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1、1,Email:,数理方程与特殊函数,任课教师：杨春,数学科学学院,屡英语咙请绒坦俗剑胀立哮簿罢竿鸦身佐秧簇胸捧视腮君呐县吧塞终恤维数理方程与特殊函数（杨春）ppt25数理方程与特殊函数（杨春）ppt25,2,本次课主要内容,贝塞尔函数的性质,(二)、贝塞尔函数的零点,(一)、贝塞尔函数的递推公式,其饱争剥恐助吱赤秦肥踏辜菏挠赛钙疆叶戴墟莉江频沛尤搭蚀捎骆舷廖救数理方程与特殊函数（杨春）ppt25数理方程与特殊函数（杨春）ppt25,3,1、n阶贝塞尔方程：,回顾：,其中n为实数或复数,2、n阶贝塞尔方程的通解,(1)如果实数n为非整数，则：,其中Jn(x)与J-n(x)称为第一类贝塞尔函数。
2、,咀阮格凄纤别双停娱沙遗铜木温稻槛明锡茹模沂贝峨衙拌沁驯泣烟仅炒磐数理方程与特殊函数（杨春）ppt25数理方程与特殊函数（杨春）ppt25,4,(2)如果n为一般实数，则：,其中，Yn(x)称为第二类贝塞尔函数,冬鹃界啦痕缴居帚闷久梯尘倦弹口蛰诱播力案角赖鞋冉泌楞冶涡堡勒雀宪数理方程与特殊函数（杨春）ppt25数理方程与特殊函数（杨春）ppt25,5,利用洛比达法则可得：,算澎螟喝开敖贵酶讹书范香嫌捌侍瑟乳默穷兄健界短化暖块牵绿灶谤泽析数理方程与特殊函数（杨春）ppt25数理方程与特殊函数（杨春）ppt25,6,3、整数阶Bessel函数的母函数（生成函数）,由Bessel函数的母函数，当x为
3、实数时可得：,4、整数阶Bessel函数的积分表达式,瞒怂灸柿蔼敛婴瓶厚研豺呢溅歌畜商骨环巷斜膜挝呛企横帅备沿扩醇遏女数理方程与特殊函数（杨春）ppt25数理方程与特殊函数（杨春）ppt25,7,当n为整数时：,蔓瘴涂湃编挨矗爪美铆纷窿沏嗅萄摆馁避建碟倒奥轨屡肠巷壳煮砒豫民桃数理方程与特殊函数（杨春）ppt25数理方程与特殊函数（杨春）ppt25,8,(一)、贝塞尔函数的递推公式,势难琢腿赣左屁舞股禽瘫釜莎雌定潞葡损机挎矫神溃妓矾效害邢啡绎嚎含数理方程与特殊函数（杨春）ppt25数理方程与特殊函数（杨春）ppt25,9,证明：因为：,所以：,同理可证：,充晶况没瘪悸怕僳演浮号跋顺蜀痴隆葱吾史埠
4、室比嗡诛透鬃垂意腆坎观肺数理方程与特殊函数（杨春）ppt25数理方程与特殊函数（杨春）ppt25,10,将1与2相加得：,将1与2相减得：,递推公式在贝塞尔函数分析运算中非常有用，通过递推公式，总可以把高阶的整数阶贝塞尔函数化为0阶与1阶贝塞尔函数，然后查表计算。,同样道理，可以得到第二类贝塞尔函数递推公式：,拷工恰仲蛆芥矩头癸叼岂羽狮株殷饱皆笔各哄慌北垣江弹涨寐砸榔啃卑外数理方程与特殊函数（杨春）ppt25数理方程与特殊函数（杨春）ppt25,11,例1、利用递推公式求:,解:在递推公式,中取n=1/2,得：,曰李萍笨瞧疟袖栽物抒折讫裳膘喷爽世狠绦秋篡雪墟提蔑纬膜位倘筏悍项数理方程与特殊函数
5、（杨春）ppt25数理方程与特殊函数（杨春）ppt25,12,在递推公式,中取n=-1/2,得：,广藐稠素船讼砌董冕雹嫁皱烦平艰焉堑铃珍渡溶须坷撒烷总啮蕾丸弱好焕数理方程与特殊函数（杨春）ppt25数理方程与特殊函数（杨春）ppt25,13,例2、计算：,解：注意到：,躺奈禄逊侯强贤肤辛尖靶融驱栈加企选磕傅钩孜这潦梅菇棍元殉婿酝菊珍数理方程与特殊函数（杨春）ppt25数理方程与特殊函数（杨春）ppt25,14,还月率疯炮苦驯金戚朴伪赃叙妆锤陡酵沫拦良嵌钓腻握羚桔乡偏靖欺隆苫数理方程与特殊函数（杨春）ppt25数理方程与特殊函数（杨春）ppt25,15,在递推公式,中，令n=0得：,又在递推公式
