂的乘法1、同底数幂的乘法同底数幂相乘，底数不变，指数相加.公式表示为：2、同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘，即 注意点：（1） 同底数幂的乘法中，首先要找出相同的底数，运算时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为积的指数.（2） 在进行同底数幂的乘法运算时，如果底数不同，先设法将其转化为相同的底数，再按法则进行计算.例题：例1：计算列下列各题（1） ； （2） ； （3） 简单练
3、习：一、选择题1. 下列计算正确的是( ) A.2+3=5 B.23=5 C.3m+2m=5m D.2+2=24 2. 下列计算错误的是( )A.52-2=42 B.m+m=2m C.3m+2m=5m D.2m-1= 2m 3. 下列四个算式中33=23 3+3=6 32=5 p2+p2+p2=3p2 正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4. 下列各题中，计算结果写成底数为10的幂的形式，其中正确的是( ) A.100102=103 B.10001010=103 C.100103=105 D.1001000=104 二、填空题1. 44=_；44=_。 2、 b2bb7=_。
4、3、103_=1010 4、(-)2(-)35=_。5、5( )=2( ) 4=18 6、(+1)2(1+)(+1)5=_。中等练习：1、 (-10)310+100(-102)的运算结果是( ) A.108 B.-2104 C.0 D.-104 2、(-)6(-)5=_。 3、10m10m-1100=_。 4、a与b互为相反数且都不为0，n为正整数，则下列两数互为相反数的是( ) A.2n-1与-2n-1 B.2n-1与2n-1 C.2n与2n D.2n与2n 5. 计算(-)n(-)n-1等于( ) A.(-)2n-1 B.(-)2n-1 C.(-)2n-1 D.非以上答案6. 7等于( )
5、A.(-2 )5 B、(-2)(-5) C.(-)34 D.(-)(-)6 7、解答题(1) 2(-3) (2) (-)23 (3) 2(-)2(-)3 (4) (-2)(-)2(-3)(-)3(5) (6)x4m x4+m(-x)(7) x6(-x)5-(-x)8 (-x)3 (8) -3(-)4(-)57. 计算(-2)1999+(-2)2000等于( ) A.-23999 B.-2 C.-21999 D.21999 8. 若2n+1x=3 那么x=_较难练习：一、 填空题：1. =_,=_.毛2. =_,=_.3. =_.4. 若,则x=_.5. 若,则m=_;若,则a=_; 若,则y=
6、_;若,则x=_. 6. 若,则=_. 二、选择题7. 下面计算正确的是( ) A； B； C； D8. 8127可记为( ) A.; B.; C.; D.9. 若,则下面多项式不成立的是( ) A.; B.;C.; D.10. 计算等于( ) A.; B.-2; C.; D.11. 下列说法中正确的是( )A. 和 一定是互为相反数 B. 当n为奇数时, 和相等C. 当n为偶数时, 和相等 D. 和一定不相等三、解答题:12. 计算下列各题: （1）；（2）（3）； （4）。13. 已知的土地上,一年内从太阳得到的能量相当于燃烧煤所产生的能量,那么我国的土地上,一年内从太阳得到的能量相当于燃
7、烧煤多少千克？14 (1) 计算并把结果写成一个底数幂的形式:；。(2)求下列各式中的x: ；。15计算。16. 若，求x的值.二、幂的乘方与积的乘方1、幂的乘方幂的乘方，底数不变，指数相乘.公式表示为：.2、积的乘方积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.公式表示为：.注意点：（1） 幂的乘方的底数是指幂的底数，而不是指乘方的底数. （2） 指数相乘是指幂的指数与乘方的指数相乘，一定要注意与同底数幂相乘中“指数相加”区分开. （3） 运用积的乘方法则时，数字系数的乘方，应根据乘方的意义计算出结果;（4） 运用积的乘方法则时，应把每一个因式都分别乘方，不要遗漏其中任何一个因式.例
8、题：1.计算：表示 .2.计算：（x）= .3计算：（1）； 简单练习：一、判断题1、 ( ) 2、 ( )3、 （ ） 4、 （ ）5、 ( )二、填空题：1、；2、，；3、，；4、；5、若 ， 则_.三、选择题1、等于（ ）A、 B、 C、 D、2、等于（ ）A、 B、 C、 D、3、可写成（ ）A、 B、 C、 D、4等于（ ）A B C D无法确定5计算的结果是（ ）A B C D6若N=，那么N等于（ ）A B C D7已知,则的值为（ ）A15 B C D以上都不对中等练习：一、填空题1.计算：（y）+（y）= .2.计算：3.（在括号内填数）二、选择题4.计算下列各式，结果是的是
