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1、第十三章 軸的強度與應力,13-1 扭轉的意義13-2 扭轉角的計算13-3 動力與扭轉的關係13-4 輪軸大小的計算13-5 實心圓軸與空心圓軸的比較,1 扭轉的意義,在上一章我們已說明了樑的定義,本章將針對軸詳加討論之。一根細長的構件,當其一端固定,另一端承受扭轉力矩作用,或是其兩端同時承受大小相等,方向相反之扭轉力矩作用時,則此細長構件稱為軸(Shaft),而扭轉力矩簡稱為扭矩(Torque)。如圖13-1(a)所示,當我們使用螺絲起子旋緊或拆卸一根螺絲時,我們所施於螺絲起子的作用即為扭矩,而螺絲起子之金屬桿即為軸。如圖13-1(b)所示,為一馬達帶動一轉軸旋轉,此軸即承受扭矩之作用。,
2、13-1 扭轉的意義,我們在研究軸的強度與應力時,均假設其所承受之扭矩為純扭矩,即此軸除了承受扭矩之外,不得有其他之負荷加諸於其上(如彎曲力矩),稱為純扭矩。,13-1 扭轉的意義,在分析軸之純扭矩負荷時,尚須符合下列假設條件:(1)軸之材料須為均勻材質。(2)扭矩之作用面須與軸線垂直,不得傾斜。(3)軸承受扭矩負荷後,軸不可發生彎曲現象。(4)軸承受扭矩負荷後,軸之長度不可發生變化。(5)軸扭轉時所產生的應力與應變,須符合虎克定律。(6)軸扭轉後,其斷面仍保持平面,且直徑保持直線而不彎曲。,13-1 扭轉的意義,13-1 扭轉的意義,13-1 扭轉的意義,由上式可知,在同一圓軸上,半徑愈大處
3、,其剪應力愈大。即圓軸承受一扭矩作用後,其在圓軸表面上之剪應力最大,而在軸線上的剪應力為零。,13-1 扭轉的意義,如圖13-3 所示,為圓軸之橫截面,則在此橫截面上的所承受之扭矩,即為此截面上各微小面積上的內力對軸心所產生的扭矩和,即:,13-1 扭轉的意義,13-1 扭轉的意義,13-1 扭轉的意義,而空心圓軸之極截面係數為:,13-1 扭轉的意義,則空心圓軸之最大剪應力為:,13-1 扭轉的意義,軸承受純扭矩作用時,其破壞應力為張應力。如鑄鐵、石材、混凝土等脆性材料承受扭矩作用時,因張應力之作用面為材料之破壞面,故其破裂角度必與圓柱之軸線成45角,如圖13-5(a)所示。而剪應力之作用面
4、則為垂直軸線之橫切面。如圖13-5(b)所示,為粉筆承受扭矩作用後之破裂情形。由圖13-5(b)所示中可知,在粉筆表面的每一個微小面積,均承受等值之張應力與壓應力作用,且因破裂角度沿張應力之方向破壞,並使其破裂角度與軸線成45破壞。,13-1 扭轉的意義,13-1 扭轉的意義,13-1 扭轉的意義,13-1 扭轉的意義,13-1 扭轉的意義,13-1 扭轉的意義,13-1 扭轉的意義,13-1 扭轉的意義,13-2 扭轉角的計算,扭轉角的單位為弧度(rad),其大小與扭矩及軸長成正比,而與剪割彈性係數及極慣性矩成反比。,13-2 扭轉角的計算,剪割彈性係數G 及極慣性矩J 的乘積GJ,稱為扭轉
5、剛度(Torsional Rigidity),GJ值愈大,表示材料受扭矩負荷後,愈不容易扭轉變形;反之,若GJ值愈小,表示材料受扭矩負荷後,則愈容易扭轉變形。,13-2 扭轉角的計算,13-2 扭轉角的計算,13-2 扭轉角的計算,13-2 扭轉角的計算,13-2 扭轉角的計算,圓軸的功用,最主要的就是將馬達或引擎產生的動力傳達出去。如圖13-7 所示,即為一馬達將其動力傳達給一齒輪之情形。,上圖中,我們若在圓軸之右端觀看時,馬達產生順時針的扭矩,而齒輪因慣性的作用,因而產生逆時針之扭矩,此逆時針的扭矩必與馬達產生的扭矩大小相等。若其須將動力傳達給二個以上的齒輪時,則各齒輪所獲得之扭矩和,必等
6、於馬達所產生的扭矩。如圖13-8 所示,則:,13-3 動力與扭轉的關係,13-3 動力與扭轉的關係,如圖13-9 所示,若馬達之扭矩傳給齒輪B 及齒輪C,此時,此圓軸之總扭轉角為AB 段的扭轉角與BC段的扭轉角之和,即:,13-3 動力與扭轉的關係,13-3 動力與扭轉的關係,13-3 動力與扭轉的關係,13-3 動力與扭轉的關係,13-3 動力與扭轉的關係,13-3 動力與扭轉的關係,13-3 動力與扭轉的關係,13-3 動力與扭轉的關係,13-4 輪軸大小的計算,13-4 輪軸大小的計算,13-4 輪軸大小的計算,13-4 輪軸大小的計算,圓軸承受扭矩作用後,其材料內部任一點之剪應力大小和該點距軸心之長度成正比,即其在圓軸表面上之剪應力最大,愈靠近軸心的剪應力就會愈小,而在軸心時的剪應力為零。因此,在軸心附近部分的材料其實對抵抗扭矩的剪應力幫助不大。所以,在工程應用上,為了減輕軸的重量及節省材料,又不會降低太多軸的強度,一般均採用空心圓軸來作為軸的材料。,13-5 實心圓軸與空心圓軸的比較,13-5 實心圓軸與空心圓軸的比較,13-5 實心圓軸與空心圓軸的比較,13-5 實心圓軸與空心圓軸的比較,13-5 實心圓軸與空心圓軸的比較,13-5 實心圓軸與空心圓軸的比較,13-5 實心圓軸與空心圓軸的比較,13-5 實心圓軸與空心圓軸的比較,