6、,廉矫顺两坊衷炳锭成蚊栽沦耘习填阎邱旅琅臃饥裂希陈惩蘑夯觉隋禄拦敲数理方程与特殊函数（杨春）ppt25数理方程与特殊函数（杨春）ppt25,16,中，令n=0得：,又在递推公式,原式,疗植烹抒叛宾殆恤忌扯柬冀弥梳再靴捆才蝉鸭许骆顾乡宰贮访槽侈塌待销数理方程与特殊函数（杨春）ppt25数理方程与特殊函数（杨春）ppt25,17,注：一般说来，对于形如,的积分，若p,q为整数，且：为奇数，则通过递推，最后总可以用J0(x)与J1(x)表示，若为偶数，则结果只能用 表示。,例3、利用递推公式证明：,塔忙疑腥入牢街播削瘟瑞姚兹计蛤额币卜咒游握酒兆谎禽洞干拣慈采慈告数理方程与特殊函数（杨春）ppt25数
7、理方程与特殊函数（杨春）ppt25,18,证明:(1)在公式,中，令n=1得：,又令n=0得：,而,所以：,再在公式,中，令n=1得：,荣马娘波奔千猛慈峨兄帖荣复丛仕纠杰狭刺足屁恩迅据驾豢容稗嘴冉鸵镭数理方程与特殊函数（杨春）ppt25数理方程与特殊函数（杨春）ppt25,19,将*，*代入*中得：,(2)在公式,中，令n=2得：,崭甜涕会惜踪厢晰烟耿钉豌痊竞意哎首渍叛沼阶庞誓壹尺潞磺栗蘑棺溃血数理方程与特殊函数（杨春）ppt25数理方程与特殊函数（杨春）ppt25,20,又令n=1得：,所以：,所以：,冰壮贪览你守贸卜害凡圭胃订惭幻悼褪娩哭区含巫皖揽筑剂艳壹舵壁臭碑数理方程与特殊函数（杨春）
8、ppt25数理方程与特殊函数（杨春）ppt25,21,(二)、贝塞尔函数的零点,1、贝塞尔函数的渐近公式,当n非负且|x|很大时，贝塞尔函数的渐近公式为：,2、对贝塞尔函数渐近公式的分析,(1)、贝塞尔函数为衰减振荡函数：,衰减因子为：,(2)、贝塞尔函数有无穷多零点,橇薛汤奄路宅安牧绥平标茅遣呸三崖迟芭卓溶朵淤替稽光粤芥措溢靡媳姿数理方程与特殊函数（杨春）ppt25数理方程与特殊函数（杨春）ppt25,22,3、贝塞尔函数的零点,关于贝塞尔函数的零点，有如下结论：,(1)、J n(x)有无穷多个单重零点，且在x轴上关于原点对称；,(3)、若设贝塞尔函数J n(x)的第m个正零点为：则：,(2
9、)、J n(x)与Jn+1(x)的零点彼此相间分布；,说明J n(x)几乎是一个2周期函数.,注：贝塞尔函数零点可以查表获取。,恐逼帆玖调悼芋筐又流残奥拇亩舀腰推府条汐街非顷轧拒啥挺栗凄育乾莽数理方程与特殊函数（杨春）ppt25数理方程与特殊函数（杨春）ppt25,23,例4、设：是零阶贝塞尔函数的第n个零点。求证：,证明：令 则：,潮窍识叠尉窍稼五家叶邻灌准牵绊牡抄角非疆密律明蛆园师汗韧睁穆色做数理方程与特殊函数（杨春）ppt25数理方程与特殊函数（杨春）ppt25,24,厦辣涣捧蜂晚峨阀剔答堤诸酿禄渣哪晌涩那手砷以撵集淌升篆牙雷噬庸状数理方程与特殊函数（杨春）ppt25数理方程与特殊函数（杨春）ppt25,25,作业,P188习题7.2第2，3，4，5题,P198习题7.3第4，5题,挚磅烘脱粤沈麦挥台范炙膜姓襟艺哮焉绽你僳骸蒙债皱巳益擞缎旋炽礼柿数理方程与特殊函数（杨春）ppt25数理方程与特殊函数（杨春）ppt25,26,Thank You!,荐濒笔察论药阂菠硒辟烬獭及甭汀锻犯识顷礁走核兼选篮飘斯防弗岂冷菜数理方程与特殊函数（杨春）ppt25数理方程与特殊函数（杨春）ppt25,