9、（ ）Ax2x4； B（x2）6； Cx4+x4； Dx4x4.5.下列各式中计算正确的是（ ）A（x）=x； B.（a）=a； C.（a）=（a）=a； D.（a）=（a）=a.6.计算的结果是（ ）A.； B.； C.； D.7.下列四个算式中：（a3）3=a3+3=a6；（b2）22=b222=b8；（x）34=（x）12=x12；（y2）5=y10，正确的算式有（ ）A0个； B1个； C2个； D3个.8.下列各式：；，计算结果为的有（ ）A.和； B.和； C.和； D.和. 较难练习：1、2(anbn)2+(a2b2)n2、(-2x2y)3+8(x2)2(-x2)(-y3)3、-
10、2100X0.5100X(-1)1994+4.已知2m=3，2n=22，则22m+n的值是多少5已知，求的值6.已知，求的值7.已知xn=5,yn=3,求 (x2y)2n的值。8比较大小：218X310与210X3159.若有理数a,b,c满足(a+2c-2)2+|4b-3c-4|+|-4b-1|=0，试求a3n+1b3n+2- c4n+210、太阳可以近似的看作是球体，如果用V、r分别代表球的体积和半径，那么,太阳的半径约为6X105千米，它的体积大约是多少立方千米？(取3)三、同底数幂的除法1、同底数幂的除法同底数幂相除，底数不变，指数相减.公式表示为：.2、零指数幂的意义任何不等于0的数
11、的0次幂都等于1.用公式表示为：.3、负整数指数幂的意义任何不等于0的数的-n(n是正整数)次幂，等于这个数的n次幂的倒数，用公式表示为4、绝对值小于1的数的科学计数法 对于一个小于1且大于0的正数，也可以表示成的形式，其中.注意点：(1) 底数不能为0，若为0，则除数为0，除法就没有意义了；(2) 是法则的一部分，不要漏掉.（3） 只要底数不为0，则任何数的零次方都等于1.例题：计算下列各题：（1）（m-1）（m-1）；（2）（x-y）（y-x）（x-y）；（3）（a）（-a）(a);(4) 2-（-）+（）.简单练习：1. a=a. 2.若5=1，则k= .33+（）= .4用小数表示-3
12、.02110= 。5.计算：= ，= .6.在横线上填入适当的代数式：，.7.计算： = ， = 8.计算：= .9.计算：_10（-a）（-a）= ，9273= 。中等练习：1.如果aa=a，那么x等于（ ） A3 B.-2m C.2m D.-32.设a0，以下的运算结果：（a） a=a；aa=a；（-a）a=-a；（-a）a=a，其中正确的是（ ）A. B. C. D. 3.下列各式计算结果不正确的是( )A.ab(ab)2=a3b3； B.a3b22ab=a2b； C.(2ab2)3=8a3b6； D.a3a3a3=a2.4.计算：的结果，正确的是（ ）A.； B.； C. ； D.5.
13、 对于非零实数，下列式子运算正确的是（ ）A ； B；C ； D.6若，,则等于( ) A.； B.6 ； C.21； D.20.7.计算：； ； . 8.地球上的所有植物每年能提供人类大约大卡的能量，若每人每年要消耗大卡的植物能量，试问地球能养活多少人？较难练习：1观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，则89的个位数字是（ ）A.2 ； B4； C8； D6.2.若有意义，则x的取值范围是（ ） Ax3； Bx2 ； Cx3或x2； Dx3且x2. 3.某种植物花粉的直径约为35000纳米,1纳米=米，用科学记数法表示该种
14、花粉的直径为 . 4. 已知，则x= 5计算：.6.已知：，请你计算右边的算式求出S的值7. 解方程：（1）； （2）.8. 已知,求的值.9.已知,求(1)；(2).10.化简求值：（2x-y）（2x-y）（y-2x），其中x=2，y=-1。运用幂的运算法则的四个注意一、注意法则的拓展性对于含有三个或三个以上同底数幂相乘（除）、幂（积）的乘方等运算，法则仍然适用。例1. 计算：（1）（2）（3）二、注意法则的底数和指数的广泛性运算法则中的底数和指数，可取一个或几个具体的数；也可取单独一个字母或一个单项式，甚至可以是一个多项式。例2. 计算：（1）（2）三、注意法则的可逆性逆向应用运算法则，由
15、结论推出条件，或将某些指数进行分解。例3. 在下面各小题的括号内填入适当的数或代数式：（1）（2）四、注意法则应用的灵活性在运用法则时，要仔细观察题目的特点，采取恰当、巧妙的解法，使解题过程简便。例4. 计算：幂的运算方法总结 作为整式乘除的前奏，幂的运算看似非常简单，实际运用起来却灵活多变。不过，只要熟悉运算的一些基本方法原则，问题就迎刃而解了。而且通过这些方法原则的学习，不但能使我们熟悉幂的运算，还可得到全面的思维训练。现在对此做一探索。 幂的运算的基本知识就四条性质，写作四个公式：aman=am+n (am)n=amn (ab)m=ambm aman=am-n只要理解掌握公式的形状特点，
16、熟悉其基本要义，直接应用一般都容易，即使运用公式求其中的未知指数难度也不大。问题1、已知a7am=a3a10，求m的值。思路探索：用公式1计算等号左右两边，得到等底数的同幂形式，按指数也相等的规则即可得m的值。方法思考：只要是符合公式形式的都可套用公式化简试一试。方法原则：可用公式套一套。但是，渗入幂的代换时，就有点难度了。问题2、已知xn=2,yn=3,求(x2y)3n的值。思路探索：(x2y)3n中没有xn和yn，但运用公式3就可将(x2y)3n化成含有xn和yn的运算。因此可简解为，(x2y)3n =x6ny3n=(xn)6(yn)3=2633=1728方法思考：已知幂和要求的代数式不一
17、致，设法将代数式变形，变成已知幂的运算的形式即可代入求值。方法原则：整体不同靠一靠。然而，遇到求公式右边形式的代数式该怎么办呢？问题3、已知a3=2,am=3,an=5，求am+2n+6的值。思路探索：试逆用公式，变形出与已知同形的幂即可代入了。简解：am+2n+6=ama2na6=am(an)2(a3)2=3254=300方法思考：遇到公式右边的代数式时，通常倒过来逆用公式，把代数式展开，然后代入。方法原则：逆用公式倒一倒。当底数是常数时，会有更多的变化，如何思考呢？问题4、已知22x+322x+1=48，求x的值。思路探索：方程中未知数出现在两项的指数上，所以必须统一成一项，即用公式把它们
18、变成同类项进行合并。由此，可考虑逆用公式1，把其中常数的整数指数幂，化作常数作为该项的系数。简解：22x+322x+1=22x2322x21=822x222x =622x=48 22x=8 2x=3 x=1.5方法思考:冪的底数是常数且指数中有常数也有未知数时，通常把常数的整数指数冪化成常数作为其它冪的系数，然后进行其它运算。问题5、已知64m+12n33m=81,求正整数m、n的值。思路探索：幂的底数不一致使运算没法进行，怎样把它们变一致呢？把常数底数都变成质数底数就统一了。简解：64m+12n33m =24m+134m+12n33m=24m+1-n3m+1=81=34 m、n是正整数 m+
19、1=4,4m+1n=0 m=3,n=13方法思考：冪的底数是常数时，通常把它们分解质因数，然后按公式3展开，即可化成同底数冪了。问题6、已知2a=3,2b=6,2c=12，求a、b、c的关系。思路探索：求a、b、c的关系，关键看2a、2b、2c的关系，即3、6、12的关系。6是3的2倍，12是6的2倍，所以2c=22b=42a,由此可求。简解：由题意知2c=22b=42a 2c=2b+1=2a+2 c=b+1=a+2方法思考：底数是相同的常数时，通常把冪的值同乘以适当的常数变相同，然后比较它们的指数。方法原则：系数质数和指数，常数底数造一造。综合用到以上方法就更需要引起注意。问题7、已知2x=
20、m,2y=n,求22x+3y+1的值。思路探索：要求的代数式与已知距离甚远，考虑逆用公式将其变成已知的代数式的形式。简解：22x+3y+1=22x23y21=(2x)2(2y)32=m2n32=2m2n3方法思考：综合运用化质数、逆用公式和整体代人的方法。问题8、已知a=244,b=333,c=422，比较a、b、c的大小。思路探索：同底数幂比较大小观察指数大小即可，底数不能变相同的，只好逆用公式将指数变相同，比较底数大小了。简解：a=244=2411=（24）11=1611, b=333=3311=（33）11=2711 c=422=4211=1611 a=cb方法思考：化同指数冪是比较底数不能化相同的冪的又一种方法。思考归纳：幂的运算首先要熟练掌握幂的四条基本性质，不但会直接套用公式，还要能逆用。其次要注意要求的代数式与已知条件的联系，没明显关系时常常逆用公式将其分解。第三，底数是常数时通常将其化成质数积的乘方的形式，有常数指数的通常求出其值，作为该项的系数。第四，底数不同而指数可变相同的可通过比较底数确定其大小关系，还可通过积的乘方的逆运算相乘。思考原则可用公式套一套，整体不同靠一靠，逆用公式倒一倒，常数底数造一造，系数质数和指数，综合运用瞧一瞧。
